向量有除法吗？高中数学人教版选修2-1的思考题?
向量有没有除法，这个问题很有意思，尤其是把它放在高中数学选修21的语境下思考。人教版教材在讨论向量时，重点讲了向量的加法、减法、数乘，还有向量的数量积（点乘）。关于向量的“除法”，教材里并没有直接给出运算规则，这本身就值得我们去探究。
要理解为什么向量没有我们通常意义上的“除法”，咱们得先回顾一下前面学过的向量运算，以及这些运算的几何意义和代数意义。
先回忆一下向量的运算：
1. 向量加法和减法： 就像把两个位移连接起来一样，比如从A到B，再从B到C，总位移就是从A到C。用向量表示就是 $vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$。代数上，就是对应分量相加减。这个运算很直观，也符合我们对“结合”和“抵消”的理解。
2. 向量数乘： 就是把向量“拉伸”或“压缩”，方向不变（或者反向）。比如 $2vec{a}$ 是 $vec{a}$ 的两倍长，$1vec{a}$ 就是 $vec{a}$，方向相反。这个运算也很容易理解，就像缩放比例一样。
3. 向量的数量积（点乘）： 这个稍微有点不一样，它的结果是一个数，而不是向量。它衡量了两个向量在方向上的“相似程度”或者说“投影关系”，定义是 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos heta$。如果结果是数，那怎么用一个数去“除”一个向量呢？这就有问题了。
为什么没有“向量除法”？
从上面的运算来看，向量运算的本质是几何位移的组合（加减）和长度的缩放（数乘）。而数量积的结果是数，这让直接的“除法”变得不那么自然。
咱们可以类比一下数的运算：
数的加法和减法： 对应。
数的乘法： 可以看作是重复的加法，比如 $3 imes 2 = 2+2+2$。
数的除法： 是乘法的逆运算。如果 $a imes b = c$，那么 $c / b = a$ (前提是 $b eq 0$)。
如果向量有类似“除法”的运算，它应该是乘法的逆运算。但向量乘法有两种：
向量加法/减法： 它的逆运算是什么？如果 $vec{a} + vec{b} = vec{c}$，那么 $vec{c} vec{b} = vec{a}$，这就是向量的减法，我们已经有了。所以向量加减法不存在独立的“除法”概念。
向量数乘： 如果 $kvec{a} = vec{b}$ (其中 $k$ 是非零的数)，那么 $vec{b} / k = vec{a}$。这确实是我们前面提到的数乘的逆运算，也就是用一个数去“除”一个向量。这种意义上的“除法”，我们已经通过数乘的逆运算给出了。比如，已知 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 共线，且 $vec{b} = 2vec{a}$，那么 $vec{a} = frac{1}{2}vec{b}$ 或者 $vec{a} = vec{b} / 2$。这只是数乘的一种形式。
向量的数量积（点乘）与除法：
关键在于数量积。如果说向量有某种“除法”，我们最可能想到的是和数量积相关的。假设我们有 $vec{a} cdot vec{x} = s$ (其中 $s$ 是一个数)。我们想找到一个向量 $vec{x}$。从代数上看，如果 $vec{a} = (a_1, a_2)$ 且 $vec{x} = (x_1, x_2)$，那么 $a_1 x_1 + a_2 x_2 = s$。这是一个关于 $x_1, x_2$ 的线性方程，有无数解（除非 $vec{a} = vec{0}$ 且 $s eq 0$，这时无解；如果 $vec{a} = vec{0}$ 且 $s = 0$，则任意 $vec{x}$ 都满足）。
问题在于，如果我们有一个数 $s$ 和一个非零向量 $vec{a}$，我们想找到一个向量 $vec{x}$ 使得 $vec{a} cdot vec{x} = s$。这个方程组有很多解，没有唯一的解。
为什么没有唯一解呢？想象一下在二维空间，$vec{a}$ 是一个固定的向量，它在某个方向上。$vec{a} cdot vec{x}$ 的结果是向量 $vec{x}$ 在 $vec{a}$ 方向上的投影长度乘以 $|vec{a}|$。如果这个投影的长度是固定的（也就是 $s / |vec{a}|$），那么 $vec{x}$ 可以是许多不同的向量，只要它们在 $vec{a}$ 方向上的投影满足要求即可。这些向量 $vec{x}$ 可能会形成一条垂直于 $vec{a}$ 的直线（或者在一个高维空间里是一个超平面）。
而我们通常理解的除法，比如 $c / b$，结果是一个唯一的数（当 $b eq 0$）。如果向量也有“除法”，我们期望它能得到一个唯一的向量。但从 $vec{a} cdot vec{x} = s$ 的情况来看，我们得不到一个唯一的向量 $vec{x}$。
教材的“思考题”可能引导我们往哪个方向想？
选修21的思考题往往是为了激发更深层次的理解，而不是给出一个新的运算规则。这里可能有几种思考方向：
1. 类比失败： 思考为什么向量的点乘（它产生一个数）不像数的乘法那样直接存在逆运算（除法）。点乘的几何意义是投影，而投影的操作本身就损失了原向量的一部分信息（长度和垂直于投影方向的信息），所以难以唯一恢复。
2. “除以一个向量”的几何意义： 如果硬要定义一个“向量除法”，比如 $vec{a} / vec{b}$，它应该有什么意义？如果它是乘法的逆运算，那么 $(vec{a} / vec{b}) imes vec{b} = vec{a}$。但我们没有一个能将两个向量“相乘”得到另一个向量的运算，除了外积（叉乘），但叉乘是三维空间才有，且结果是向量，但高中选修21通常不涉及外积。即使考虑了外积，也不是所有情况都能定义逆运算。
3. 除以一个数的向量运算： 这个我们已经有了，就是数乘的逆运算，用倒数乘以向量。例如，$vec{a} / 3 = (1/3)vec{a}$。这更像是“标量除法”。
总结一下我的理解：
高中数学人教版选修21中，向量并没有我们通常意义上定义的“向量除法”。这主要是因为：
向量加减法的逆运算就是向量减法/加法，不存在独立的除法概念。
向量数乘的逆运算是我们用一个数“除”向量，这是通过倒数实现的，属于标量对向量的操作。
向量的数量积（点乘）是一个数，它的逆运算（如果存在）并不能唯一地确定一个向量，因为点乘运算会丢失信息（例如，与哪个向量点乘才能得到这个数，有很多个向量可以满足要求）。
所以，当你在思考“向量有没有除法”时，关键在于明确你指的是哪种“除法”。如果是数除以向量，那么有；如果是向量除以向量，或者用向量去除向量，那么在高中数学的框架下，没有定义这种运算，因为它不像数的除法那样具有唯一性和良好的几何意义。
这可能就是那个思考题想要你体会的：不是所有的运算都可以轻易地推广到向量，运算的定义需要基于其几何意义和代数结构的合理性。
要理解为什么向量没有我们通常意义上的“除法”，咱们得先回顾一下前面学过的向量运算，以及这些运算的几何意义和代数意义。
先回忆一下向量的运算：
1. 向量加法和减法： 就像把两个位移连接起来一样，比如从A到B，再从B到C，总位移就是从A到C。用向量表示就是 $vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$。代数上，就是对应分量相加减。这个运算很直观，也符合我们对“结合”和“抵消”的理解。
2. 向量数乘： 就是把向量“拉伸”或“压缩”，方向不变（或者反向）。比如 $2vec{a}$ 是 $vec{a}$ 的两倍长，$1vec{a}$ 就是 $vec{a}$，方向相反。这个运算也很容易理解，就像缩放比例一样。
3. 向量的数量积（点乘）： 这个稍微有点不一样，它的结果是一个数，而不是向量。它衡量了两个向量在方向上的“相似程度”或者说“投影关系”，定义是 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos heta$。如果结果是数，那怎么用一个数去“除”一个向量呢？这就有问题了。
为什么没有“向量除法”？
从上面的运算来看，向量运算的本质是几何位移的组合（加减）和长度的缩放（数乘）。而数量积的结果是数，这让直接的“除法”变得不那么自然。
咱们可以类比一下数的运算：
数的加法和减法： 对应。
数的乘法： 可以看作是重复的加法，比如 $3 imes 2 = 2+2+2$。
数的除法： 是乘法的逆运算。如果 $a imes b = c$，那么 $c / b = a$ (前提是 $b eq 0$)。
如果向量有类似“除法”的运算，它应该是乘法的逆运算。但向量乘法有两种：
向量加法/减法： 它的逆运算是什么？如果 $vec{a} + vec{b} = vec{c}$，那么 $vec{c} vec{b} = vec{a}$，这就是向量的减法，我们已经有了。所以向量加减法不存在独立的“除法”概念。
向量数乘： 如果 $kvec{a} = vec{b}$ (其中 $k$ 是非零的数)，那么 $vec{b} / k = vec{a}$。这确实是我们前面提到的数乘的逆运算，也就是用一个数去“除”一个向量。这种意义上的“除法”，我们已经通过数乘的逆运算给出了。比如，已知 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 共线，且 $vec{b} = 2vec{a}$，那么 $vec{a} = frac{1}{2}vec{b}$ 或者 $vec{a} = vec{b} / 2$。这只是数乘的一种形式。
向量的数量积（点乘）与除法：
关键在于数量积。如果说向量有某种“除法”，我们最可能想到的是和数量积相关的。假设我们有 $vec{a} cdot vec{x} = s$ (其中 $s$ 是一个数)。我们想找到一个向量 $vec{x}$。从代数上看，如果 $vec{a} = (a_1, a_2)$ 且 $vec{x} = (x_1, x_2)$，那么 $a_1 x_1 + a_2 x_2 = s$。这是一个关于 $x_1, x_2$ 的线性方程，有无数解（除非 $vec{a} = vec{0}$ 且 $s eq 0$，这时无解；如果 $vec{a} = vec{0}$ 且 $s = 0$，则任意 $vec{x}$ 都满足）。
问题在于，如果我们有一个数 $s$ 和一个非零向量 $vec{a}$，我们想找到一个向量 $vec{x}$ 使得 $vec{a} cdot vec{x} = s$。这个方程组有很多解，没有唯一的解。
为什么没有唯一解呢？想象一下在二维空间，$vec{a}$ 是一个固定的向量，它在某个方向上。$vec{a} cdot vec{x}$ 的结果是向量 $vec{x}$ 在 $vec{a}$ 方向上的投影长度乘以 $|vec{a}|$。如果这个投影的长度是固定的（也就是 $s / |vec{a}|$），那么 $vec{x}$ 可以是许多不同的向量，只要它们在 $vec{a}$ 方向上的投影满足要求即可。这些向量 $vec{x}$ 可能会形成一条垂直于 $vec{a}$ 的直线（或者在一个高维空间里是一个超平面）。
而我们通常理解的除法，比如 $c / b$，结果是一个唯一的数（当 $b eq 0$）。如果向量也有“除法”，我们期望它能得到一个唯一的向量。但从 $vec{a} cdot vec{x} = s$ 的情况来看，我们得不到一个唯一的向量 $vec{x}$。
教材的“思考题”可能引导我们往哪个方向想？
选修21的思考题往往是为了激发更深层次的理解，而不是给出一个新的运算规则。这里可能有几种思考方向：
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2. “除以一个向量”的几何意义： 如果硬要定义一个“向量除法”，比如 $vec{a} / vec{b}$，它应该有什么意义？如果它是乘法的逆运算，那么 $(vec{a} / vec{b}) imes vec{b} = vec{a}$。但我们没有一个能将两个向量“相乘”得到另一个向量的运算，除了外积（叉乘），但叉乘是三维空间才有，且结果是向量，但高中选修21通常不涉及外积。即使考虑了外积，也不是所有情况都能定义逆运算。
3. 除以一个数的向量运算： 这个我们已经有了，就是数乘的逆运算，用倒数乘以向量。例如，$vec{a} / 3 = (1/3)vec{a}$。这更像是“标量除法”。
总结一下我的理解：
高中数学人教版选修21中，向量并没有我们通常意义上定义的“向量除法”。这主要是因为：
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向量的数量积（点乘）是一个数，它的逆运算（如果存在）并不能唯一地确定一个向量，因为点乘运算会丢失信息（例如，与哪个向量点乘才能得到这个数，有很多个向量可以满足要求）。
所以，当你在思考“向量有没有除法”时，关键在于明确你指的是哪种“除法”。如果是数除以向量，那么有；如果是向量除以向量，或者用向量去除向量，那么在高中数学的框架下，没有定义这种运算，因为它不像数的除法那样具有唯一性和良好的几何意义。
这可能就是那个思考题想要你体会的：不是所有的运算都可以轻易地推广到向量，运算的定义需要基于其几何意义和代数结构的合理性。
网友意见
点乘是没法诱导出向量除法的，因为点乘结果不是向量。
如果考虑叉乘，我们可以作以下的讨论：对任意 ，什么样的 满足 ？
，与 都垂直。
首先如果 不垂直，那么这样的向量不存在。如果垂直，那么首先可以发现 是符合要求的。不过，这个解不唯一。对于满足上式的任意 ，我们有
。
这唯一的可能是 ，从而上面方程的所有解为
，
有无穷多个。
所以通常意义下除法也不太好定义。不过你也可以这么看：把除法的结果定义为集合
。
(猜猜为什么要加正负号？)这看起来很奇怪，不过在微积分里已经有类似的操作：不定积分作为求导的逆运算，其结果是一族函数，正如这里的一族向量。如果不垂直也可以形式地把除法的结果定义为空集 。
这有什么用呢？我也不知道~
PS:理论力学第一次作业就有这玩意，解上面那个向量方程
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