为何向量没有除法运算？
要理解这一点，我们首先要审视向量加法和减法的本质。当我们说向量 a 加上向量 b 时，我们是在将一个向量的终点与另一个向量的起点连接起来，然后从第一个向量的起点到第二个向量的终点绘制一个新的向量。这就像位移的叠加，你先向东走了 5 米，然后又向北走了 3 米，你的总位移就是从起点到终点的那个向量。减法则是相反的过程，a b 实际上是 a + (b)，也就是 a 加上 b 的反方向向量。这些运算都保持了向量的“方向”和“大小”的直接组合或抵消，是直观且有意义的。
数乘向量，例如 2a，则是将向量 a 的长度拉伸（或缩小）到原来的两倍，但保持其方向不变。或者，如果乘以一个负数，方向会反转。这同样是改变向量的一个属性（长度）而不影响另一个（方向），或者是同时调整两者（长度和方向）。
那么，如果我们要定义向量除法，我们期望它是什么样的呢？最直接的联想可能是“逆运算”。既然加法有减法，乘法有除法，那么向量除法会不会是某种“逆向”的运算，能够“抵消”向量的某种操作？
考虑一个简单的例子：如果我们有一个向量 v，并且我们想用另一个向量 u 去“除”它，我们期望得到什么？
如果我们尝试类比数字的除法，比如 6 除以 2 等于 3，是因为 2 乘以 3 等于 6。那么，如果我们用向量 u 去“除”向量 v，我们是不是应该能找到一个“商”向量 w，使得 u 乘以 w 等于 v？
但是，向量之间不存在一个像数字乘法那样可以简单相乘得到另一个向量的“标准”运算。我们有向量的点积（数量积），它将两个向量映射到一个标量（一个数字），而不是另一个向量。我们也有向量的叉积（向量积），它将两个向量映射到另一个向量，但这个结果向量的方向与原向量都垂直，并且其大小与夹角有关。点积和叉积的定义，以及它们所代表的几何意义，都与我们对“除法”所期望的“逆向乘法”的直观理解相去甚远。
更重要的是，即使我们强行定义一种“向量除法”，也很难保证它具有良好的数学性质。例如，我们是否应该期望它满足结合律（(a/b)/c = a/(b/c)）或交换律（a/b = b/a）？数字除法本身就不满足交换律（6/2 ≠ 2/6），向量除法很可能连基础的运算性质都难以维持。
另外一个角度是，向量的“除法”可能过于“主观”，缺乏唯一性。想想看，如果我们有一个向量 v，我们想“除以”一个标量 2（实际上是乘以 1/2），那结果是确定的：长度减半，方向不变。但如果我们想“除以”一个向量 u，我们期待得到一个向量 w，使得 u 和 w 的某种组合（比如点积或叉积）等于 v。然而，可能有许多不同的向量 w，它们与 u 的点积或叉积都等于 v，或者不存在这样的 w。这使得“向量除法”的结果难以确定，失去了运算应有的明确性。
此外，向量的加法和数乘构成了向量空间的基础。在一个向量空间中，加法和标量乘法遵循一系列公理，这些公理保证了向量运算的稳定性和一致性。如果引入一个“向量除法”，它很难与这些现有结构良好地兼容，可能会破坏向量空间的整体框架。
当然，在一些特定的数学领域，例如复数（可以看作是二维向量）或者四元数（可以看作是三维向量的推广），确实存在“除法”的推广。例如，对于复数 z1 和 z2，z1/z2 的定义就是 z1 乘以 z2 的倒数。但这些运算是建立在更复杂的代数结构上的，并且它们的结果也具有特定的几何解释，并非简单的向量“除以”向量。
总而言之，向量没有一个普遍意义上的“除法”运算，是因为：
缺乏明确的逆运算定义： 向量的加法和数乘是直观的组合和缩放，但不存在一个清晰且普适的“逆向”运算来抵消它们。
向量乘法运算的限制： 向量的点积和叉积的定义及其结果（标量或特定方向的向量）与我们对“除法”的直观期望不符。
结果的不确定性与非唯一性： 即使尝试定义，也很难找到一个单一、明确的结果。
破坏代数结构： 引入向量除法很可能与向量空间的基本公理和性质相冲突。
向量之所以如此强大和实用，正是因为它的加法和数乘运算足够简洁、直观且在各种应用中表现出色。而“除法”这个概念，在向量的框架下，就像一个无法搭建起来的桥梁，它的缺失恰恰说明了向量本身结构的简洁与数学上的严谨。
网友意见
本质上来说乘法、除法、加法减法等等运算只是人们随便取的名字而已，你愿意的话可以把任意的向量的运算叫做除法。
但是这样做会有一个非常大的问题就是在日常沟通中我们通常会认为除法是乘法的逆运算，所以你得另外找到一个与你定义的除法互逆的运算乘法才行。当然其实你找不到也没关系，你喜欢的话把任何运算叫做除法都可以，只是这样表述上很别扭，除了你自己之外怕是没几个人用。
当然事实上通常被叫做乘法的运算也有一些特性，例如存在幺元什么的，理论上你当然可以把任何运算叫做乘法，这只是一个名字而已。但是和上面同样的道理，这样很别扭的话，除了你之外就没别人用了。
本质上来说，我们说叉乘什么东西的时候，并不是说先天的存在一个关于叉乘的严格定义，而是有那么一个在特定场景下有意义的运算，我们把它命名为叉乘而已。而这个名字又被广为接受，导致我们说叉乘的时候都知道在说什么……
也就在中文里面翻译成叉乘，其他语言里面指不定翻译成什么……
这是我之前就纠结要如何跟高中生讲这个问题，实在不好意思说这个你们以后就会懂了。ミ ﾟДﾟ彡不过题主就随便看看，我是针对高中孩子要如何解释的……(●'◡'●)ﾉ♥希望对你有一丢丢帮助……
我们先来看看什么是除法——已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法可以看成是“乘法的逆运算”．
那么问题又来了，什么是
逆运算_百度百科——运算是一种对应法则．假设是一个非空集合，对A中的任意两个元素和，根据某种法则使中有唯一确定的元素与它们对应，我们就说这个法则是中的一种运算．
这样，给了的任意两个元素和，通过所给的运算，可以得到一个结果．反过来，如果已知元素，以及元素，中的一个，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的逆运算．
如加法和减法，乘法与除法，幂与对数，微分与积分也互为逆运算．
所以，简单的说，逆运算就是在求逆元。
而我们知道的向量的乘法有两种，一个是数量积
数量积，一个是向量积
向量积。
·先来看看数量积有没有逆运算呢？
如果数量积有除法的话，设向量和的乘积为(数)，即那么
由数量积的定义，两个向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在此向量上的投影，那么如果确定的话，改变的方向和大小，发现有无数个向量的投影等用于在方向上的投影，即如果乘积不变，则向量的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算是没有的╮(╯_╰)╭
大概看图就这样理解吧……
对于高中的小朋友讲完数量积其实就可以差不多告一段落了~
但是还有向量积呢……
·那再来看看向量积有没有逆运算呢？
我也继续假设向量积存在除法，因为向量积的结果仍然是一个向量，设向量和的乘积为(向量)，即那么
我们知道，向量积的模可以看作平行四边形的面积，那么如果确定的话，那么变化的长度和方向，也可以得到相同面积的平行四边形，显然向量的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算还是没有的╮(╯_╰)╭
我们发现对于数量积和向量积，他们的逆运算都是不确定的，所以，向量的除法是不存在的.
其实学了群以后，就不用这么繁琐的讲这么多了。
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