若向量组A可以由向量组B线性表示，为何r（A）<=r（B）?
好的，我们来详细解释一下为什么当向量组 A 可以由向量组 B 线性表示时，必然有 $r(A) le r(B)$。
首先，我们需要明确几个核心概念：
1. 向量组（Vector System）: 向量组是一组向量的集合，例如 ${mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_m}$。
2. 线性表示（Linear Representation）: 向量组 A 可以由向量组 B 线性表示，意味着向量组 A 中的每一个向量都可以通过向量组 B 中的向量进行线性组合来得到。
如果向量组 $A = {mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_m}$，向量组 $B = {mathbf{b}_1, mathbf{b}_2, ldots, mathbf{b}_n}$，那么 A 可以由 B 线性表示是指：
对于每一个 $mathbf{a}_i$（$i=1, ldots, m$），都存在一组数 $k_{i1}, k_{i2}, ldots, k_{in}$，使得：
$mathbf{a}_i = k_{i1}mathbf{b}_1 + k_{i2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{in}mathbf{b}_n$
3. 向量组的秩（Rank of a Vector System）: 向量组的秩定义为其线性无关向量的最大个数。换句话说，向量组的秩是能够表示该向量组所有向量的最小向量组的向量个数。
更严谨地说，向量组的秩是其能够生成的子空间（称为向量组的生成子空间）的维数。
现在，我们来推导 $r(A) le r(B)$：
核心思路：
如果向量组 A 的每个向量都能由向量组 B 的向量线性表示，那么向量组 A 的所有向量都“蕴含”在由向量组 B 生成的子空间中。因此，A 生成的子空间必然是 B 生成的子空间的子空间。子空间的维度关系决定了向量组的秩关系。
详细推导步骤：
第一步：理解向量组 A 的生成子空间
向量组 A 的生成子空间，记作 $S(A)$，是指所有能由向量组 A 中的向量线性组合而成的向量的集合。
$S(A) = { mathbf{v} mid mathbf{v} = c_1mathbf{a}_1 + c_2mathbf{a}_2 + ldots + c_mmathbf{a}_m, ext{其中 } c_1, ldots, c_m ext{ 是任意标量} }$
向量组 A 的秩 $r(A)$ 正是其生成子空间 $S(A)$ 的维数，即 $r(A) = dim(S(A))$。
第二步：理解向量组 B 的生成子空间
同理，向量组 B 的生成子空间，记作 $S(B)$，是指所有能由向量组 B 中的向量线性组合而成的向量的集合。
$S(B) = { mathbf{w} mid mathbf{w} = d_1mathbf{b}_1 + d_2mathbf{b}_2 + ldots + d_nmathbf{b}_n, ext{其中 } d_1, ldots, d_n ext{ 是任意标量} }$
向量组 B 的秩 $r(B)$ 正是其生成子空间 $S(B)$ 的维数，即 $r(B) = dim(S(B))$。
第三步：利用 A 可由 B 线性表示的条件建立子空间关系
题目条件是：向量组 A 可以由向量组 B 线性表示。
这意味着对于向量组 A 中的每一个向量 $mathbf{a}_i$，都存在一组标量 $k_{i1}, k_{i2}, ldots, k_{in}$，使得：
$mathbf{a}_i = k_{i1}mathbf{b}_1 + k_{i2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{in}mathbf{b}_n$
现在，我们考虑向量组 A 的任意一个线性组合 $mathbf{v} in S(A)$：
$mathbf{v} = c_1mathbf{a}_1 + c_2mathbf{a}_2 + ldots + c_mmathbf{a}_m$
我们将上面 $mathbf{a}_i$ 的表达式代入：
$mathbf{v} = c_1(k_{11}mathbf{b}_1 + k_{12}mathbf{b}_2 + ldots + k_{1n}mathbf{b}_n) + c_2(k_{21}mathbf{b}_1 + k_{22}mathbf{b}_2 + ldots + k_{2n}mathbf{b}_n) + ldots + c_m(k_{m1}mathbf{b}_1 + k_{m2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{mn}mathbf{b}_n)$
我们可以重新组合这个表达式，将 $mathbf{b}_1, mathbf{b}_2, ldots, mathbf{b}_n$ 的系数提取出来：
$mathbf{v} = (c_1k_{11} + c_2k_{21} + ldots + c_mk_{m1})mathbf{b}_1 + (c_1k_{12} + c_2k_{22} + ldots + c_mk_{m2})mathbf{b}_2 + ldots + (c_1k_{1n} + c_2k_{2n} + ldots + c_mk_{mn})mathbf{b}_n$
令 $d_j = c_1k_{1j} + c_2k_{2j} + ldots + c_mk_{mj}$ (其中 $j=1, ldots, n$)。
则 $mathbf{v} = d_1mathbf{b}_1 + d_2mathbf{b}_2 + ldots + d_nmathbf{b}_n$。
这个结果表明，向量组 A 的任意一个线性组合 $mathbf{v}$，都可以写成向量组 B 的向量的线性组合。
换句话说，任何属于 $S(A)$ 的向量也一定属于 $S(B)$。
这正是说 $S(A)$ 是 $S(B)$ 的一个子空间，即 $S(A) subseteq S(B)$。
第四步：利用子空间维度关系得出秩的不等式
我们知道，如果一个向量空间（或子空间）$U$ 是另一个向量空间（或子空间）$V$ 的子空间 ($U subseteq V$)，那么 $U$ 的维数必然小于或等于 $V$ 的维数。
即，$dim(U) le dim(V)$。
因为我们已经证明了 $S(A) subseteq S(B)$，所以：
$dim(S(A)) le dim(S(B))$
而我们之前定义了 $r(A) = dim(S(A))$ 和 $r(B) = dim(S(B))$。
因此，我们得到：
$r(A) le r(B)$
总结一下推导过程：
1. 定义: 向量组 A 的秩是其生成子空间 $S(A)$ 的维数，向量组 B 的秩是其生成子空间 $S(B)$ 的维数。
2. 条件分析: A 可由 B 线性表示意味着 A 中每个向量都在 $S(B)$ 中。
3. 子空间推导: 由于 A 中所有向量都在 $S(B)$ 中，因此 A 的任意线性组合（即 $S(A)$ 中的任意向量）也一定在 $S(B)$ 中。这表明 $S(A)$ 是 $S(B)$ 的子空间 ($S(A) subseteq S(B)$)。
4. 维度关系: 子空间的维数不可能大于它所包含的更大空间的维数，即 $dim(S(A)) le dim(S(B))$。
5. 结论: 将秩的定义代入，得到 $r(A) le r(B)$。
一个直观的理解：
想象向量组 B 像一个“大房间”，它能够容纳的“自由度”（维度）是 $r(B)$。向量组 A 中的每个向量都是由 B 中的向量“制作”出来的，这就好像 A 中的所有向量都只能在这个“大房间”里活动，它们无法“跑出”这个房间。因此，A 能够生成的“范围”（它的生成子空间 $S(A)$）必然被限制在 B 的“大房间”内。如果 A 能够表示的“独立方向”的数量（$r(A)$）超过了 B 所能提供的“独立方向”的数量（$r(B)$），那是不可能的。所以，A 所能表示的独立方向的数量最多只能等于 B 所能表示的独立方向的数量。
希望这个详细的解释能够帮助你理解这个重要的结论！
首先，我们需要明确几个核心概念：
1. 向量组（Vector System）: 向量组是一组向量的集合，例如 ${mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_m}$。
2. 线性表示（Linear Representation）: 向量组 A 可以由向量组 B 线性表示，意味着向量组 A 中的每一个向量都可以通过向量组 B 中的向量进行线性组合来得到。
如果向量组 $A = {mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_m}$，向量组 $B = {mathbf{b}_1, mathbf{b}_2, ldots, mathbf{b}_n}$，那么 A 可以由 B 线性表示是指：
对于每一个 $mathbf{a}_i$（$i=1, ldots, m$），都存在一组数 $k_{i1}, k_{i2}, ldots, k_{in}$，使得：
$mathbf{a}_i = k_{i1}mathbf{b}_1 + k_{i2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{in}mathbf{b}_n$
3. 向量组的秩（Rank of a Vector System）: 向量组的秩定义为其线性无关向量的最大个数。换句话说，向量组的秩是能够表示该向量组所有向量的最小向量组的向量个数。
更严谨地说，向量组的秩是其能够生成的子空间（称为向量组的生成子空间）的维数。
现在，我们来推导 $r(A) le r(B)$：
核心思路：
如果向量组 A 的每个向量都能由向量组 B 的向量线性表示，那么向量组 A 的所有向量都“蕴含”在由向量组 B 生成的子空间中。因此，A 生成的子空间必然是 B 生成的子空间的子空间。子空间的维度关系决定了向量组的秩关系。
详细推导步骤：
第一步：理解向量组 A 的生成子空间
向量组 A 的生成子空间，记作 $S(A)$，是指所有能由向量组 A 中的向量线性组合而成的向量的集合。
$S(A) = { mathbf{v} mid mathbf{v} = c_1mathbf{a}_1 + c_2mathbf{a}_2 + ldots + c_mmathbf{a}_m, ext{其中 } c_1, ldots, c_m ext{ 是任意标量} }$
向量组 A 的秩 $r(A)$ 正是其生成子空间 $S(A)$ 的维数，即 $r(A) = dim(S(A))$。
第二步：理解向量组 B 的生成子空间
同理，向量组 B 的生成子空间，记作 $S(B)$，是指所有能由向量组 B 中的向量线性组合而成的向量的集合。
$S(B) = { mathbf{w} mid mathbf{w} = d_1mathbf{b}_1 + d_2mathbf{b}_2 + ldots + d_nmathbf{b}_n, ext{其中 } d_1, ldots, d_n ext{ 是任意标量} }$
向量组 B 的秩 $r(B)$ 正是其生成子空间 $S(B)$ 的维数，即 $r(B) = dim(S(B))$。
第三步：利用 A 可由 B 线性表示的条件建立子空间关系
题目条件是：向量组 A 可以由向量组 B 线性表示。
这意味着对于向量组 A 中的每一个向量 $mathbf{a}_i$，都存在一组标量 $k_{i1}, k_{i2}, ldots, k_{in}$，使得：
$mathbf{a}_i = k_{i1}mathbf{b}_1 + k_{i2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{in}mathbf{b}_n$
现在，我们考虑向量组 A 的任意一个线性组合 $mathbf{v} in S(A)$：
$mathbf{v} = c_1mathbf{a}_1 + c_2mathbf{a}_2 + ldots + c_mmathbf{a}_m$
我们将上面 $mathbf{a}_i$ 的表达式代入：
$mathbf{v} = c_1(k_{11}mathbf{b}_1 + k_{12}mathbf{b}_2 + ldots + k_{1n}mathbf{b}_n) + c_2(k_{21}mathbf{b}_1 + k_{22}mathbf{b}_2 + ldots + k_{2n}mathbf{b}_n) + ldots + c_m(k_{m1}mathbf{b}_1 + k_{m2}mathbf{b}_2 + ldots + k_{mn}mathbf{b}_n)$
我们可以重新组合这个表达式，将 $mathbf{b}_1, mathbf{b}_2, ldots, mathbf{b}_n$ 的系数提取出来：
$mathbf{v} = (c_1k_{11} + c_2k_{21} + ldots + c_mk_{m1})mathbf{b}_1 + (c_1k_{12} + c_2k_{22} + ldots + c_mk_{m2})mathbf{b}_2 + ldots + (c_1k_{1n} + c_2k_{2n} + ldots + c_mk_{mn})mathbf{b}_n$
令 $d_j = c_1k_{1j} + c_2k_{2j} + ldots + c_mk_{mj}$ (其中 $j=1, ldots, n$)。
则 $mathbf{v} = d_1mathbf{b}_1 + d_2mathbf{b}_2 + ldots + d_nmathbf{b}_n$。
这个结果表明，向量组 A 的任意一个线性组合 $mathbf{v}$，都可以写成向量组 B 的向量的线性组合。
换句话说，任何属于 $S(A)$ 的向量也一定属于 $S(B)$。
这正是说 $S(A)$ 是 $S(B)$ 的一个子空间，即 $S(A) subseteq S(B)$。
第四步：利用子空间维度关系得出秩的不等式
我们知道，如果一个向量空间（或子空间）$U$ 是另一个向量空间（或子空间）$V$ 的子空间 ($U subseteq V$)，那么 $U$ 的维数必然小于或等于 $V$ 的维数。
即，$dim(U) le dim(V)$。
因为我们已经证明了 $S(A) subseteq S(B)$，所以：
$dim(S(A)) le dim(S(B))$
而我们之前定义了 $r(A) = dim(S(A))$ 和 $r(B) = dim(S(B))$。
因此，我们得到：
$r(A) le r(B)$
总结一下推导过程：
1. 定义: 向量组 A 的秩是其生成子空间 $S(A)$ 的维数，向量组 B 的秩是其生成子空间 $S(B)$ 的维数。
2. 条件分析: A 可由 B 线性表示意味着 A 中每个向量都在 $S(B)$ 中。
3. 子空间推导: 由于 A 中所有向量都在 $S(B)$ 中，因此 A 的任意线性组合（即 $S(A)$ 中的任意向量）也一定在 $S(B)$ 中。这表明 $S(A)$ 是 $S(B)$ 的子空间 ($S(A) subseteq S(B)$)。
4. 维度关系: 子空间的维数不可能大于它所包含的更大空间的维数，即 $dim(S(A)) le dim(S(B))$。
5. 结论: 将秩的定义代入，得到 $r(A) le r(B)$。
一个直观的理解：
想象向量组 B 像一个“大房间”，它能够容纳的“自由度”（维度）是 $r(B)$。向量组 A 中的每个向量都是由 B 中的向量“制作”出来的，这就好像 A 中的所有向量都只能在这个“大房间”里活动，它们无法“跑出”这个房间。因此，A 能够生成的“范围”（它的生成子空间 $S(A)$）必然被限制在 B 的“大房间”内。如果 A 能够表示的“独立方向”的数量（$r(A)$）超过了 B 所能提供的“独立方向”的数量（$r(B)$），那是不可能的。所以，A 所能表示的独立方向的数量最多只能等于 B 所能表示的独立方向的数量。
希望这个详细的解释能够帮助你理解这个重要的结论！
网友意见
一组向量的秩=这组向量生成的线性空间的维数，
A可以由B生成，则意味着
由A生成的线性空间是由B生成的线性空间的子空间，子空间的维数当然比较小。
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