有没有碰到过可以通过建立物理模型且运用了物理基本原理来得到解析解的数学题？
我记得有一次，我正在准备一个关于经典力学的复习。其中有一个题目，涉及到在一个复杂轨道上运动的物体的能量。题目描述是这样的：一个质量为 $m$ 的质点，沿着一个光滑的、由参数方程描述的曲线运动。曲线的形状很复杂，用标准的 $x, y$ 坐标表示的话，方程会包含很多三角函数或者更复杂的函数，直接求导和积分会非常棘手。题目要求计算在任意位置的动能和势能，以及它们如何随时间变化。
一开始，我尝试直接用给定的参数方程来处理，但很快就发现，如果直接套用运动学公式来计算速度和加速度，然后代入能量公式，会遇到巨大的计算量和复杂的代数运算。这让我有点犯难，感觉陷入了纯粹的数学泥潭。
我开始思考，有没有办法让这个问题变得更“物理”一点。我放下笔，走到窗边，看着外面随风摇曳的树叶。树叶的运动轨迹也不是简单的直线或圆，但它们似乎遵循着一些基本的物理规律。突然我想到，运动本身是由力决定的，而能量的改变也和力做功有关。
于是我重新审视题目，发现题目虽然给出了轨迹的数学描述，但它本质上是在描述一个“运动过程”。在物理学中，描述运动最根本的是牛顿第二定律：$mathbf{F} = mmathbf{a}$。而能量的变化，也与作用在物体上的力直接相关。
我决定建立一个“物理模型”，这个模型的核心就是能量守恒定律和力的概念。
首先，我设想这个质点是被某个外力牵引着，沿着给定的曲线运动的。由于曲线是光滑的，这意味着在曲线上运动时，除了沿着曲线方向的“约束力”外，可能还受到其他保守力（比如引力，或者题目中隐含的其他力场）的作用。如果题目没有明确说明力的来源，我们可以暂时将其看作是某种形式的“势能”在起作用。
关键的转折点在于，我意识到问题要求的“解析解”意味着，我需要找到一个可以直接表达能量与位置关系的普适性公式，而不是仅仅计算某个特定时刻的值。而物理中的功能定理（WorkEnergy Theorem）和机械能守恒定律（Law of Conservation of Mechanical Energy）就是解决这类问题的利器。
功能定理指出，合外力做的功等于物体动能的变化：$W_{net} = Delta K$。
机械能守恒定律则说，在只有保守力做功的情况下，物体的总机械能（动能加势能）是恒定的：$E = K + U = constant$。
题目中给出的曲线方程，虽然直接用来计算速度很麻烦，但它提供了一个描述物体在空间中位置的几何约束。我们可以利用这个几何约束来理解“力”在做什么。
我尝试将问题的核心从“计算速度”转移到“描述状态”。物体在曲线上任意一点的状态，可以用该点到某个参考点的位移来描述。即使曲线很复杂，我们仍然可以想象在曲线上引入一个弧长参数 $s$。这个弧长参数可以看作是物体从曲线上某个固定起点开始运动的“距离”。
现在，我们可以用弧长 $s$ 来描述物体在曲线上任意一点的位置。虽然直接从参数方程得到弧长参数方程可能也很复杂，但关键在于，我们可以基于弧长来定义力和能量。
1. 力的分解: 作用在物体上的合力 $mathbf{F}$ 可以分解为沿着曲线切线方向的分量 $mathbf{F}_t$ 和垂直于切线方向（指向曲率中心）的分量 $mathbf{F}_n$。
切向力 $mathbf{F}_t$ 负责改变物体的速度大小，也就是改变动能。
法向力 $mathbf{F}_n$ 负责改变物体的速度方向，提供向心力，但它不做净功（因为它始终垂直于位移）。
2. 功的计算: 根据功的定义，$dW = mathbf{F} cdot dmathbf{r}$。如果我们将位移 $dmathbf{r}$ 看作是沿着曲线前进的微小弧长 $ds$，那么 $dmathbf{r}$ 的方向与切线方向一致。所以，$dW = F_t ds$。
3. 动能与势能的关系: 功能定理告诉我们，$dK = F_t ds$。
如果这个运动是在一个势场中进行的，那么力可以由势能函数表示：$mathbf{F} = abla U$。在曲线上，切向力分量 $F_t$ 实际上就是保守力沿着切线方向的分量，可以写成 $F_t = frac{dU}{ds}$，其中 $U$ 是物体在该点的势能。
将 $F_t = frac{dU}{ds}$ 代入 $dK = F_t ds$，我们得到 $dK = frac{dU}{ds} ds$，即 $dK = dU$。
移项后，就是我们熟悉的 $dK + dU = 0$，或者写成积分形式：$Delta K + Delta U = 0$，这正是机械能守恒定律 $Delta E = Delta K + Delta U = 0$ 的体现。
所以，问题的关键不在于如何精确地计算速度和加速度的表达式，而在于认识到任何沿着给定路径运动的物体，其能量的变化都与沿着路径的力的积累有关。
通过建立这个物理模型，我得以绕过直接计算复杂的运动学方程。我可以用弧长 $s$ 作为系统的“状态变量”。
势能 $U(s)$: 如果题目给出了一个描述力的普适性公式（比如引力与距离的关系，或者一个固定的非保守力），我就可以通过对这个力沿着曲线的切向分量进行积分来得到势能函数 $U(s)$。即使没有明确的力公式，如果题目能给出某种形式的“势能函数”的描述，比如 $U$ 仅仅依赖于物体在空间中的绝对位置，我只需要找到这个位置在曲线上对应的弧长参数 $s$。
动能 $K(s)$: 利用机械能守恒定律，$K(s) + U(s) = E_{total}$，其中 $E_{total}$ 是一个常数。因此，$K(s) = E_{total} U(s)$。
这样一来，无论原先的参数方程多么复杂，只要我能找到一个方式来定义“弧长” $s$ 和对应的“势能” $U(s)$，我就能得到动能 $K(s)$ 的解析表达式，并且知道总机械能 $E_{total}$。
举例说明:
假设题目说，质点沿着一个由参数 $t$ 描述的曲线 $mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ 运动，并且受到一个只依赖于位置的保守力 $mathbf{F}(mathbf{r}) = (F_x(mathbf{r}), F_y(mathbf{r}))$ 的作用。曲线方程本身可能很复杂，比如 $x(t) = cos(t) + sin(2t)$, $y(t) = sin(t) cos(2t)$。
我的物理建模过程是这样的：
1. 识别物理原理: 这是典型的保守力场中的运动，核心是机械能守恒。
2. 定义状态: 选取一个合适的“状态变量”。虽然直接用 $t$ 可能不容易建立普适性公式，但我们可以考虑用曲线上的弧长 $s$ 来作为状态变量。
3. 计算势能 $U(s)$: 如果我们知道力 $mathbf{F}(mathbf{r})$ 的形式，我们可以通过沿曲线积分来计算势能的变化。势能定义为 $U(mathbf{r}) = int_{mathbf{r}_0}^{mathbf{r}} mathbf{F} cdot dmathbf{r}'$。这里的积分路径是沿着给定的曲线。即使参数方程复杂，我们可以将其视为一种“路径”的定义。如果 $F_x$ 和 $F_y$ 是已知的函数，我们可以将 $mathbf{F} cdot dmathbf{r} = F_x dx + F_y dy$ 沿着曲线的参数方程进行积分，结果会得到一个关于参数 $t$ 的函数。然后，我们还需要将 $t$ 与弧长 $s$ 联系起来。
4. 弧长参数化 (可选但概念上重要): 理想情况下，我们会尝试找到一个弧长参数化 $s( au)$，使得 $mathbf{r}( au)$ 是关于弧长 $ au$ 的函数。一旦有了 $mathbf{r}( au)$，那么 $ds = ||frac{dmathbf{r}}{d au}|| d au$。这样，势能就可以写成 $U( au)$。
5. 应用能量守恒: $K( au) + U( au) = E_{total}$。即 $K( au) = E_{total} U( au)$。
这个方法的强大之处在于：它把问题的核心从“如何在复杂的参数方程中计算微分和积分”转化为了“如何在曲线上理解和积分力的作用来定义势能”。即使找不到直接的弧长参数化，只要我们能定义一个沿着曲线的“进度”参数（比如题目中的 $t$），并且能够计算出 “某个力”在沿着这条路径前进一个微小距离 $ds$ 时所做的功，我们就可以建立能量方程。
我记得还有一个稍微简化但同样体现这个思路的例子：一个质点沿着一个在极坐标系下由 $r = f( heta)$ 描述的曲线运动，受到一个中心力 $mathbf{F} = F(r) hat{mathbf{r}}$。这里的 $ heta$ 可以看作是一个“进度”参数。
在这种情况下，中心力只有径向分量，因此 $F_{ heta} = 0$。角动量守恒会起作用：$m r^2 dot{ heta} = L$ (常数)。
势能只取决于径向距离 $r$: $U(r) = int_{infty}^{r} F(r') dr'$ (假设在无穷远处势能为零)。
总能量 $E = frac{1}{2} m |mathbf{v}|^2 + U(r)$。
速度的平方是 $|mathbf{v}|^2 = dot{r}^2 + (rdot{ heta})^2 = dot{r}^2 + frac{L^2}{m^2 r^2}$。
所以，$E = frac{1}{2} m (dot{r}^2 + frac{L^2}{m^2 r^2}) + U(r)$。
虽然这里仍然涉及 $dot{r}$，但由于角动量守恒限制了运动，我们可以进一步利用 $dr = frac{dr}{d heta} d heta = f'( heta) d heta$，以及 $dot{ heta} = frac{L}{m r^2}$。这样，我们就可以将微分方程转化为关于 $r$ 和 $ heta$ 的方程，并寻求解析解。
关键是，我们通过引入角动量守恒和中心力场的概念，为能量表达式提供了更精炼的结构，使得即使原曲线方程复杂，我们也能抓住核心的守恒律。
这些经历让我深刻体会到，有时候解决数学问题的最佳途径，是将它从纯粹的符号运算拉回到我们能够直观感受的物理世界中。通过建立一个清晰的物理模型，利用那些经过时间考验的基本物理原理，往往能发现一条通往解析解的捷径，而且这个解本身也充满了物理的洞察力。这种“以物理为指引的数学探索”，对我来说是最有魅力的学习方式。
网友意见
光弹性力学（photoelasticity）。可以用光斑来直接算出偏微分方程边值问题的数值解。
对于平面二维弹性力学问题，应力场可以通过求解偏微分方程的边值问题得到解析解。虽然弹性力学二维控制方程已经提出了几个世纪，但是对于很多复杂结构的偏微分方程边值问题，仍然是没有解析解的。由于某些材料承受不同的应力之后，光学性能会产生变化，光弹性力学就是通过把这种材料做成要分析的不规则形状，然后加上载荷，这样直接通过分析光场变化，就可以得到每一处的应力和应变了。由于应力和应变是偏微分方程边值问题的解，所以等于通过观察一个物理场，直接找到了偏微分方程的解。
但是由于有限元和计算机技术的发展，找到平面问题弹性力学的数值解，不论结构多复杂都是轻而易举的事儿了。所以这个方法已经基本没人用了。
由此深感到世界的发展，国家的进步还是要靠理工男们，这么美妙绝伦，漂亮的不像实力派的方法被弃置不用，圈内大家都能很积极的对待，为了有更简便的方法而欣慰。想想小清新们因为类似捏面人，蒸米饭这样阉鸡杀狗的雕虫小技失传又是拍视频，又是写软文。真是矫情。
。
弗雷·奥托（Frei Otto）中标1972年慕尼黑奥运会的主体育场及附属建筑设计。
为了寻求膜结构的最优抗拉形态，奥托在计算机建模能力很差的时代，用肥皂液、金属丝和线绳搭建模型，让肥皂泡张力拖动构件，形成面积最小的屋顶曲线。再用平行光照射肥皂泡，在墙上描绘出曲线的投影，反推曲面的数学描述。
最终的设计既节约屋面材料，也充分发挥了大多数构件的的强度，还达成了优美的视觉效果。其他建筑设计师完成同级别的力学结构突破，基本都要到比尔盖茨时代以后了。
不过这也不是奥托的独创，前计算机时代很多设计者都会用物理模型模拟数学计算。各位理科、工科的同学肯定对“样条曲线”这个名字很熟悉。但“样条”并不是一个数学名词，而是非常实用的设计工具。所谓即用横向有弹性，长度上不可延展的扁片连接固定点，通过调整固定点位置和固定模式来形成平滑曲线，避免复杂的微积分计算。后来的CAD样条曲线倒是对当年实体工具的模拟了。
造船、汽车、航空等行业大量应用样条，在我们道路行业，复杂选线甚至会用样条在沙盘上拉三维曲线，初步确定线形。从弹性样条到肥皂泡，奥托只是用深厚的数学-力学功底拓展了物理工具的范围，原理倒是那个时代常见的解题思路。高手飞花摘叶亦可伤人，这就是实例。
相关回答：
码完发现改问题了……还是写下来吧x
答曰:
巴塞尔问题(The Basel Problem)
求和式:
以下方法来自3Blue1Brown的一期视频，方法基于Johan Wästlund的论文.
答案是 ,你肯定要问这个 是从哪里冒出来的,一个简单的代数和式为什么就跟 扯上关系了? 就是那个圆周率, 没错.
在我们建立物理模型后, 你就能形象地看清楚 的来源了.
想像你站在数轴原点, 沿着 轴正方向等距地排列着一系列完全相同的灯塔, 它们之间的距离是单位长度, 也就是说在每个正整数对应的点上都放着灯塔.
我们来看正整数1对应的灯塔, 假设 轴上只亮起这一个灯塔, 我们定义它的表观亮度为1, 即单位表观亮度, 意思是一座灯塔距离观察者1单位长度时观察者眼睛接收到的亮度.
那么2号灯塔(正整数2对应的灯塔)的表观亮度又是多少呢? 答案是 .
在这里我们对灯塔发出的光做了一些理想假设, 我们知道, 真空中球面波在球面 上的功率 可表示为:
.
其中 为坡印廷矢量, r为球面的半径. 我们可以看到:
.
即球面波强与距离平方成反比(平方反比关系出现了……). 那么, 2号灯塔与你的距离为2, 显然它对于你的表观亮度就是 了. 以此类推, 3号灯塔的表观亮度是 , 4号灯塔是 ……
现在我们计算全部灯塔的表观亮度和, 也就是这一列灯塔都亮起时, 你感受到的亮度:
.
好了这样我们用物理模型将这个问题解决了. (逃ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛)
到目前为止的工作只能算是将巴塞尔问题重述了一遍, 然而在这种叙述中并没有找到一个良好的计算方法, 至少在目前的这个模型中还是无法计算这个级数的. 那我们可否将这一列灯塔重新放置, 而不改变你眼中感受到的亮度呢?
首先我们需要证明一个trick的可行性, 我们暂且称之为"灯塔分解定理":
你还是站在坐标系的原点O处, 你站在的平面上的某个位置有一个灯塔D, 灯塔D的表观亮度就应该是 . 过D作AB⊥OD, 分别交y, x轴于A和B.
显然:
.
这个式子又称作"倒数勾股定理", 在我们给出的物理背景下, 这个式子的含义是: 灯塔D的表观亮度等于两个相同灯塔A、B的总表观亮度, 我们通过这一等效过程, 将一个灯塔分解成了两个与原灯塔完全相同的灯塔(这里需要注意灯塔分解定理适用的几何条件:在直角三角形OAB中, OD⊥AB) . 这一个式子的证明应该是初中的一道几何证明题, 各位同学可以试一下23333.
准备工作完毕.
现在设想你站在一个圆形的湖边O点处, 在你的正对面A是一座灯塔(OA为圆O'的直径), 湖的周长为2:
这样, 灯塔A的表观亮度就是:
.
以A为圆心, OA为半径作圆, 称为第二个湖. 过A作圆O'的切线, 交圆A于B1和B2, 连接OB1、OB2. 显然B1B2为圆A的直径, 故对三角形OB1B2应用灯塔分解定理得, A处的一座灯塔等效于B1与B2处的两座灯塔, 总表观亮度不变, 仍为 .
再以B为圆心, OB为半径作圆, 作直线BB1交圆B于C1 C2, 作直线BB2交圆B于C3、C4. 连接OC1 OC2、OB1容易证明三角形OC1C2满足灯塔分解定理的几何条件, 应用定理可得, 灯塔B1等效为灯塔C1、C2, 总表观亮度不变. 同理可以将B2等效为C3、C4, 总表观亮度不变.
至此, 运用这种等价关系我们可以将灯塔A的表观亮度看作C1 C2 C3 C4四个灯塔的表观亮度和.
值得注意的是, 这时候: 弧C1C4=C4C2=C2C3=2.
依此反复, 不停扩大湖的面积至无穷大(也可以说是半径无穷大), 最后你会发现自己相当于站在了x轴的原点, 在你的两侧这样分布着灯塔:
在x轴上的全部灯塔对于你的表观亮度仍是 .
于是我们得到和式的值:
其中n为奇数.
半分之:
这样我们就把一个和式与 关联起来了.
ちょっと待って!
看一看我们要求的那个和式:
“你当初可不是这么说的!”
别着急, 我们已经非常接近答案了, 只是差了偶数项的和式. 记:
我们不妨回到图1的情形, 这时候所有灯塔对你的表观亮度就是 . 这时我们将所有灯塔与你的距离变为原来的两倍, 根据光强的平方反比关系, 距离扩大后的表观亮度为 . 而这样扩大距离的结果, 正是偶数号灯塔全部亮起的情况, 于是有: . 显然有 , 于是: .
最终: .
也就是说: .
这里是原视频:
有条件的可以看视频……很多东西说得比文字直观, 平方反比关系是我用了波强来叙述, 跟原视频稍有不同.
总而言之, 这个物理模型提供了平方反比的关系最后帮助得到了答案.
2018.5.10 Updated 最让人舒服的方法
已经是数学方法了题主莫要打我23333
看着爽而已wwwww
设函数 , 其Fourier级数为：
.
代入 立即得证.
一时答毕.
一个比较cute的例子是用退火算法来解魔方，更广义的来说就是解全局最优化的问题
退火算法一种由统计力学启发的做优化问题的方法。当一个问题的势能面非常复杂并有很多local minima的时候，用梯度的方法很容易卡在一个local最优而非全局最优的地方。退火的策略就是可以将系统的有效温度升高然后慢慢“降温”来寻找能量最低点。这样做的好处是当系统状态离全局最优的位置较远时，比较剧烈的涨落来探索更多的可能路径，这样不比较不容易卡在一个的路径上。当“温度”降低后，系统就更将倾向于能量的最低，当“温度”降为零的时候，优化自由能的问题就变成能量的最低点。
Chen和Ding在一篇文章里面就用这种退火的方法来解魔方【1】。在某种程度上说，魔方的能量最小化的问题可以类比一个有几何限制的六面Ising Model。当然因为几何和操作的限制，使得魔方的势能面变得非常复杂。可以想象当魔方被打乱的时候，能量是高的，而当魔方还原的之后的能量是处于一个能量最低点。每次操作定义为对魔方的旋转操作，并计算操作之后的能量变化，根据metropolis算法来接受或者拒绝每一次的操作。同时通过分步地将魔方整理，依次解面，边和角块，并通过交替使用两种能量函数针对解决跳出每一步local minima的问题。
用他们的方法可以做到在一个电脑上用996s解一个一百零一阶的魔方。解一个5000阶的魔方在hpc上用8个node只需要半个小时左右.
值得指出的是这个解法还是需要分开解面块，边块和角块，并且用了两个能量函数交替使用，并不是一个纯粹的退火算法。一个自然想到的问题是：存不存在一种更好的能量函数能够更好把魔方的群的性质嵌入，使得解法更加自然呢？这是一个有意思的问题。
当然解魔方并不必须用退火的方法，用Group Theory是更自然的表示。只是把统计力学的方法和魔方结合起来感觉还是很有趣的想法。感兴趣的小伙伴可以看看他们的文章。
Reference:
[1] Xi Chen, Z.J. Ding， Solving extra-high-order Rubik’s Cube problem by a dynamic simulated annealing， Computer Physics Communications 183 (2012) 1658–1663
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