g为R→R的函数且g(g(x))=-x^13-x，怎么证明g不可导？

探寻函数 $g(x)$ 的不可导性：一场严谨的推理之旅

我们面对的函数 $g: mathbb{R} o mathbb{R}$ 并非等闲之辈，它满足一个颇具挑战性的恒等式：$g(g(x)) = x^{13} x$。这个关系式赋予了 $g$ 一种深刻的结构，而我们要做的，便是基于此结构，证明 $g$ 函数在任意一点上都不可导。这趟证明之旅将充满逻辑的严谨与细节的打磨，让我们一同深入探究。

步步为营：从函数性质出发

首先，我们来仔细审视 $g(g(x)) = x^{13} x$ 这个关系。这个函数复合的作用，就像是一个双重变换，最终将输入 $x$ 映射到 $x^{13} x$。

1. 单调性分析：
考虑函数 $h(x) = x^{13} x$。它的导数是 $h'(x) = 13x^{12} 1$。由于 $x^{12} ge 0$，所以 $h'(x) le 1$ 对所有实数 $x$ 都成立。这意味着 $h(x)$ 是一个严格单调递减的函数。

现在，我们来推导 $g(x)$ 的单调性。
假设 $x_1 < x_2$。
如果 $g(x_1) < g(x_2)$，那么应用 $g$ 一次，我们得到 $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$。然而，根据恒等式，$g(g(x_1)) = x_1^{13} x_1$ 和 $g(g(x_2)) = x_2^{13} x_2$。由于 $h(x) = x^{13} x$ 是严格单调递减的，并且 $x_1 < x_2$，我们必然有 $h(x_1) > h(x_2)$，即 $g(g(x_1)) > g(g(x_2))$。这与 $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$ 矛盾。
因此，我们的假设 $g(x_1) < g(x_2)$ 是错误的。
同理，如果 $g(x_1) > g(x_2)$，那么应用 $g$ 一次，我们得到 $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$。这同样与 $g(g(x_1)) > g(g(x_2))$ 矛盾。
所以，唯一的可能性是 $g(x_1) = g(x_2)$ 当且仅当 $x_1 = x_2$。换句话说， $g$ 必须是单射（一对一）。

有了单射性，我们再来看单调性：
假设 $g$ 是单调递增的。如果 $x_1 < x_2$，那么 $g(x_1) < g(x_2)$。再次应用 $g$，我们得到 $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$。但这与 $g(g(x_1)) > g(g(x_2))$ 矛盾。所以 $g$ 不能是单调递增的。
假设 $g$ 是单调递减的。如果 $x_1 < x_2$，那么 $g(x_1) > g(x_2)$。再次应用 $g$，我们得到 $g(g(x_1)) < g(g(x_2))$。这与 $g(g(x_1)) > g(g(x_2))$ 矛盾。所以 $g$ 也不能是单调递减的。

这似乎带来了一个困境： $g$ 既不能单调递增也不能单调递减？仔细思考，我们的逻辑依赖于 $g$ 本身的单调性。但 $g$ 的复合 $g circ g$ 是单调递减的。这说明 $g$ 本身一定具有“跨越单调性”的性质，例如，它可能不是全局单调的，但其复合是单调的。

让我们换个角度思考。因为 $g(g(x))$ 是严格递减的，这意味着 $g$ 必须是一一映射（双射）。如果 $g(x_1) = g(x_2)$，那么 $g(g(x_1)) = g(g(x_2))$，即 $x_1^{13} x_1 = x_2^{13} x_2$，由于 $h(x) = x^{13} x$ 是严格递减的，所以 $x_1 = x_2$。因此 $g$ 是单射。
而如果存在 $y in mathbb{R}$，使得 $g(x) = y$ 对于所有的 $x$ 都没有解，那么 $g$ 就不是满射。但是，如果 $g$ 不是满射，那么 $g circ g$ 的值域将受到限制。然而，$x^{13} x$ 的值域是整个 $mathbb{R}$。所以 $g$ 必须是满射。
因此，$g$ 是一个双射。

2. 不动点的性质：
考虑方程 $g(x) = x$。如果存在这样的 $x_0$，那么 $g(g(x_0)) = g(x_0) = x_0$。
而根据恒等式，$g(g(x_0)) = x_0^{13} x_0$。
所以，我们有 $x_0 = x_0^{13} x_0$，即 $x_0^{13} + 2x_0 = 0$。
$x_0(x_0^{12} + 2) = 0$。
因为 $x_0^{12} ge 0$，所以 $x_0^{12} + 2 > 0$。因此，唯一可能的解是 $x_0 = 0$。
这意味着，如果 $g(x) = x$，那么 $x$ 必须等于 $0$。所以， $0$ 是唯一的潜在不动点（fixed point）。
事实上， $g(g(0)) = 0^{13} 0 = 0$。如果 $g(0) = 0$，那么 $0$ 是一个不动点。我们可以假设 $g(0)=0$ 是成立的，因为如果 $g(0) = c eq 0$，那么 $g(c) = g(g(0)) = 0$。然后 $g(g(c)) = g(0) = c$。同时 $g(g(c)) = c^{13} c$。所以 $c = c^{13} c$，即 $c^{13} + 2c = 0$。这又回到之前的方程，唯一解是 $c=0$。因此，$g(0)$ 必须是 $0$。

3. 导数的可能存在性（假设）：
假设 $g$ 在某一点 $x_0$ 可导，并且其导数为 $g'(x_0)$。
对恒等式 $g(g(x)) = x^{13} x$ 两边关于 $x$ 求导。根据链式法则：
$g'(g(x)) cdot g'(x) = 13x^{12} 1$

我们在 $x_0$ 点应用这个导数关系：
$g'(g(x_0)) cdot g'(x_0) = 13x_0^{12} 1$

我们知道 $g(0) = 0$。所以将 $x=0$ 代入上述导数关系：
$g'(g(0)) cdot g'(0) = 13(0)^{12} 1$
$g'(0) cdot g'(0) = 1$
$(g'(0))^2 = 1$

关键点来了！ 在实数域 $mathbb{R}$ 上，任何实数的平方都不可能为负数。因此， $(g'(0))^2 = 1$ 是一个不可能的结论。

这个矛盾的出现，直接源于我们最初的假设：“假设 $g$ 在某一点 $x_0$ 可导”。由于这个假设推导出了一个在实数域上不可能成立的结论，所以这个假设本身是错误的。

严谨的论证：为何 $g$ 必然不可导

我们刚才的推理表明，在 $x=0$ 这个点上，$g$ 不可能可导。现在我们需要证明这个结论对任意实数 $x_0$ 都成立。

让我们重新审视导数关系式：
$g'(g(x)) cdot g'(x) = 13x^{12} 1$

这个等式告诉我们，如果 $g$ 在 $x$ 点可导，并且 $g$ 在 $g(x)$ 点也可导，那么这个关系就成立。

假设 $g$ 在某个任意的点 $x_0 in mathbb{R}$ 可导，并且 $g'(x_0)$ 存在。
那么，根据导数的定义：
$g'(x_0) = lim_{Delta x o 0} frac{g(x_0 + Delta x) g(x_0)}{Delta x}$

如果我们能够证明 $g$ 不是处处可导，那么我们的任务就完成了。
我们已经证明了在 $x=0$ 点，$g$ 不可导。这已经足够证明“$g$ 不可导”这个命题（通常“不可导”意味着至少存在一个点不可导）。

但是，为了更全面地理解，让我们思考一下“是否可能 $g$ 在某些点可导，但其他点不可导”？

我们通过导数恒等式 $(g'(0))^2 = 1$ 得出了 $g'(0)$ 不存在的结论。
如果 $g$ 在 $x_0$ 点可导，那么 $g'(x_0)$ 是一个实数。
我们考虑 $g(x)$ 的其他性质。

我们知道 $g(g(x)) = x^{13} x$。
令 $y = g(x)$。由于 $g$ 是一个双射，对于任何 $y$，存在唯一的 $x$ 使得 $g(x) = y$。
那么 $g(y) = g(g(x)) = x^{13} x$。

现在，假设 $g$ 在某点 $a$ 可导， $g'(a)$ 存在。
令 $b = g(a)$。我们知道 $g$ 也是一个双射，所以 $g$ 也作用在 $b$ 上。
我们有 $g(b) = g(g(a)) = a^{13} a$。

现在，我们想要证明 $g$ 在 $b$ 点也不可导。
考虑我们之前推导的导数关系： $g'(g(x)) cdot g'(x) = 13x^{12} 1$。

如果 $g$ 在 $a$ 点可导，且 $g'(a) eq 0$。
那么根据链式法则，$g'(b) cdot g'(a) = 13a^{12} 1$。
这意味着 $g'(b) = frac{13a^{12} 1}{g'(a)}$。
只要 $g'(a) eq 0$，并且 $13a^{12} 1 eq 0$ (后者恒成立)，那么 $g'(b)$ 似乎是存在的。

但是，我们知道 $g'(0)$ 不存在。我们通过 $g(0)=0$ 得到了 $(g'(0))^2 = 1$。

现在，我们来推广这个思路。
假设 $g$ 在某个点 $x_0$ 可导，且 $g'(x_0)$ 存在。
那么我们有 $g'(g(x_0)) cdot g'(x_0) = 13x_0^{12} 1$。

关键在于，如果 $g'(x_0)$ 存在，并且 $g'(x_0) eq 0$，那么我们就可以推断 $g'(g(x_0))$ 的存在性。
但是，如果 $g'(x_0) = 0$ 呢？
如果 $g'(x_0) = 0$，那么 $13x_0^{12} 1 = 0$。这同样是不可能的，因为 $13x_0^{12} le 0$，所以 $13x_0^{12} 1 le 1$。因此，$g'(x_0)$ 永远不可能是 $0$。

所以，如果 $g$ 在 $x_0$ 点可导，那么 $g'(x_0) eq 0$。
这又意味着，如果 $g$ 在 $x_0$ 点可导，那么 $g'(g(x_0))$ 也必须存在，并且 $g'(g(x_0)) = frac{13x_0^{12} 1}{g'(x_0)}$。

假设存在一点 $x_0$ 使得 $g'(x_0)$ 存在。
那么，我们已经推导出 $g'(g(x_0))$ 存在。
令 $x_1 = g(x_0)$, $x_2 = g(x_1) = g(g(x_0)) = x_0^{13} x_0$。
如果我们假设 $g'(x_0)$ 存在，那么 $g'(x_1) = g'(g(x_0))$ 也存在。
再对 $g'(g(x_0)) cdot g'(x_0) = 13x_0^{12} 1$ 两边关于 $x_0$ 求导，又会产生新的导数关系。
但是，我们需要证明的是“$g$ 不可导”，这意味着在任何点都不存在导数。

我们已经确凿地证明了在 $x=0$ 时，$g'(0)$ 不存在。
让我们考虑这个矛盾是如何产生的。当我们在 $g(g(x)) = x^{13} x$ 这个恒等式两边进行微分时，我们隐含地假设了 $g$ 在 $x$ 和 $g(x)$ 处都是可导的。

如果 $g$ 在某一点 $x_0$ 不可导，那么我们不能直接应用链式法则来推导。
我们的核心论证在于：
1. 函数 $h(x) = x^{13} x$ 是一个处处可导且导数恒为负的函数。
2. 我们证明了 $g(0) = 0$。
3. 通过在 $g(g(x)) = x^{13} x$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $g'(g(x)) cdot g'(x) = 13x^{12} 1$。
4. 将 $x=0$ 代入上式，得到 $g'(g(0)) cdot g'(0) = 13(0)^{12} 1$，即 $g'(0) cdot g'(0) = 1$。
5. 在实数域上，平方不能为负数，所以 $g'(0)$ 不存在。

这构成了一个完整的证明，说明 $g$ 在 $x=0$ 点不可导。
“函数 $g$ 不可导”通常指的是存在至少一点 $x$ 使得 $g$ 在 $x$ 点不可导。既然我们找到了 $x=0$ 这个点，那么我们就可以断定 $g$ 是不可导的。

更深层次的思考：为什么 $g$ 的结构决定了它的不可导性？

这个问题的核心在于 $g(g(x))$ 的导数是一个恒为负的函数，而 $g$ 本身的导数在复合之后却没有这样的性质来保证其自身的导数存在。

可以设想，如果 $g$ 在某一点 $x_0$ 可导，且 $g'(x_0) = m$。
那么 $g'(g(x_0)) = frac{13x_0^{12}1}{m}$。
令 $x_1 = g(x_0)$, $x_2 = g(x_1)$, $x_3 = g(x_2)$ ...
如果我们假设 $g$ 在所有点都可导，那么我们就需要 $g'$ 在所有点都满足一定的规律。
例如，如果 $g'(x_0)$ 存在，那么 $g'(g(x_0))$ 存在，并且 $g'(g(g(x_0))) cdot g'(g(x_0)) = 13(g(x_0))^{12} 1$。
这导致了一个无穷的链条，如果 $g$ 在一个点可导，似乎会推导出在其他点也需要可导，并且它们之间的导数值通过一个复杂的非线性关系联系在一起。而 $(g'(0))^2 = 1$ 这个局部的不可能性，正是这种链条从一开始就存在裂痕的证据。

换句话说，如果 $g$ 真的处处可导，那么它的导数 $g'(x)$ 必须满足：
$g'(g(x)) = frac{13x^{12}1}{g'(x)}$

且 $g'$ 本身也必须是满足某种性质的函数。
但我们已经证明了，在 $x=0$ 这一点上，这个假设立即被打破。

总结来说，证明 $g$ 不可导的关键在于利用了 $g(g(x))$ 的特定形式，并在一个特殊点（$x=0$）上找到了一个关于 $g'$ 的导出矛盾。这个矛盾直接源于链式法则的应用，而链式法则的成立，恰恰依赖于函数在相关点的可导性。因此，这个矛盾表明，至少在 $x=0$ 点，这个可导性的前提是不成立的。

最终的证明可以这样组织：

证明：
我们已知函数 $g: mathbb{R} o mathbb{R}$ 满足 $g(g(x)) = x^{13} x$。
令 $h(x) = x^{13} x$。我们首先分析 $h(x)$ 的性质。
$h'(x) = 13x^{12} 1$。由于 $x^{12} ge 0$ 对于所有 $x in mathbb{R}$，则 $h'(x) le 1 < 0$。
这意味着 $h(x)$ 是一个严格单调递减的函数，并且处处可导。

接下来，我们证明 $g(0) = 0$。
考虑 $g(g(0)) = 0^{13} 0 = 0$。
令 $g(0) = c$。则 $g(c) = 0$。
再对 $g(c)$ 应用函数 $g$：$g(g(c)) = g(0) = c$。
同时根据原恒等式，令 $x=c$，$g(g(c)) = c^{13} c$。
所以我们有 $c = c^{13} c$，即 $c^{13} + 2c = 0$。
提取公因子 $c$，得到 $c(c^{12} + 2) = 0$。
由于 $c^{12} ge 0$，则 $c^{12} + 2 > 0$。因此，唯一的实数解是 $c = 0$。
故 $g(0) = 0$。

现在，我们尝试在 $x=0$ 处计算 $g'(0)$。
假设 $g$ 在 $x=0$ 处可导，记 $g'(0) = m$。
对恒等式 $g(g(x)) = x^{13} x$ 两边关于 $x$ 求导。根据链式法则，如果 $g$ 在 $x$ 和 $g(x)$ 处都可导，则：
$g'(g(x)) cdot g'(x) = 13x^{12} 1$

我们将 $x=0$ 代入上式（假设 $g$ 在 $0$ 和 $g(0)=0$ 处可导）：
$g'(g(0)) cdot g'(0) = 13(0)^{12} 1$
$g'(0) cdot g'(0) = 1$
$m cdot m = 1$
$m^2 = 1$

在实数域 $mathbb{R}$ 中，不存在任何实数 $m$ 使得 $m^2 = 1$。
这产生了一个矛盾。这个矛盾的根源在于我们最初的假设：“$g$ 在 $x=0$ 处可导”。
因此，该假设是错误的。

结论： 函数 $g$ 在 $x=0$ 点不可导。由于“函数 $g$ 不可导”意味着存在至少一点使得 $g$ 不可导，我们已成功证明了这一点。故函数 $g$ 是不可导的。

函数 是严格单调减的双射，所以 也是双射（证明：因为对任意 存在 使得 ，所以 是满射；如果 那么存在 使得 ，因为 是单射，所以 可推出 ，所以 ，因此 是单射。）

假设 连续。如果 不单调，那么存在 使得以 为端点的开区间与以 为端点的开区间相交。设 在它们的交中，由介值定理存在 使得 ，与 是单射矛盾。所以 是单调函数，这表明 单调增，矛盾。因此 不连续，当然也不可导。