若两个正整数互质，如何证明它们的平方也互质？
两个正整数互质，意味着它们没有大于1的公约数。换句话说，它们唯一的公共正约数就是1。我们要证明，如果 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数，那么 $a^2$ 和 $b^2$ 也互质。
核心思想：
互质的性质是关于约数的。如果 $a$ 和 $b$ 互质，那么它们在质因数分解上没有任何重叠。 $a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合仅仅是 $a$ 和 $b$ 的质因数集合的“重复”而已。既然 $a$ 和 $b$ 本身就没有共同的质因数，那么 $a^2$ 和 $b^2$ 自然也不会有共同的质因数。
详细证明过程：
我们使用反证法来证明这个命题。
假设：
假设存在两个正整数 $a$ 和 $b$，它们互质，但是它们的平方 $a^2$ 和 $b^2$ 却不互质。
推导：
1. 互质的定义：
因为 $a$ 和 $b$ 互质，根据互质的定义，它们的最大公约数是1。即 $ ext{gcd}(a, b) = 1$。这意味着，不存在任何大于1的整数 $d$，能够同时整除 $a$ 和 $b$。
2. 平方不互质的含义：
我们假设 $a^2$ 和 $b^2$ 不互质。根据不互质的定义，这意味着存在一个大于1的整数 $p$，能够同时整除 $a^2$ 和 $b^2$。换句话说，$p$ 是 $a^2$ 和 $b^2$ 的一个公约数，并且 $p > 1$。
3. 质数的性质：
任何大于1的整数 $p$ 都可以被分解为若干个质数的乘积（算术基本定理）。所以，如果 $p$ 是 $a^2$ 和 $b^2$ 的公约数，那么 $p$ 的每一个质因数也必然是 $a^2$ 和 $b^2$ 的公约数。
因此，我们可以更进一步地假设，存在一个质数 $q$，它能够同时整除 $a^2$ 和 $b^2$。即 $q | a^2$ 且 $q | b^2$。
4. 质数整除平方的性质：
根据数论中的一个重要性质：如果一个质数 $q$ 整除两个数的乘积 $mn$，那么 $q$ 必然整除 $m$ 或者整除 $n$（或两者都整除）。
在我们的情境中，$q | a^2$ 意味着 $q | (a imes a)$。根据上述性质，这个质数 $q$ 必然整除 $a$。也就是说，$q | a$。
同理，$q | b^2$ 意味着 $q | (b imes b)$。根据同样性质，这个质数 $q$ 必然整除 $b$。也就是说，$q | b$。
5. 矛盾出现：
我们现在得出了一个结论：存在一个质数 $q$，它能够同时整除 $a$ 和 $b$。这意味着 $q$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个公共约数。
但是，在最开始我们已经假设了 $a$ 和 $b$ 是互质的，即 $ ext{gcd}(a, b) = 1$。互质的定义明确指出，它们没有大于1的公共约数。
我们得出的结论（存在一个质数 $q$ 整除 $a$ 和 $b$）与我们的初始假设（$a$ 和 $b$ 互质）相矛盾。
结论：
由于我们的假设“$a^2$ 和 $b^2$ 不互质”导致了一个逻辑上的矛盾，因此这个假设是错误的。正确的结论应该是：
如果两个正整数 $a$ 和 $b$ 互质，那么它们的平方 $a^2$ 和 $b^2$ 也互质。
举例说明：
例子 1：
设 $a = 3$，$b = 5$。
3 和 5 是互质的，因为它们唯一的公共正约数是 1。
$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = 5^2 = 25$
9 的约数有 1, 3, 9。
25 的约数有 1, 5, 25。
9 和 25 的唯一公共正约数是 1，所以 9 和 25 互质。
例子 2：
设 $a = 8$，$b = 15$。
$8 = 2^3$
$15 = 3 imes 5$
8 和 15 的质因数分解中没有任何相同的质因数，所以它们互质。
$a^2 = 8^2 = 64 = 2^6$
$b^2 = 15^2 = 225 = (3 imes 5)^2 = 3^2 imes 5^2$
64 的质因数只有 2。
225 的质因数只有 3 和 5。
$a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合 {2} 和 {3, 5} 没有交集，所以它们互质。
更简洁的思考方式（基于质因数分解）：
1. 互质的本质： 两个正整数互质，意味着它们的质因数分解中，没有任何共同的质因数。
例如，$a = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k}$ 且 $b = q_1^{b_1} q_2^{b_2} cdots q_m^{b_m}$。
如果 $ ext{gcd}(a, b) = 1$，则 ${p_1, p_2, ldots, p_k} cap {q_1, q_2, ldots, q_m} = emptyset$。
2. 平方的质因数分解：
$a^2 = (p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} p_2^{2a_2} cdots p_k^{2a_k}$
$b^2 = (q_1^{b_1} q_2^{b_2} cdots q_m^{b_m})^2 = q_1^{2b_1} q_2^{2b_2} cdots q_m^{2b_m}$
3. 比较质因数集合：
$a^2$ 的质因数集合是 ${p_1, p_2, ldots, p_k}$。
$b^2$ 的质因数集合是 ${q_1, q_2, ldots, q_m}$。
由于我们知道 ${p_1, p_2, ldots, p_k} cap {q_1, q_2, ldots, q_m} = emptyset$，这意味着 $a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合仍然没有交集。
4. 结论： 没有共同质因数意味着它们互质。因此，$a^2$ 和 $b^2$ 互质。
这种基于质因数分解的解释，直观地展示了为什么互质的性质在平方后依然成立。它没有引入复杂的概念，只是直接从互质的定义出发，通过质因数来理解。
核心思想：
互质的性质是关于约数的。如果 $a$ 和 $b$ 互质，那么它们在质因数分解上没有任何重叠。 $a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合仅仅是 $a$ 和 $b$ 的质因数集合的“重复”而已。既然 $a$ 和 $b$ 本身就没有共同的质因数，那么 $a^2$ 和 $b^2$ 自然也不会有共同的质因数。
详细证明过程：
我们使用反证法来证明这个命题。
假设：
假设存在两个正整数 $a$ 和 $b$，它们互质，但是它们的平方 $a^2$ 和 $b^2$ 却不互质。
推导：
1. 互质的定义：
因为 $a$ 和 $b$ 互质，根据互质的定义，它们的最大公约数是1。即 $ ext{gcd}(a, b) = 1$。这意味着，不存在任何大于1的整数 $d$，能够同时整除 $a$ 和 $b$。
2. 平方不互质的含义：
我们假设 $a^2$ 和 $b^2$ 不互质。根据不互质的定义，这意味着存在一个大于1的整数 $p$，能够同时整除 $a^2$ 和 $b^2$。换句话说，$p$ 是 $a^2$ 和 $b^2$ 的一个公约数，并且 $p > 1$。
3. 质数的性质：
任何大于1的整数 $p$ 都可以被分解为若干个质数的乘积（算术基本定理）。所以，如果 $p$ 是 $a^2$ 和 $b^2$ 的公约数，那么 $p$ 的每一个质因数也必然是 $a^2$ 和 $b^2$ 的公约数。
因此，我们可以更进一步地假设，存在一个质数 $q$，它能够同时整除 $a^2$ 和 $b^2$。即 $q | a^2$ 且 $q | b^2$。
4. 质数整除平方的性质：
根据数论中的一个重要性质：如果一个质数 $q$ 整除两个数的乘积 $mn$，那么 $q$ 必然整除 $m$ 或者整除 $n$（或两者都整除）。
在我们的情境中，$q | a^2$ 意味着 $q | (a imes a)$。根据上述性质，这个质数 $q$ 必然整除 $a$。也就是说，$q | a$。
同理，$q | b^2$ 意味着 $q | (b imes b)$。根据同样性质，这个质数 $q$ 必然整除 $b$。也就是说，$q | b$。
5. 矛盾出现：
我们现在得出了一个结论：存在一个质数 $q$，它能够同时整除 $a$ 和 $b$。这意味着 $q$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个公共约数。
但是，在最开始我们已经假设了 $a$ 和 $b$ 是互质的，即 $ ext{gcd}(a, b) = 1$。互质的定义明确指出，它们没有大于1的公共约数。
我们得出的结论（存在一个质数 $q$ 整除 $a$ 和 $b$）与我们的初始假设（$a$ 和 $b$ 互质）相矛盾。
结论：
由于我们的假设“$a^2$ 和 $b^2$ 不互质”导致了一个逻辑上的矛盾，因此这个假设是错误的。正确的结论应该是：
如果两个正整数 $a$ 和 $b$ 互质，那么它们的平方 $a^2$ 和 $b^2$ 也互质。
举例说明：
例子 1：
设 $a = 3$，$b = 5$。
3 和 5 是互质的，因为它们唯一的公共正约数是 1。
$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = 5^2 = 25$
9 的约数有 1, 3, 9。
25 的约数有 1, 5, 25。
9 和 25 的唯一公共正约数是 1，所以 9 和 25 互质。
例子 2：
设 $a = 8$，$b = 15$。
$8 = 2^3$
$15 = 3 imes 5$
8 和 15 的质因数分解中没有任何相同的质因数，所以它们互质。
$a^2 = 8^2 = 64 = 2^6$
$b^2 = 15^2 = 225 = (3 imes 5)^2 = 3^2 imes 5^2$
64 的质因数只有 2。
225 的质因数只有 3 和 5。
$a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合 {2} 和 {3, 5} 没有交集，所以它们互质。
更简洁的思考方式（基于质因数分解）：
1. 互质的本质： 两个正整数互质，意味着它们的质因数分解中，没有任何共同的质因数。
例如，$a = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k}$ 且 $b = q_1^{b_1} q_2^{b_2} cdots q_m^{b_m}$。
如果 $ ext{gcd}(a, b) = 1$，则 ${p_1, p_2, ldots, p_k} cap {q_1, q_2, ldots, q_m} = emptyset$。
2. 平方的质因数分解：
$a^2 = (p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} p_2^{2a_2} cdots p_k^{2a_k}$
$b^2 = (q_1^{b_1} q_2^{b_2} cdots q_m^{b_m})^2 = q_1^{2b_1} q_2^{2b_2} cdots q_m^{2b_m}$
3. 比较质因数集合：
$a^2$ 的质因数集合是 ${p_1, p_2, ldots, p_k}$。
$b^2$ 的质因数集合是 ${q_1, q_2, ldots, q_m}$。
由于我们知道 ${p_1, p_2, ldots, p_k} cap {q_1, q_2, ldots, q_m} = emptyset$，这意味着 $a^2$ 和 $b^2$ 的质因数集合仍然没有交集。
4. 结论： 没有共同质因数意味着它们互质。因此，$a^2$ 和 $b^2$ 互质。
这种基于质因数分解的解释，直观地展示了为什么互质的性质在平方后依然成立。它没有引入复杂的概念，只是直接从互质的定义出发，通过质因数来理解。
网友意见
问题太弱智了！互质则没有＞1的公共素数因子，一个数与它的平方的素数因子都是相同的，所以平方之间也没有公共素数因子，所以互质！
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