在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？

在我看来，这个问题触及了整环理论中一个非常根本也很有意思的联系。我们经常在整数范围内讨论最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM），并且知道它们之间存在紧密的对应关系。但当我们将目光投向更广阔的整环时，情况就变得更加微妙和值得探讨了。

简单来说，在许多常见的整环中，如果两个非零元存在最大公约数，那么它们也确实存在最小公倍数。但是，要说“一定”，我们需要谨慎一些，因为整环的种类繁多，性质各异，并非所有整环都像整数环那样“乖巧”。

我们先来回顾一下在整数环 $mathbb{Z}$ 中 GCD 和 LCM 的关系。对于任意两个非零整数 $a$ 和 $b$，我们有 $| ext{gcd}(a, b) cdot ext{lcm}(a, b)| = |a cdot b|$。这个关系告诉我们，只要 GCD 存在，并且我们能确定 LCM 的定义，那么 LCM 就必然存在，并且可以通过 GCD 计算出来。

现在，我们把场景切换到一般的整环 $R$。

什么是最大公约数（GCD）？

在整环 $R$ 中，我们说 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个最大公约数，如果满足以下两个条件：
1. $d$ 整除 $a$ 且 $d$ 整除 $b$（$d$ 是公约数）。
2. 任何整除 $a$ 和 $b$ 的元素 $c$ 都整除 $d$（$d$ 是“最大的”，这里的“大”是指可整除性上的意义）。

需要注意的是，在整环中，最大公约数可能不是唯一的，它可能存在多个相伴（associate）的元素。比如在整数环中，1 和 1 都是 2 和 3 的 GCD。我们通常会选取一个代表元，例如正整数。

什么是最小公倍数（LCM）？

同样，在整环 $R$ 中，我们说 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个最小公倍数，如果满足以下两个条件：
1. $a$ 整除 $m$ 且 $b$ 整除 $m$（$m$ 是公倍数）。
2. 任何 $a$ 和 $b$ 的公倍数 $n$ 都整除 $m$（$m$ 是“最小的”，同样是可整除性上的意义）。

和 GCD 一样，LCM 也可能存在多个相伴的元素。

联系 GCD 和 LCM：一个关键的性质

在许多整环中，GCD 和 LCM 的存在性与一个非常重要的性质紧密相连：主理想整环（Principal Ideal Domain, PID）。

一个整环 $R$ 被称为主理想整环，如果它的每一个理想都可以由一个元素生成，即对于任意理想 $I$，都存在一个元素 $x in R$ 使得 $I = langle x angle = {rx mid r in R}$。

为什么 PID 很重要？

在 PID 中，我们有一个强大的工具：每一个 PID 都是一个唯一因子分解整环（Unique Factorization Domain, UFD）。而 UFD 恰好是我们讨论 GCD 和 LCM 时的“舒适区”。

在 UFD 中，GCD 和 LCM 的关系：

在任何一个 UFD 中，对于任意两个非零的元素 $a$ 和 $b$，它们一定存在最大公约数，也一定存在最小公倍数。而且，它们存在一个关系，这个关系形式上类似于整数环的乘积公式，但需要借助“因子分解”来理解。

具体来说，设 $a = u cdot p_1^{e_1} cdots p_n^{e_n}$ 和 $b = v cdot p_1^{f_1} cdots p_n^{f_n}$ 是 $a$ 和 $b$ 在 $R$ 中的素因子分解（其中 $u, v$ 是单位元，$p_i$ 是互不相干的不可约元素，$e_i, f_i ge 0$）。

那么，$a$ 和 $b$ 的一个 GCD 可以表示为：
$ ext{gcd}(a, b) = prod_{i=1}^n p_i^{min(e_i, f_i)}$

而 $a$ 和 $b$ 的一个 LCM 可以表示为：
$ ext{lcm}(a, b) = prod_{i=1}^n p_i^{max(e_i, f_i)}$

从这两个定义可以看出，只要 $a$ 和 $b$ 在 UFD 中存在素因子分解（这是 UFD 的核心性质），那么它们的 GCD 和 LCM 就必然存在，并且可以通过比较相应素因子的指数来确定。

回到整环的普遍性：

那么，问题回到了：“若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？”

1. 如果整环 $R$ 是一个 PID：
那么 $R$ 也是一个 UFD。在 UFD 中，如上所述，任何两个非零元 $a, b$ 都必然存在 GCD 和 LCM。所以，在这个情况下，答案是肯定的。整数环 $mathbb{Z}$ 就是一个典型的 PID。高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 也是一个 PID。

2. 如果整环 $R$ 是一个 UFD，但不是 PID：
UFD 的定义本身就保证了任意两个非零元素存在 GCD 和 LCM。所以，即使 $R$ 不是 PID，只要它是 UFD，这个结论依然成立。

3. 如果整环 $R$ 不是 UFD：
这里情况就复杂了。在非 UFD 中，一个元素可能无法唯一地分解成不可约元素的乘积，甚至可能根本无法分解。
可能存在 GCD，但不存在 LCM： 存在一些整环，其中的元素可以有 GCD，但某些元素的公倍数可能不存在，或者最小公倍数不存在。例如，考虑多项式环 $R = k[x, y, z] / langle xy, xz, yz angle$，其中 $k$ 是一个域。在这个环中，某些元素存在 GCD，但不存在 LCM。这通常涉及到理想理论的更深层次内容，比如分解的唯一性问题。
可能不存在 GCD： 在一些更复杂的代数结构中，甚至可能连 GCD 都不存在。例如，在某些非交换环（虽然我们这里讨论的是整环，一般是交换的）或者一些构造出来的病态整环中。

但是，我们仔细审视一下问题的表述：“若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？”

这个问题可以换个角度思考：是否存在这样一个整环 $R$，使得对于其中任意两个非零元 $a, b$，如果它们存在 GCD，那么它们也一定存在 LCM？

我们已经知道，在 PID 和 UFD 中，这个命题是成立的。

更关键的是，在很多教材和研究中，GCD 和 LCM 的存在性常常被放在一起讨论，尤其是在涉及理想的概念时。一个常见的证明思路是：
设 $a, b$ 是整环 $R$ 中的两个非零元素。
考虑由 $a$ 和 $b$ 生成的理想 $langle a, b angle = {ra + sb mid r, s in R}$。
如果 $R$ 是一个 PID，那么 $langle a, b angle = langle d angle$ 对于某个 $d in R$。
这个 $d$ 就是 $a$ 和 $b$ 的一个 GCD。
那么，我们知道 $a$ 和 $b$ 都整除 $d$ 的所有相伴元素。
反过来，我们设 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的任意公倍数。这意味着 $a mid m$ 且 $b mid m$。
从理想的角度看，这意味着 $langle a angle supseteq langle m angle$ 和 $langle b angle supseteq langle m angle$。
进而，$langle a angle + langle b angle supseteq langle m angle$。
所以，$langle d angle supseteq langle m angle$。
这意味着 $m mid d$。
这里似乎出现了一个小小的混乱，我需要纠正一下思路。

让我们回到 UFD 的性质。在 UFD 中，我们定义了 GCD 和 LCM 是基于素因子分解的。这个定义直接保证了只要有因子分解，就有 GCD 和 LCM。

更普适的联系：Ideal Theory

在交换代数中，理想理论提供了更一般的视角。对于整环 $R$ 中的两个非零元素 $a$ 和 $b$，考虑由它们生成的理想 $langle a, b angle$。

如果 $R$ 是一个 PID，那么 $langle a, b angle = langle d angle$ 对于某个 $d$。这个 $d$ 就是 $a$ 和 $b$ 的一个 GCD。
此外，在 PID 中，我们还知道存在一个元素 $m$ 使得 $langle a angle cap langle b angle = langle m angle$。这个 $m$ 正是 $a$ 和 $b$ 的一个 LCM。
在 PID 中，还有一个重要的关系是 $langle a angle langle b angle = langle ab angle$。
并且，在 PID 中，我们有关系 $langle a angle cap langle b angle = langle ext{lcm}(a, b) angle$ 和 $langle a angle + langle b angle = langle ext{gcd}(a, b) angle$。

因此，在 PID 中，如果 $langle a, b angle = langle d angle$ 存在（即存在 GCD $d$），那么由于 $langle a angle cap langle b angle$ 也是一个理想，它在 PID 中也必然由某个元素生成，即存在 LCM $m$。

那么，如果 $R$ 不是 PID，但我们知道 $a$ 和 $b$ 存在 GCD，这是否意味着它们一定存在 LCM？

考虑一个非 UFD 的整环，但我们假设 $a$ 和 $b$ 存在 GCD，记为 $d$.
这意味着 $d|a$ 且 $d|b$。
并且，任何 $c$ 使得 $c|a$ 且 $c|b$ 的话，就有 $c|d$。

现在来看 LCM。我们需要找到一个 $m$ 使得 $a|m$ 且 $b|m$，并且对于任何 $n$ 满足 $a|n$ 且 $b|n$，就有 $m|n$。

存在一种情况，在一个整环中，虽然任意两个非零元的公约数可能不止一个，但我们总能找到一个“最大”的（即其他公约数都整除它）。但同时，这些元素的公倍数集合可能为空集，或者虽然公倍数非空，但这个集合中的元素并非都整除某个特定的公倍数（即不存在最小的公倍数）。

一个经典的例子是多项式环 $k[x^2, x^3]$。

这个环不是 PID，也不是 UFD。
考虑元素 $x^2$ 和 $x^3$。
它们的公约数有 $1, x, x^2$（以及它们的相伴元，这里假设 $k$ 是域，单位元只有 $1$ 和 $1$）。
其中 $x^2$ 是一个最大的公约数，因为任何公约数 $1, x$ 都整除 $x^2$。
但是，它们并没有最小公倍数。
$x^2$ 的倍数在环中是 $x^2 f(x^2, x^3)$ 的形式。
$x^3$ 的倍数在环中是 $x^3 g(x^2, x^3)$ 的形式。
一个公倍数 $m$ 必须是 $x^2$ 的倍数且是 $x^3$ 的倍数。
例如，$x^5$ 是一个公倍数 ($x^5 = x^2 cdot x^3$ 且 $x^5 = x^3 cdot x^2$)。
但是，$x^5$ 本身并不一定能表示成 $x^2 f(x^2, x^3)$ 或者 $x^3 g(x^2, x^3)$ 的形式，这取决于我们如何精确地定义环的元素。
在 $k[x^2, x^3]$ 中，元素是由 $x^2$ 和 $x^3$ 的多项式组成的。
例如，$x^5 = x^2 cdot x^3$ 是一个公倍数。
但是，$x^6 = x^3 cdot x^3$ 也是一个公倍数。同时 $x^6 = x^2 cdot x^4$，而 $x^4 = (x^2)^2$，所以 $x^6$ 是 $x^2$ 的倍数。
所以，$x^5$ 和 $x^6$ 都是公倍数。
我们想找一个公倍数 $m$，使得任何其他公倍数 $n$ 都整除 $m$。

在 $k[x^2, x^3]$ 这个环里，元素的形式是 $sum c_{ij} (x^2)^i (x^3)^j$。
$x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数形式是 $x^a y^b$ 并且 $x^2 | x^a y^b$ 且 $x^3 | x^a y^b$。
在这个环的语境下，考虑 $x^6$。
$x^6 = (x^2)^3$ 也是 $x^2$ 的倍数。
$x^6 = (x^3)^2$ 也是 $x^3$ 的倍数。
所以 $x^6$ 是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数。
更进一步，任何公倍数都可以写成 $x^k$ 的形式，其中 $k$ 是一个大于等于 2 且能被 2 和 3 整除的整数。
所以公倍数的形式是 $x^n$ 且 $n ge 2$ 并且 $2|n$ 且 $3|n$。
那么 $n$ 必须是 6 的倍数，并且 $n ge 2$。
所以公倍数有 $x^6, x^{12}, x^{18}, ldots$。
我们期望一个最小公倍数 $m$ 使得所有公倍数都整除 $m$。
在这种情况下，似乎 $x^6$ 是一个候选者。
然而，$k[x^2, x^3]$ 的结构比这个复杂，它不是一个简单的多项式环 $k[x]$ 的子环。

更严谨地来看 $k[x^2, x^3]$：
令 $R = k[x^2, x^3]$。
考虑 $a = x^2$ 和 $b = x^3$。
它们在 $R$ 中的公约数就是 $R$ 中能整除 $x^2$ 和 $x^3$ 的元素。
例如，$1$ 是公约数。
$x$ 尽管可以整除 $x^2$ 和 $x^3$，但 $x$ 不在 $R$ 中。
$x^2$ 在 $R$ 中，并且整除 $x^2$ 和 $x^3$ (因为 $x^3 = x cdot x^2$，而 $x$ 并不在 $R$ 中，所以 $x^3$ 不是 $x^2$ 的倍数，这里我的推导有误)。

让我重新梳理 $k[x^2, x^3]$ 的例子，并关注 GCD 和 LCM 的定义。
在 $k[x^2, x^3]$ 中，$x^2$ 和 $x^3$ 的公约数指的是在该环中的元素 $d$ 使得 $d | x^2$ 且 $d | x^3$。
在这个环中，$x^2$ 和 $x^3$ 的公约数只有常数（即单位元，如果 $k$ 是域的话）。
所以 $x^2$ 和 $x^3$ 的一个最大公约数是 $1$。
现在考虑公倍数。公倍数是 $m in k[x^2, x^3]$ 使得 $x^2 | m$ 且 $x^3 | m$。
例如，$x^5$ 是一个公倍数 ($x^5 = x^2 cdot x^3$ 在 $k[x]$ 中成立，但我们要在 $k[x^2, x^3]$ 中看是否存在这样的元素)。
事实上，$x^5$ 是 $k[x]$ 中的一个元素，但它不在 $k[x^2, x^3]$ 中。
在 $k[x^2, x^3]$ 中，一个元素的次幂的形式是 $(x^2)^a (x^3)^b = x^{2a+3b}$。
那么，一个公倍数 $m$ 必须是 $x^2$ 的倍数且 $x^3$ 的倍数。
这意味着 $m = x^2 cdot f(x^2, x^3)$ 且 $m = x^3 cdot g(x^2, x^3)$。
这要求 $m$ 的形式是 $x^k$，其中 $k$ 是一个非负整数。
从 $x^2 | m$ 可以推出 $m$ 的形式是 $x^{2a+3b}$ 且 $2a+3b ge 2$ 且可以写成 $x^2 cdot ( ext{环中元素})$.
从 $x^3 | m$ 可以推出 $m$ 的形式是 $x^{2a+3b}$ 且 $2a+3b ge 3$ 且可以写成 $x^3 cdot ( ext{环中元素})$.
也就是 $m$ 必须是 $x^p$ 的形式，其中 $p$ 是一个整数，并且 $p ge 2$ 且 $p ge 3$。
同时，$m$ 必须能被 $x^2$ 和 $x^3$ 整除。
也就是说，$m = x^n$ 且 $n$ 必须可以表示成 $2a+3b$ 的形式，其中 $a, b ge 0$ 且 $n ge max( ext{power of } x^2 ext{ in } m, ext{power of } x^3 ext{ in } m)$。
更确切的说，在 $k[x^2, x^3]$ 中，若 $x^n$ 在环中，且 $x^2 | x^n$, $x^3 | x^n$。那么 $x^n = x^2 cdot P(x^2, x^3)$ 且 $x^n = x^3 cdot Q(x^2, x^3)$。
这意味着 $x^n$ 在 $k[x]$ 中是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数，因此 $x^n$ 的次数必须是 6 的倍数。
所以公倍数的形式是 $x^{6k}$ 的形式，其中 $6k$ 必须是 $2a+3b$ 的形式。
例如，$x^6 = (x^2)^3 = (x^3)^2$ 都在 $k[x^2, x^3]$ 中。
所以 $x^6$ 是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数。
再考虑 $x^{12}$, $x^{18}$ 等等，它们也都是公倍数。
我们期望一个最小公倍数 $m$ 使得 $x^6 | m, x^{12} | m, dots$。
如果 $m=x^6$，那么任何其他公倍数（形式为 $x^{6k}$）都可以整除 $x^6$ 当且仅当 $6k le 6$，即 $k le 1$.
这意味着只有 $x^6$ 本身可以整除 $x^6$。
而我们期望的是，所有公倍数都整除最小公倍数。
这个例子可能不够清晰地说明问题。

更清晰的论证思路：

在整环 $R$ 中，如果两个非零元 $a, b$ 存在最大公约数 $d$。这意味着：
1. $d|a$ 且 $d|b$。
2. 任何 $c$ 若 $c|a$ 且 $c|b$，则 $c|d$。

现在我们要问，是否一定存在最小公倍数 $m$？

考虑由 $a$ 和 $b$ 生成的理想 $langle a, b angle$。在 PID 中，这个理想等于 $langle d angle$， $d$ 是 GCD。
同时，在 PID 中，$langle a angle cap langle b angle = langle m angle$，$m$ 是 LCM。

关键点在于：整环结构本身对理想的性质有决定性影响。

如果在某个整环中，我们能够保证所有由两个元素生成的理想都是主理想（即是 PID 的局部性质），那么存在 GCD 就意味着存在 LCM。

但是，存在一些非 UFD 整环，它们并不满足这个“局部 PID”的性质。

在一般情况下，我们可以证明：在任何交换环（不仅仅是整环）中，如果两个元素 $a$ 和 $b$ 存在 GCD $d$，并且它们生成的理想 $langle a, b angle$ 是一个主理想，那么它们也存在 LCM。 证明思路是：$langle a, b angle = langle d angle$。则存在 $x, y in R$ 使得 $a x + b y = d$。考虑元素 $ab/d$。可以证明 $ab/d$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个公倍数，并且是最小的。

所以，问题可以转化为：在整环中，是否存在这样的情况：两个非零元 $a, b$ 存在 GCD $d$，且 $langle a, b angle = langle d angle$，但是它们不存在 LCM？

根据上面的说法，如果 $langle a, b angle$ 是主理想，那么 LCM 应该存在。
那么问题就变成了：是否存在一个整环 $R$，使得对于某些非零元 $a, b$，它们存在 GCD $d$，但是 $langle a, b angle$ 不是一个主理想？

的确存在这样的环。例如，上面提到的 $k[x^2, x^3]$。
在这个环中，$x^2$ 和 $x^3$ 的 GCD 是 $1$ (因为除了常数，没有其他元素能整除这两个元素)。所以 $langle x^2, x^3 angle = langle 1 angle$ 是一个主理想。
那么根据上面的证明，应该存在 LCM。
然而，在 $k[x^2, x^3]$ 中，$x^2$ 和 $x^3$ 的最小公倍数是不存在的。
为什么？因为在 $k[x^2, x^3]$ 中，$x^2$ 的倍数是 $(x^2)^i (x^3)^j$ 且 $(x^2)^i (x^3)^j = x^{2i+3j}$ 的形式。
$x^3$ 的倍数是 $(x^2)^k (x^3)^l$ 且 $(x^2)^k (x^3)^l = x^{2k+3l}$ 的形式。
一个公倍数 $m$ 必须是 $x^2$ 的倍数且是 $x^3$ 的倍数。
也就是说，$m$ 在 $k[x]$ 中是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数，因此 $m$ 的形式是 $x^n$ 且 $n$ 是 6 的倍数。
例如，$x^6$ 是 $k[x]$ 中的一个公倍数。
但是，$x^6$ 在 $k[x^2, x^3]$ 中的表示是 $(x^2)^3$ 或 $(x^3)^2$。
所以 $x^6$ 是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数。
那么 $x^{12}$ 也是公倍数。
我们找一个 $m$ 使得所有公倍数都整除 $m$。
如果 $m=x^6$，那么 $x^{12}$ 不能整除 $x^6$。
所以 $x^6$ 不是最小公倍数。
但又似乎没有比 $x^6$ 更小的公倍数。
这说明问题在于 LCM 的定义：任何公倍数 $n$ 都必须整除 $m$。
在 $k[x^2, x^3]$ 中，如果 $m$ 是 $x^2$ 和 $x^3$ 的公倍数，那么 $m$ 必须是 $x^n$ 的形式，其中 $n$ 是 6 的倍数。
所以公倍数集合是 ${x^{6k} mid k in mathbb{Z}, k ge 1}$ （因为次数要大于等于 3 才能同时是 $x^2$ 和 $x^3$ 的倍数）。
我们需要的最小公倍数 $m$ 是一个公倍数，并且任何公倍数都整除 $m$。
然而，在这个集合中，没有一个元素可以被其他元素整除（除了它自己）。
所以，在这个例子中，虽然 GCD 存在（为 1），但 LCM 不存在。

总结来说：

在整环中，若两个非零元存在最大公约数，它们不一定也存在最小公倍数。

这是因为，虽然 GCD 的存在性可以从“最大性”（可整除性）来定义，但 LCM 的存在性则依赖于“最小性”（也是可整除性），并且这个性质与整环的分解性质（如 UFD）以及理想结构（如 PID）紧密相关。在非 UFD 的整环中，可能出现 GCD 存在但 LCM 不存在的情况。

最常见的解释 GCD 和 LCM 之间紧密联系的结构是 PID 和 UFD。在这些结构中，一旦 GCD 存在，LCM 也必然存在。但是，一旦脱离了这些良好的结构，我们就会遇到反例。

因此，虽然在许多我们熟悉的整环（如整数环 $mathbb{Z}$）中，GCD 和 LCM 是并存且相互关联的，但在更普遍的整环理论中，它们的存在性不是一个必然的推论。我们需要更强的结构性条件（如 UFD 或至少是“局部 PID”性质）才能保证这种必然性。

希望这样的解释足够详细，并且能清晰地阐述了其中的数学逻辑和潜在的反例。

好像并不对。

先仔细定义一下最大公约数。d=hcf(a,b)需要满足d|a, d|b并且任意满足这个性质的c都有d|c。同理l=lcm(a,b)应该是满足a|l, b|l并且任意满足这个性质的c都有l|c。

lcm存在推出hcf存在：

考虑d=ab/lcm。注意到d是ring里面的element，因为 。这个d也是hcf，因为首先 ；所以d是一个公约数。如果另外一个c也是公约数，那么 ，所以 。所以d就是hcf。

hcf并不能推出lcm反例：

考虑 的满足 是偶数的subring（因为0*0=0,0+0=0 mod2)，然后考虑 。hcf是1，因为 ，所以猜lcm是4x，但是取c=2x^3就有 。所以lcm不存在。

另一方面如果任意pair的两个hcf都存在，那确实可以推出lcm存在。更强的结论是