为什么说用矩阵定义线性映射是一个糟糕的观点？
让我想想，我们总是在做线性代数，然后处理矩阵，对吧？而且我们经常听到，矩阵可以用来“定义”或“表示”线性映射。这听起来挺好，毕竟矩阵运算对应着向量的变换，而且能把抽象的概念变得具体。
但是，如果仔细想想，说“用矩阵定义线性映射”其实有点……怎么说呢？可能不是那么回事，甚至可以说是有点误导。
咱们从头说起。
什么是线性映射？
线性映射（Linear Transformation）是一个函数，它连接了两个向量空间。我们通常用 $T$ 来表示它。它有两个非常重要的性质：
1. 可加性： 对于向量空间中的任意两个向量 $u$ 和 $v$，都有 $T(u + v) = T(u) + T(v)$。
2. 数乘性： 对于向量空间中的任意向量 $u$ 和任意标量（比如实数或复数）$c$，都有 $T(c cdot u) = c cdot T(u)$。
这两个性质合在一起，基本上就是说，线性映射“尊重”向量空间的结构——它能把向量的加法和标量乘法“保留”下来。
矩阵是怎么进来的？
我们之所以会想到矩阵，是因为当我们处理的是有限维向量空间（这是我们通常在初级线性代数里遇到的情况）时，任何一个线性映射，只要我们选择好了基（basis），都可以“翻译”成一个矩阵。
怎么翻译的呢？简单来说，就是我们看这个线性映射如何作用在我们选定的基向量上。如果一个向量空间有一个基 ${v_1, v_2, dots, v_n}$，那么一个任意向量 $x$ 就可以写成 $x = c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n$。根据线性映射的两个性质，$T(x) = T(c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) + dots + c_nT(v_n)$。
看到了吧？一旦我们知道了 $T$ 是如何作用在每个基向量上的（也就是 $T(v_1), T(v_2), dots, T(v_n)$ 是什么），我们就能计算出 $T$ 作用在任何一个向量 $x$ 上的结果。
而 $T(v_i)$ 本身也是一个向量，它也可以用这个向量空间的基来表示。如果我们把 $T(v_1), T(v_2), dots, T(v_n)$ 这些基向量的像，按顺序排成列向量，然后再把它们合起来，就构成了一个矩阵。这个矩阵，我们称之为该线性映射在选定基下的矩阵表示。
为什么说“用矩阵定义”是个糟糕的说法？
原因藏在上面这段解释里了。这里的关键在于：
1. 矩阵表示是依赖于基的： 上面说得很清楚，我们得先选定一个基，才能得到一个矩阵。换句话说，同一个线性映射，如果我们换一套基，它对应的矩阵很可能就不是同一个了！这说明矩阵本身，并不是线性映射的“内在”属性，而是我们“观察”或“描述”这个映射的某个视角（基于选定的坐标系/基）。
想象一下，你有一个很漂亮的雕塑。你可以用不同角度的照片来描述它，但照片只是雕塑的一个侧面。矩阵就像是那个侧面照片，它能帮我们理解一部分，但它本身不是雕塑。线性映射才是那个雕塑本身。
2. 线性映射的概念比矩阵更一般、更根本： 线性映射的定义（可加性和数乘性）是纯粹的向量空间内部的结构关系，它不依赖于任何坐标系或基的选择。它适用于无限维向量空间，也适用于那些我们很难（甚至不可能）找到一个“良好”基的场合。
比如，你有没有想过，对一个函数进行求导，是不是一个线性映射？
设 $V$ 是光滑函数组成的向量空间，对求导运算 $D$ 定义为 $D(f) = f'$。
可加性：$D(f+g) = (f+g)' = f' + g' = D(f) + D(g)$。
数乘性：$D(c cdot f) = (c cdot f)' = c cdot f' = c cdot D(f)$。
所以求导确实是一个线性映射。
但是，光滑函数空间是无限维的。我们很难去“定义”一个基，然后用一个有限的矩阵来表示这个求导运算。虽然我们可以用泰勒级数等方法来“模拟”矩阵表示，但它不是一个简单的、直接的矩阵乘法。
如果说矩阵“定义”了线性映射，那么在无限维空间，我们是不是就没法谈论线性映射了？显然不是。线性映射的概念更基础，它放之四海而皆准。
3. 模糊了“内在性质”与“表示形式”的区别： “定义”通常意味着事物的本质。如果说矩阵定义了线性映射，就好像说“一个事物的照片就是这个事物本身”。这混淆了事物本身（线性映射）和我们用来描述它、研究它的工具（矩阵表示）。
线性映射更像是一种“操作”、“变换”的规则，它描述了向量空间是如何被“拉伸”、“旋转”、“剪切”等等，并且保持了“直线”、“原点”不变。矩阵是实现这种操作的计算工具，尤其是在有限维且选取了坐标系的情况下。
更恰当的说法是什么？
更严谨、更恰当的说法应该是：
“矩阵是线性映射的表示”
“在有限维向量空间中，选取了基之后，任何线性映射都可以用一个矩阵来表示”
“通过改变基，同一个线性映射可以对应不同的矩阵”
总结一下，为什么说“用矩阵定义线性映射”不好？
因为它：
限制了我们对线性映射的理解范围： 容易让人只关注有限维空间和矩阵运算，忽略了更广泛的、无限维的应用和概念。
忽略了基的重要性： 让我们以为矩阵是映射本身固有的属性，而实际上它是一个依赖于坐标系的“表现”。
混淆了本质与形式： 将描述工具（矩阵）当成了被描述的对象（线性映射）的本质。
打个比方，如果你学习数学，说“我们用二进制来定义数字”，这就不如说“我们用十进制计数，但也可以用二进制来表示数字”来得准确。二进制和十进制都是数字的表示方法，但数字本身是更抽象的概念。矩阵就像是数字的某种进制表示，而线性映射是数字本身。
所以，我们应该说矩阵是“表示”线性映射的一种强大而实用的工具，而不是“定义”它。这样的说法，能让我们更清晰地把握线性代数的核心概念，也更能体会到其在更广阔数学领域中的力量。
但是，如果仔细想想，说“用矩阵定义线性映射”其实有点……怎么说呢？可能不是那么回事，甚至可以说是有点误导。
咱们从头说起。
什么是线性映射？
线性映射（Linear Transformation）是一个函数，它连接了两个向量空间。我们通常用 $T$ 来表示它。它有两个非常重要的性质：
1. 可加性： 对于向量空间中的任意两个向量 $u$ 和 $v$，都有 $T(u + v) = T(u) + T(v)$。
2. 数乘性： 对于向量空间中的任意向量 $u$ 和任意标量（比如实数或复数）$c$，都有 $T(c cdot u) = c cdot T(u)$。
这两个性质合在一起，基本上就是说，线性映射“尊重”向量空间的结构——它能把向量的加法和标量乘法“保留”下来。
矩阵是怎么进来的？
我们之所以会想到矩阵，是因为当我们处理的是有限维向量空间（这是我们通常在初级线性代数里遇到的情况）时，任何一个线性映射，只要我们选择好了基（basis），都可以“翻译”成一个矩阵。
怎么翻译的呢？简单来说，就是我们看这个线性映射如何作用在我们选定的基向量上。如果一个向量空间有一个基 ${v_1, v_2, dots, v_n}$，那么一个任意向量 $x$ 就可以写成 $x = c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n$。根据线性映射的两个性质，$T(x) = T(c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) + dots + c_nT(v_n)$。
看到了吧？一旦我们知道了 $T$ 是如何作用在每个基向量上的（也就是 $T(v_1), T(v_2), dots, T(v_n)$ 是什么），我们就能计算出 $T$ 作用在任何一个向量 $x$ 上的结果。
而 $T(v_i)$ 本身也是一个向量，它也可以用这个向量空间的基来表示。如果我们把 $T(v_1), T(v_2), dots, T(v_n)$ 这些基向量的像，按顺序排成列向量，然后再把它们合起来，就构成了一个矩阵。这个矩阵，我们称之为该线性映射在选定基下的矩阵表示。
为什么说“用矩阵定义”是个糟糕的说法？
原因藏在上面这段解释里了。这里的关键在于：
1. 矩阵表示是依赖于基的： 上面说得很清楚，我们得先选定一个基，才能得到一个矩阵。换句话说，同一个线性映射，如果我们换一套基，它对应的矩阵很可能就不是同一个了！这说明矩阵本身，并不是线性映射的“内在”属性，而是我们“观察”或“描述”这个映射的某个视角（基于选定的坐标系/基）。
想象一下，你有一个很漂亮的雕塑。你可以用不同角度的照片来描述它，但照片只是雕塑的一个侧面。矩阵就像是那个侧面照片，它能帮我们理解一部分，但它本身不是雕塑。线性映射才是那个雕塑本身。
2. 线性映射的概念比矩阵更一般、更根本： 线性映射的定义（可加性和数乘性）是纯粹的向量空间内部的结构关系，它不依赖于任何坐标系或基的选择。它适用于无限维向量空间，也适用于那些我们很难（甚至不可能）找到一个“良好”基的场合。
比如，你有没有想过，对一个函数进行求导，是不是一个线性映射？
设 $V$ 是光滑函数组成的向量空间，对求导运算 $D$ 定义为 $D(f) = f'$。
可加性：$D(f+g) = (f+g)' = f' + g' = D(f) + D(g)$。
数乘性：$D(c cdot f) = (c cdot f)' = c cdot f' = c cdot D(f)$。
所以求导确实是一个线性映射。
但是，光滑函数空间是无限维的。我们很难去“定义”一个基，然后用一个有限的矩阵来表示这个求导运算。虽然我们可以用泰勒级数等方法来“模拟”矩阵表示，但它不是一个简单的、直接的矩阵乘法。
如果说矩阵“定义”了线性映射，那么在无限维空间，我们是不是就没法谈论线性映射了？显然不是。线性映射的概念更基础，它放之四海而皆准。
3. 模糊了“内在性质”与“表示形式”的区别： “定义”通常意味着事物的本质。如果说矩阵定义了线性映射，就好像说“一个事物的照片就是这个事物本身”。这混淆了事物本身（线性映射）和我们用来描述它、研究它的工具（矩阵表示）。
线性映射更像是一种“操作”、“变换”的规则，它描述了向量空间是如何被“拉伸”、“旋转”、“剪切”等等，并且保持了“直线”、“原点”不变。矩阵是实现这种操作的计算工具，尤其是在有限维且选取了坐标系的情况下。
更恰当的说法是什么？
更严谨、更恰当的说法应该是：
“矩阵是线性映射的表示”
“在有限维向量空间中，选取了基之后，任何线性映射都可以用一个矩阵来表示”
“通过改变基，同一个线性映射可以对应不同的矩阵”
总结一下，为什么说“用矩阵定义线性映射”不好？
因为它：
限制了我们对线性映射的理解范围： 容易让人只关注有限维空间和矩阵运算，忽略了更广泛的、无限维的应用和概念。
忽略了基的重要性： 让我们以为矩阵是映射本身固有的属性，而实际上它是一个依赖于坐标系的“表现”。
混淆了本质与形式： 将描述工具（矩阵）当成了被描述的对象（线性映射）的本质。
打个比方，如果你学习数学，说“我们用二进制来定义数字”，这就不如说“我们用十进制计数，但也可以用二进制来表示数字”来得准确。二进制和十进制都是数字的表示方法，但数字本身是更抽象的概念。矩阵就像是数字的某种进制表示，而线性映射是数字本身。
所以，我们应该说矩阵是“表示”线性映射的一种强大而实用的工具，而不是“定义”它。这样的说法，能让我们更清晰地把握线性代数的核心概念，也更能体会到其在更广阔数学领域中的力量。
网友意见
这个观点很难不认同。
矩阵是线性映射在不同基下的“化身”，初学者很难摆脱对矩阵的执着，从而影响对线性映射的学习。套用金刚经里的名言：凡有所相，皆是虚妄。若见所相非相，即见如来。
线性映射的高度自然比矩阵高。为什么这么说呢？两个不同的矩阵，有可能对应的是同一个线性变换，当且仅当两者相似。在相似的观点下，其实矩阵只有一类，那就是Jordan块矩阵。在这个意义下去看一些定义、定理，很多东西都是显然的了。
矩阵的好处主要是容易计算；线性映射负责抽象性质的证明。对于非数学系的学生，其实熟练掌握矩阵的处理已经够了。但对数学系的同学而言却远远不够。这一点我深有体会。比如在黎曼几何中，经常会接触各种线性映射，但很少会遇到具体的矩阵，除非你建立具体的坐标卡，进行繁杂的计算……线性映射正是脱离了这些繁琐之极的东西，可以帮助人看清对象之间清晰的联系，快速把握本质。
有一本线代的教材就是全程以线性映射的观点书写，矩阵在全书后面才粉墨登场(这个词是贬义词，我没乱用)。而整部书也不厚，但内容挺丰富讲解详细，妙处可见一斑。
这本书名字确实霸气，当时我不识庐山真面目，看到题目心中暗想：你的意思我们都学错了？
读后真的是醍醐灌顶，相见恨晚，真香！
这本书我是去年才读的，已经太晚了。如果我能在学完高代之后花上一个星期的时间，当作小说读一读，那水平不知道高到哪里去了。我本科毕业后，被
洗礼了，读完整个人麻了……
我没有拉踩的意思啊，没有任何这个意思……柯神的书也是从线性映射的角度讲的。但是这位长者写的三大本书涵盖的内容太多了，说实话经常读了后面忘了前面，为了全书自洽，所以符号繁杂，看起来不是很轻松。
类似的话题
-
让我想想，我们总是在做线性代数，然后处理矩阵，对吧？而且我们经常听到，矩阵可以用来“定义”或“表示”线性映射。这听起来挺好，毕竟矩阵运算对应着向量的变换，而且能把抽象的概念变得具体。但是，如果仔细想想，说“用矩阵定义线性映射”其实有点……怎么说呢？可能不是那么回事，甚至可以说是有点误导。咱们从头说起............. -
.......
-
“用外星人电脑是在装逼”这个说法，其实是一种带有戏谑和夸张的社会观察和评价，它并非对所有购买Alienware（外星人）品牌电脑的用户都适用，而是针对一种普遍存在的现象，即Alienware品牌本身所营造的形象以及部分用户基于这种形象而产生的行为。为了详细解释为什么会有这样的说法，我们需要从以下几个.............
-
“真香”这个词，放在手机圈，可不单单指代“好用”那么简单，它是一种综合性的体验，是性价比、是流畅度、是满足感，更是物有所值之后的由衷赞叹。而在我看来，iPhone SE3，也就是我们俗称的“小屏旗舰”或者“性价比 iPhone”，如果能用上 A15 芯片，那才是真正能对得起“真香”这两个字。为什么这.............
-
为什么一个C++程序员，就算摸爬滚打了十年，也仍然不敢轻易地说自己“精通”C++？这并非危言耸听，也不是为了显得深奥而故作姿态。C++这门语言本身，就像一座深邃而广阔的山脉，你攀登得越久，越会发现它隐藏的更多未知领域，以及那些曾经以为自己已经掌握的角落里，还有更精妙的学问。首先，咱们得明白，C++并.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
“演员用了配音就不配谈演技”这句话，虽然听起来有些绝对，但它触及了一个核心问题：表演的完整性和真实性与配音之间的潜在冲突。 要详细地解释这一点，我们需要从几个层面来分析：一、 演技的核心是什么？首先，我们要理解演技的本质。演技不仅仅是记住台词、摆出表情那么简单，它包含了： 情感的传达与共鸣： 演.............
-
.......
-
网上流传的“用过小米11的人基本不会再买小米了”这句话，确实触及了一个挺有意思的群体现象，背后原因也比较复杂，不是一句简单的好坏就能概括的。我仔细想了想，觉得这种说法背后可能包含了以下几个层面的考量，而且很多都是用户在长期使用后才逐渐体会到的：1. 过热问题成为挥之不去的阴影：这是小米11最被人诟病.............
-
这个说法很有意思，它常常被用来比喻不被条条框框所束缚，大胆尝试就能突破看似不可能的界限。但如果仔细推敲，这句关于蝴蝶飞行的论断，在科学上站不住脚。让我们一层层剥开来看，它究竟是怎么来的，又为什么是错的。这个说法的起源与流传这句论断，与其说是一个严谨的科学发现，不如说是一个流传甚广的科普悖论，或者说是.............
-
.......
-
说两伊战争“用最先进的武器打了场最没技术含量的战争”，这句话虽然有些绝对，但却抓住了这场战争最令人诟病也最令人印象深刻的几个特点。理解这句话，需要我们深入分析这场长达八年的冲突，以及当时国际军事技术的发展状况。首先，我们得明白“最先进的武器”体现在哪里。两伊战争，发生在1980年至1988年，正值冷.............
-
铀 235 可能会用完，这话说得没错，但需要更细致地理解其中的“用完”和“可能”。这并非说我们会在某个朝夕之间把地里的铀 235全挖出来，然后就什么都没了。这是一个关于资源开采、利用效率以及相对稀缺性的问题。首先，我们得知道铀 235（U235）是个什么东西。它是铀元素的一种同位素，在天然铀矿石中含.............
-
.......
-
.......
-
“小心你的“救命稻草”：trycatch 究竟隐藏了多少 bug？C 中它的正确打开方式”在 C 的世界里，`trycatch` 语句就像一位勤恳的“救火队员”，总能在代码运行出现意外时，及时伸出援手，避免程序崩溃。然而，就像任何强大的工具一样，如果使用不当，它也可能成为隐藏问题的“帮凶”，让开发者.............
-
.......
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有