21世纪以来（基础）数学在人文科学中有哪些应用？
21世纪以来，数学这门古老而严谨的学科，在人文科学领域的触角正变得越来越敏锐和深入。这种融合并非简单地将数字搬进文学作品，而是借助数学的逻辑框架、建模能力和分析工具，去探索和理解那些曾经被认为是只能凭借直觉和感性来把握的人文现象。
1. 计算语言学与文本分析：拆解文字的基因密码
人文科学的核心载体是语言。过去，我们通过阅读和理解来把握文本的意义，但21世纪以来，计算语言学的发展让我们可以“量化”语言。基础数学，特别是概率论、统计学和线性代数，成为了这项工作的基石。
词频分析与主题建模： 借助于统计学中的词频统计（TFIDF）、贝叶斯定理等，我们可以分析海量文本中的词语出现频率，识别出文章的核心主题和关键词。例如，研究某位作家不同时期的作品，通过统计分析可以发现其语言风格的演变，或是某个概念在不同作品中的重要性变化。
语料库分析与文本相似度： 线性代数中的向量空间模型将词语和文档表示为高维向量。通过计算这些向量之间的相似度（如余弦相似度），我们可以量化文本之间的关联程度。这被广泛应用于文学研究，例如寻找具有相似风格或主题的诗歌集，或是识别不同作者的作品之间的潜在联系，甚至可以用来侦测抄袭。
网络分析与语义关系： 将词语视为节点，它们之间的共现关系视为连边，我们可以构建词语共现网络。利用图论中的中心性算法（如度中心性、介数中心性），我们可以找出语篇中最“重要”或连接最多其他词语的词汇，揭示隐藏的语义结构和关联。
自然语言处理（NLP）中的数学模型： 机器学习算法（如支持向量机、朴素贝叶斯）在文本分类、情感分析等方面发挥着巨大作用。这些算法的核心都依赖于概率论、优化理论和统计推断。例如，情感分析可以判断一段文字是正面、负面还是中性，这对于分析社交媒体上的公众舆论、文学作品中的人物情感变化等具有重要意义。
2. 数字人文与历史学：重塑历史叙事的量化基础
历史研究不仅仅是编年史的堆砌，更是对过去事件的解释和重建。数学工具正在为历史学家提供新的视角和证据。
社会网络分析在历史事件中的应用： 历史人物之间的关系（家族、政治联盟、友谊等）可以被建模为复杂的网络。通过图论和网络分析，我们可以识别出历史事件中的关键人物、权力结构以及信息传播的路径。例如，分析《红楼梦》中人物关系网，可以更清晰地理解人物之间的互动模式和潜在的权力斗争。在更宏观的历史研究中，可以分析古代王朝的政治派系网络，或是宗教传播的网络结构。
空间分析与地理信息系统（GIS）： 历史事件往往发生在特定的地理空间。将历史数据与GIS相结合，利用几何学和统计学的方法，可以进行空间模式的识别和分析。例如，分析古代城市的人口分布、贸易路线的变迁，或是疾病的传播路径，都能通过空间统计学的方法得到更精确的认识。
人口统计学与历史人口研究： 基础的计数原理、统计抽样和生命表等数学方法，在研究历史时期的人口结构、死亡率、生育率以及迁移模式等方面至关重要。例如，通过对古代墓葬文献的分析，结合统计模型，可以推测古代社会不同阶层和性别的预期寿命。
数字档案的检索与分析： 随着历史档案的数字化，对海量历史文献进行高效的检索和分析变得可能。搜索引擎的算法本身就建立在信息检索理论和数学模型之上。通过文本挖掘和模式识别技术，历史学家可以从浩瀚的档案中发现过去被忽略的线索和联系。
3. 行为经济学与心理学：量化人的决策与认知
经济学和心理学本质上都在尝试理解人类的行为。数学提供了严谨的框架来量化和预测这些行为。
博弈论在决策分析中的应用： 博弈论，作为一种研究决策者之间战略互动的数学理论，在经济学和心理学中扮演着核心角色。无论是个人面对选择，还是组织之间的合作与竞争，博弈论中的纳什均衡、合作博弈等概念，都能帮助我们理解和预测最优策略。例如，研究两人之间的信任博弈，可以揭示社会交往中信任建立的机制。
计量经济学与行为建模： 经济学家和心理学家利用回归分析、时间序列分析等统计方法，建立数学模型来描述和预测经济现象和人类行为。例如，预测消费者购买行为的概率，或者量化广告对产品销量的影响。这些模型往往建立在统计推断和概率分布的基础上。
认知科学中的数学模型： 心理学研究者利用概率模型来解释人类的学习、记忆和决策过程。例如，贝叶斯推断模型被用来理解人类如何根据不确定信息更新信念。神经网络模型（尽管复杂，但其基础是线性代数和微积分）则被用来模拟大脑的信息处理方式。
4. 艺术与音乐理论：解析美的结构与规律
艺术，尤其是音乐，本身就与数学有着深厚的渊源。21世纪的技术进步让我们可以更深入地探索这种联系。
音乐信息检索与情感分析： 通过将音乐的音高、节奏、和声等元素转化为数学数据，我们可以使用信号处理和模式识别技术来分析音乐的结构、风格和情绪。例如，识别不同时期音乐作品的和声进行模式，或者分析用户对音乐的情感反应。
计算机图形学与艺术创作： 分形几何学的应用使得艺术家能够创造出极其复杂和自然的视觉效果，例如在电影特效和数字艺术中。此外，数学算法也被用于生成艺术图案、优化排版设计等。
艺术史中的统计分析： 对大量的艺术作品进行风格、色彩、构图等方面的统计分析，可以揭示艺术史上的发展趋势、风格演变，甚至可以辅助鉴别艺术品的真伪。
5. 社会科学中的网络分析：理解错综复杂的人际关系
如今，社会网络分析已经成为理解人类社会结构的关键工具。
社交网络分析： 社交媒体的兴起使得人际关系的量化成为可能。借助于图论和网络统计学，我们可以分析信息在社交网络中的传播速度和范围，识别关键影响者，研究群体行为的涌现。例如，分析某个社会运动在社交媒体上的传播模式，可以帮助理解其动员机制。
流行病学与社会传播模型： 虽然起源于医学，但流行病学的传播模型（如SIR模型）也被广泛应用于理解信息、观点甚至社会规范在人群中的传播。这些模型建立在微分方程和概率论的基础上。
总而言之，21世纪以来，基础数学在人文科学中的应用并非取代了人文关怀和深刻的洞察力，而是提供了一种更精确、更系统、更有力的工具去量化、分析、建模和理解那些曾经被认为难以捕捉的人文现象。它帮助我们从数据的洪流中提炼出知识，从复杂的相互作用中发现规律，从而更深入地理解人类自身、我们的历史和我们创造的文化。这种跨学科的融合，正在不断拓展人文科学的研究边界，为我们认识世界和自身提供前所未有的可能性。
1. 计算语言学与文本分析：拆解文字的基因密码
人文科学的核心载体是语言。过去，我们通过阅读和理解来把握文本的意义，但21世纪以来，计算语言学的发展让我们可以“量化”语言。基础数学，特别是概率论、统计学和线性代数，成为了这项工作的基石。
词频分析与主题建模： 借助于统计学中的词频统计（TFIDF）、贝叶斯定理等，我们可以分析海量文本中的词语出现频率，识别出文章的核心主题和关键词。例如，研究某位作家不同时期的作品，通过统计分析可以发现其语言风格的演变，或是某个概念在不同作品中的重要性变化。
语料库分析与文本相似度： 线性代数中的向量空间模型将词语和文档表示为高维向量。通过计算这些向量之间的相似度（如余弦相似度），我们可以量化文本之间的关联程度。这被广泛应用于文学研究，例如寻找具有相似风格或主题的诗歌集，或是识别不同作者的作品之间的潜在联系，甚至可以用来侦测抄袭。
网络分析与语义关系： 将词语视为节点，它们之间的共现关系视为连边，我们可以构建词语共现网络。利用图论中的中心性算法（如度中心性、介数中心性），我们可以找出语篇中最“重要”或连接最多其他词语的词汇，揭示隐藏的语义结构和关联。
自然语言处理（NLP）中的数学模型： 机器学习算法（如支持向量机、朴素贝叶斯）在文本分类、情感分析等方面发挥着巨大作用。这些算法的核心都依赖于概率论、优化理论和统计推断。例如，情感分析可以判断一段文字是正面、负面还是中性，这对于分析社交媒体上的公众舆论、文学作品中的人物情感变化等具有重要意义。
2. 数字人文与历史学：重塑历史叙事的量化基础
历史研究不仅仅是编年史的堆砌，更是对过去事件的解释和重建。数学工具正在为历史学家提供新的视角和证据。
社会网络分析在历史事件中的应用： 历史人物之间的关系（家族、政治联盟、友谊等）可以被建模为复杂的网络。通过图论和网络分析，我们可以识别出历史事件中的关键人物、权力结构以及信息传播的路径。例如，分析《红楼梦》中人物关系网，可以更清晰地理解人物之间的互动模式和潜在的权力斗争。在更宏观的历史研究中，可以分析古代王朝的政治派系网络，或是宗教传播的网络结构。
空间分析与地理信息系统（GIS）： 历史事件往往发生在特定的地理空间。将历史数据与GIS相结合，利用几何学和统计学的方法，可以进行空间模式的识别和分析。例如，分析古代城市的人口分布、贸易路线的变迁，或是疾病的传播路径，都能通过空间统计学的方法得到更精确的认识。
人口统计学与历史人口研究： 基础的计数原理、统计抽样和生命表等数学方法，在研究历史时期的人口结构、死亡率、生育率以及迁移模式等方面至关重要。例如，通过对古代墓葬文献的分析，结合统计模型，可以推测古代社会不同阶层和性别的预期寿命。
数字档案的检索与分析： 随着历史档案的数字化，对海量历史文献进行高效的检索和分析变得可能。搜索引擎的算法本身就建立在信息检索理论和数学模型之上。通过文本挖掘和模式识别技术，历史学家可以从浩瀚的档案中发现过去被忽略的线索和联系。
3. 行为经济学与心理学：量化人的决策与认知
经济学和心理学本质上都在尝试理解人类的行为。数学提供了严谨的框架来量化和预测这些行为。
博弈论在决策分析中的应用： 博弈论，作为一种研究决策者之间战略互动的数学理论，在经济学和心理学中扮演着核心角色。无论是个人面对选择，还是组织之间的合作与竞争，博弈论中的纳什均衡、合作博弈等概念，都能帮助我们理解和预测最优策略。例如，研究两人之间的信任博弈，可以揭示社会交往中信任建立的机制。
计量经济学与行为建模： 经济学家和心理学家利用回归分析、时间序列分析等统计方法，建立数学模型来描述和预测经济现象和人类行为。例如，预测消费者购买行为的概率，或者量化广告对产品销量的影响。这些模型往往建立在统计推断和概率分布的基础上。
认知科学中的数学模型： 心理学研究者利用概率模型来解释人类的学习、记忆和决策过程。例如，贝叶斯推断模型被用来理解人类如何根据不确定信息更新信念。神经网络模型（尽管复杂，但其基础是线性代数和微积分）则被用来模拟大脑的信息处理方式。
4. 艺术与音乐理论：解析美的结构与规律
艺术，尤其是音乐，本身就与数学有着深厚的渊源。21世纪的技术进步让我们可以更深入地探索这种联系。
音乐信息检索与情感分析： 通过将音乐的音高、节奏、和声等元素转化为数学数据，我们可以使用信号处理和模式识别技术来分析音乐的结构、风格和情绪。例如，识别不同时期音乐作品的和声进行模式，或者分析用户对音乐的情感反应。
计算机图形学与艺术创作： 分形几何学的应用使得艺术家能够创造出极其复杂和自然的视觉效果，例如在电影特效和数字艺术中。此外，数学算法也被用于生成艺术图案、优化排版设计等。
艺术史中的统计分析： 对大量的艺术作品进行风格、色彩、构图等方面的统计分析，可以揭示艺术史上的发展趋势、风格演变，甚至可以辅助鉴别艺术品的真伪。
5. 社会科学中的网络分析：理解错综复杂的人际关系
如今，社会网络分析已经成为理解人类社会结构的关键工具。
社交网络分析： 社交媒体的兴起使得人际关系的量化成为可能。借助于图论和网络统计学，我们可以分析信息在社交网络中的传播速度和范围，识别关键影响者，研究群体行为的涌现。例如，分析某个社会运动在社交媒体上的传播模式，可以帮助理解其动员机制。
流行病学与社会传播模型： 虽然起源于医学，但流行病学的传播模型（如SIR模型）也被广泛应用于理解信息、观点甚至社会规范在人群中的传播。这些模型建立在微分方程和概率论的基础上。
总而言之，21世纪以来，基础数学在人文科学中的应用并非取代了人文关怀和深刻的洞察力，而是提供了一种更精确、更系统、更有力的工具去量化、分析、建模和理解那些曾经被认为难以捕捉的人文现象。它帮助我们从数据的洪流中提炼出知识，从复杂的相互作用中发现规律，从而更深入地理解人类自身、我们的历史和我们创造的文化。这种跨学科的融合，正在不断拓展人文科学的研究边界，为我们认识世界和自身提供前所未有的可能性。
网友意见
这个本来是应该放在社会科学那边的，暴露了我的无知23333(不过还是放着吧)
21世纪的不知道，不过我有个20世纪的结果。
阿罗不可能性定理。
1951年，肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow）在他的经济学经典著作《社会选择与个人价值》一书中，使用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是不可能的！
更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理(保证选举公平的一组规则)的选举。或者说，指定一组选举规则，那么能不在通行投票方式中产生矛盾的选举规则一定是「独裁的」。还可以概括为：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
这个问题源于十八世纪法国思想家孔多塞的投票悖论（The Voting Paradox）。假设有甲乙丙三个人，面对ABC三个备选方案，有偏好排序：甲A>B>C，乙B>C>A，丙C>A>B。由于甲乙都认为B好于C，根据少数服从多数原则，社会也应认为B好于C；同样乙丙都认为C好于A，社会也应认为C好于A。所以社会认为B好于A。但是，甲丙都认为A好于B，就会出现矛盾，从而无法产生令人满意的结果。
阿罗对其一般情形(n个投票者与m个备选项)进行了研究，得出了他的不可能性定理。我把一种证明贴在下面，有一定基础的看官可以了解一下。网络上好像流传有三种证明方法，有一篇论文就是说这个的。可以去查一下「阿罗不可能性定理的三种证明」。
这个定理，应该算是社会学(或者政治学？)上的成果吧。这个定理，对究竟「何为民主」提出了深刻的拷问。即使是现在，人类依然在民主是什么这个问题里挣扎，今之香港即是最好的证明。
最后贴一句马克思的话。
一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。
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