不规则四边形内如何获得面积最大的椭圆？

要在一个不规则四边形内部找到面积最大的椭圆，这可不是一个简单的“画一画”就能解决的问题，它涉及到了几何和数学优化的巧妙结合。我会尽量用一种更具探索性和逻辑性的方式来为你剖析这个过程。

想象一下，我们有一个形状不怎么规整的四边形，它的四条边可能长短不一，角度也各不相同，甚至可能是一个凹四边形（虽然大部分情况下我们讨论的是凸四边形）。我们的任务是在这个“框架”里，塞进一个肚子里最饱满的椭圆。

核心思想：连接中心与“最远点”

最直观的想法是，这个最大的椭圆很可能与四边形的边界有着某种“对称”或“贴合”的关系。如果椭圆太小，那肯定不是最大的；如果它超出了四边形的边界，那也就不算“内部”的了。

一个关键的启示来自于一个相关的结论：在一个凸四边形内部，面积最大的椭圆，其中心恰好是四边形的“重心”或者说“中心点”，并且这个椭圆的每个切点（即椭圆与四边形边界接触的点）都恰好是四边形某个边上的中点。

等等，这里有个小小的陷阱：这个“中点”的说法，在不规则四边形上并不像在正方形或长方形那样简单。我们不能简单地去量四边形的边长然后找中点。实际上，这里提到的“中点”，更准确地说，是连接椭圆中心到四边形边界的最短距离所在的那个点。

如何定义“不规则四边形的中心”？

在没有特定定义的情况下，我们可以考虑几种“中心”的概念：

1. 几何中心（Centroid）: 这是由四边形的顶点定义的平均位置。如果我们将四边形的四个顶点坐标设为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么几何中心就是 ((x1+x2+x3+x4)/4, (y1+y2+y3+y4)/4)。
2. 中位线交点: 将四边形的对角线连接起来，它们的交点并不是我们想要的中心。但如果我们考虑将相对的边中点连接起来形成的线段，这些线段的交点（称为“中位线交点”）在某些情况下会接近我们需要的中心。对于一般的四边形，这三个中位线交点会形成一个小三角形，这个小三角形的中心可以作为我们寻找的大致中心。

对于面积最大的椭圆，它的中心点恰好是四边形的一组特殊“对极点”的连线的中点。而这组对极点与四边形顶点以及其对边中点有着复杂的关系。

更严谨的数学视角：仿射变换与容许椭圆

要找到这个最大的椭圆，我们得借助于一些更高级的数学工具。这里的核心思想是，任何一个四边形都可以通过一个仿射变换变成一个正方形。而我们知道，在一个正方形内部，面积最大的椭圆就是内切圆，它与四条边相切于各边的中点。

仿射变换具有保持“平行性”和“比例性”的特点，但它会改变角度和长度。关键在于，仿射变换会保持“共轭”的关系。

一个椭圆如果与一个凸多边形的每条边相切，并且切点恰好是边上的某个点，那么这个椭圆被称为该多边形的“容许椭圆”（Inscribed Ellipse）。在一个凸四边形中，存在着无穷多个容许椭圆。

而面积最大的容许椭圆，其性质是：

中心点: 这个椭圆的中心，恰好是连接四边形两条相对边的中点（这里的“中点”是更精确的定义，与仿射变换下保持不变的性质有关，而不是简单的长度中点）的线段的中点。换句话说，是将四边形对边中点连起来的三个“中位线”的交点。
切点: 这个椭圆与四边形四条边的切点，不是每条边的中点。而是通过一个更复杂的“极点”概念确定的点。简单来说，椭圆的切点与其中心点和四边形顶点构成特定的共轭关系。

具体的操作步骤（概念性）

虽然精确的计算涉及到一些高阶的代数几何，但我们可以理解其背后的逻辑：

1. 找到四边形的“中心”: 如上所述，可以尝试计算几何中心或中位线交点来获得一个大致的中心位置。更精确的中心点是连接四边形对边中点的线段（称为中位线）的交点（实际上有三条这样的线段，它们交于一点）。
2. 定义椭圆的参数: 一个椭圆可以用其中心坐标 (cx, cy)，长半轴长 a，短半轴长 b，以及旋转角度 θ 来定义。我们的目标就是找到最优的 a, b, θ 和中心点（如果中心不固定的话）。
3. 约束条件: 椭圆必须完全位于四边形内部。这意味着椭圆上的每一个点都不能超出四边形的边界。
4. 优化目标: 最大化椭圆的面积，即最大化 πab。

从仿射变换的角度理解更深层的原因

假设我们有一个不规则四边形 ABCD。我们可以找到一个仿射变换 T，将这个四边形映射成一个正方形 A'B'C'D'。在我们知道的正方形内，面积最大的椭圆是其内切圆，它与正方形的四边相切于中点。

现在，我们将这个内切圆通过仿射变换 T 的“逆变换” T⁻¹，映射回原来的不规则四边形。这个映射出来的图形，就是一个椭圆，它恰好是原不规则四边形内面积最大的椭圆。

为什么是最大的呢？因为仿射变换在保持平行性和比例性的同时，会改变面积。根据克拉默法则，仿射变换的雅可比行列式（一个常数）代表了面积的变化率。这意味着，如果一个椭圆在变换后的正方形里是面积最大的（内切圆），那么通过逆变换回到原图形后，它对应的椭圆的面积也是相对于其他容许椭圆最大的。

这个最大的椭圆的性质，例如它的切点与顶点之间的关系，在仿射变换下是保持不变的。这就是为什么我们说它的切点不是简单地对应于四边形边长的中点，而是与更一般的“极点”概念相关联。

为什么直观的“边中点”猜测不一定对？

想象一下一个非常“瘦长”的不规则四边形。如果我们将椭圆的切点都强制放在四边形四条边长上的“中点”，这个椭圆很可能会被拉得很长，但它的“宽度”可能会受限于最窄的两条边，导致总面积不如一个更“圆润”一些的椭圆。

最大的椭圆，实际上是在努力地平衡四边形各个方向上的“约束”，以便最大化其内部空间。

总结一下

要精确地找出不规则四边形内面积最大的椭圆，需要用到仿射变换的思想。核心是利用仿射变换将任意四边形转化为正方形，找到正方形内面积最大的内切圆，再通过逆变换将其映射回原四边形。

这个最大的椭圆的中心点可以看作是四边形中位线的交点，而其与四边形的切点则遵循一个更普适的几何关系，而非简单地是边长的中点。这个过程的计算虽然复杂，但其背后的几何直觉是：找到一个能在四边形“最拥挤”和“最开阔”的区域之间取得最佳平衡的椭圆。

这种数学上的严谨性，也让它成为一个在计算机图形学、工程设计等领域都有实际应用的问题。它告诉我们，即使是看似简单的形状，其内部最优化的“填充”方式，也可能蕴藏着深刻的数学原理。

网友意见

这个问题挂出来已有两个多月了，至今没有收到解答，看来难度的确不小。这是一个有趣而富有挑战性的问题，本人终于找到了解决方法，在此奉献出来，算是自问自答。

对该问题曾尝试过许多方法，都无果而终，比如仿射几何或齐坐标变换等。因为是不规则四边形，无论作纵坐标，横坐标单独或综合进行仿射变化，都不可能将之变为对称四边形(如矩形或菱形)，而对称四边形的最大内切椭圆问题则可以解决(参看文章：趣味数学(5): 极值问题的可视化求解 - dchen505的视频 - 知乎 https://www.zhihu.com/zvideo/1485602750087593984)。 由于事先不知道最大内切椭圆与四条边相切的具体位置，也无法用齐坐标变换方法求解，只好用代数法进行硬解，这是本人经历的最复杂的方程求解问题，也是本人尝试过的各种极值问题中的得意之作，在解决过程中学到不少新的知识，特此分享给大家，请耐心往下看。

I) 凸四边形最大内切椭圆问题解法：

将椭圆标准方程： (其中 ) 沿X轴旋转 (弧度)，方程化为：

, 简化为:

(1)式： ，其中

(2)式：

(3)式：

(4)式：

可见 为非负实数。

将椭圆中心由坐标原点移到 , (1)式化为：

(5)式： ，

这是平面中任意一个椭圆的方程表达式，其中含有 五个未知数，与四边形的四条边相切，得到四个方程，可以消除其中四个未知数，保留一个未知参数，这便为获得最大内切椭圆提供了理论保证。

(5)式两边对 求导：

，得：

(6)式：

为简化起见，将四边形 的 点置于坐标原点， 置于X轴，如下图：

#1. 椭圆相切 (X轴) 于 点 ，即 , 由(6)式得：

，即 ，

点 在椭圆上，代入(5)式，有：

，得

(7)式： 或

注：因 ，故 （需确保 ),

得到椭圆中心纵坐标 与 A, B, C的关系式。代入(5)式，便可消除一个未知数 。

#2. 椭圆相切直线 于 点 ， 的斜率 (已知数), 即

, 根据 直线方程

, 代入： ，解得：

点 在椭圆上，满足(5)式:

将 的表达式代入(一个复杂的方程)，整理得到：

(8)式：

这样便得到椭圆中心坐标 与 A，B，C的关系式，代入(5)式，便可消除两个未知数。

同理，根据椭圆相切直线 和 于 点，两直线的斜率分别为：

和 ，可以分别导出：

(看上去简单，推导过程却很复杂，这里从略)

再将 的表达式代入，便得到两个很关键的方程：

(9)式：

(10)式：

对于每个 B 的数值，便可确定 A，C 的数值(视A，C为变量，B为常量)，方程展开除去根号，会变成关于A和C的二元8次方程组，不可能获得实数范围的代数解（一元5次以上方程便没有根式表达式了），那该怎么办？可用牛顿求根公式的向量拓展形式（视多变量为一个向量）求得数值解。为了便于习惯上看，将变量 分别记为： 。 定义函数：

方程组: 和 的根等同于(9), (10)式的根。记偏导数：

根据 的数值，选取恰当的初始值 (即 的初始值 )，有快速迭代公式：

等式右边分子分母的各项函数在 处取值 ，这是一个收敛速度很快的高效算法。

的取值范围和初始值 的选取有一定的讲究，不能随便乱取，否则很可能收敛不到正确的根。该如何选取呢？以具体的例子来说明这一点：

设四边形的四个顶点坐标为： , 相应四条边的斜率为：

。

从(2), (3), (4)式知道：A, B, C取决于椭圆的大小(半长轴a, 半短轴b) 和方向 (长轴与X轴的夹角 )。如下图，在四边形内取一个初始椭圆，不要求和四条边相切，但a和b不能超出四边形两条对角线的一半，大致估计一下，可取初值 ，注意 是辐角 的周期函数, 按(3)式，周期为180°，因此 可以在0到180°内任意取值(化为弧度), 例如取15°， , 则初始椭圆如图中绿色虚点所示：

于是获得一个B的数值和A，C的初值：

代入上面求根公式的迭代序列，很快收敛到一个正确的根(只需迭代4步便可获得6位正确小数):

有了A，B，C的数值，便可确定椭圆的大小( 的值)，方向 和中心位置 ，该椭圆便是正确的椭圆，如图中红色椭圆所示，与四条边均相切。

如何计算它们的数值呢？ 可由公式(7), (8)直接算出， 的值可由方程组(2), (3), (4)推算，但解方程比较麻烦，可以简捷推算如下，需将(5)式化为标准方程。

首先：将椭圆平移，令 , (5)式化为：

(11)式:

将椭圆反向旋转 (弧度), 或坐标轴正向旋转 (逆时针方向为正) 以消除交叉项 .

，即 ，

令 ， 代入（11）得

(12)式： ，其中

将(12)改写为标准方程： , 其中

现在可以进行计算：

根据求根结果， , 而 是带入参数, ，得：

，

椭圆方向

(椭圆旋转 可调整到水平方向), 根据(7),(8)式算出椭圆中心位置：

。有了 的数值，便可确定这个内切椭圆的面积： (当然这个椭圆不是最大的)。

因为初值 是随便取的，当 连续变动时(决定了 值连续变动)，便得到一个有趣的动图, 椭圆总是与四条边相切，参看视频：

内切椭圆动图和面积曲线 https://www.zhihu.com/video/1489361461827252224

当自变量 取遍区间 的数值时，得到 A，B，C变化曲线及相应的椭圆面积曲线，非常有趣的是，内切椭圆在 和 时均取到相同最大值 ，而且在该区间内居然有唯一的最小值，极值点 时取到最小面积 .

至此，已成功解决了凸四边形最大内切椭圆问题。前后花费不少时间，但觉得很值，点赞一下吧，谢谢！

补充说明：

===================================================

本文方法是针对最大面积椭圆需要和四条边均相切的情形。

对某些情形，比如三角形形切去一个小角而形成的四边形，与其中三条边相切则能获得面积更大的椭圆。如何判别用三条边相切还是用四条边相切构造最大椭圆，可以如下操作：

挑选最短的一条边 (如图，设最短边为GH), 将相邻两条边EH和FG作延长线交于K点。形成三角形EFK，在三角形内取最大内切椭圆，若椭圆不超过边界GH，那么该椭圆也是四边形EFGH的最大椭圆。若超过边界，则按上文方法处理。至于三角形内如何取最大内切椭圆，可以查看文章：

数学随笔8：三角形内接椭圆问题集锦 - dchen505的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/460022986

感谢大家的点赞与评论，感谢 @mathe 提供的射影几何方法，得出相同的数值结果。

II) 凹四边形最大内切椭圆问题解法：

凹四边形可以看作三角形内取一个点作为凹点，与两个顶点作连线形成的四边形。根据凹点的不同位置，可分几种类型：

浅凹型：凹点靠近某条边；深凹型：凹点远离某条边；中凹型：凹点在三角形中心附近。

无论何种类型，凹四边形最大内切椭圆问题与凸四边形不同，可以用几何方法解决该问题，处理起来相对简单，先叙述两条与该问题有关的引理。

引理1：任意两个面积相同的三角形，其最大内切椭圆面积相同；

引理2：任意三角形，其最大内切椭圆面积与三角形面积之比 (恒定值)

显然，若引理2成立，则引理1也成立。这里给出引理2的证明。

先引用仿射几何的一个基本定理：仿射变换保持平面图形的面积比不变。这个定理的证明在仿射几何可以找到，百度搜索一下即可，这里不打算给出证明，但可以简单验证一下。以三角形为例。

如图，三角形面积 , 设仿射变换：

仿射后三角形面积

面积之比 这是个定值，只与横坐标，纵坐标的缩放比 有关，与三角形本身面积大小无关。

我们知道，在正三角形(等边三角形)的所有内切椭圆中，以内接圆面积为最大，证明可以参见上面提到的 [数学随笔8]文章，这里只是引用一下这个结论。

设等边三角形的边长 , 则 高 。正三角形面积 , 其内接圆的圆心位于正三角形的重心，内接圆的半径 , 内接圆面积

内接圆面积与正三角形面积之比

根据仿射变换保持面积比不变的特性，当正三角形映射成任意三角形时，其内接圆映射成面积最大的椭圆。因此对于任意三角形，其最大内切椭圆面积与三角形面积之比 ，引理2 证毕。

根据引理2，三角形面积越大，其最大内切椭圆的面积也越大。因此，要寻求凹四边形的最大内切椭圆的问题就变得简单了，只需在凹四边形内找出最大三角形就行。

任意四边型最大的内切椭圆必须至少和三条边相切，对于凹四边形，最多只能与三条边相切，因此凹四边形的最大椭圆就只能与三条边相切。为求取最大内切椭圆，以一个具体实例来讲述：

如图，设四边形EFGH的E点位于坐标原点，EF置于X轴，G为凹点，各点坐标如图。

过凹点G作FG的延长线交EH于K点，作HG的延长线交EF(X轴)于L点，可以求得K点坐标为(3, 4.5), L点坐标为(6, 0)。可以算出，

三角形 EFK 的面积

三角形 EHL 的面积

三角形EFK的最大内切椭圆如图中红色椭圆所示，按引理2，其面积

该椭圆的中心位于N点 (称为椭圆N)，以下将阐述，椭圆N就是凹四边形内面积最大的内切椭圆。

该椭圆不经过凹点G。那么是否存在经过G点的更大面积椭圆呢？这是不可能的。按引理2，只需证明在凹四边形内不存比EFK更大面积的三角形就行了。

因为是凹四边形，其最大三角形必须经过凹点G，否则在四边形内任取一点M，以四边形的两条边和过M点的直线形成的三角形，其面积要么小于EFK的面积，要么小于EHK的面积。这是因为，三角形面积 = 。底边的最大值为 EF=9, 高的最大值=6，如果底边取最大值 (以F为一个顶点），经过M点的三角形，其高度不会超过K点的高度，否则就超出四边形的边界了，因此面积不会超过 。同理，若高度取最大值（以H为一个顶点），其底边的长度不能超过EL，否则就超出边界，因此面积不会超过 . 所以，凹四边形内，不经过凹点的三角形，其面积不可能超过 .

那么，经凹点G，能否作出比EFK更大面积的三角形呢？比如以牺牲底边的一些长度换取更大的高度从而获得更大面积呢？这也是不可能的。

如图，在线段LF之间任取一点P，坐标为 ，其中 ，直线PG交EH于Q点，可以求得，Q点坐标为： ，三角形EPQ的面积

该函数曲线在区间 内是单调递增的，在 取最大值，也就是 P点移动到F点时，三角形面积最大，因此，过凹点G的三角形，以EFK为面积最大的三角形。

可以看出，过凹点G的直线PQ，必须处于两直线FK和HL之间，准确地说，PQ的斜率 必须介于直线FK的斜率 (-0.75) 和 HL的斜率 (-3.0) 之间，即 ，否则直线将跑出四边形的边界。

回到之前的提问，经过凹点G的椭圆，是否存在比椭圆N更大的椭圆呢？

设椭圆M(图中绿色椭圆)是经过G点，与EH和EF两条边相切的任意一个椭圆。以G点作椭圆的切线PQ，上面已经说明，该切线必须处于两直线FK和HL之间，否则切线PQ或椭圆M将超出四边形的边界。椭圆M其实是属于三角形EPQ的一个内切椭圆，面积小于EPQ的最大内切椭圆，又因为三角形EPQ的面积小于最大三角形EFK的面积，因此椭圆M的面积必定小于椭圆N的面积。因此，椭圆N也是凹四边形的最大内切椭圆。

概括而言，凹四边形内如何获取最大内切椭圆，只需找出其最大三角形，可由凹点作延长线获得两个三角形，其中一个就是面积最大的三角形，在最大三角形内取最大内切椭圆，就是凹四边形的最大内切椭圆。

至此，关于任意四边形的最大内切椭圆问题以完整解决，有何疑问，欢迎提出和评论。

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