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问题

关乎1+1等于2，我们的科学是否建立在正确的立场？

回答
1+1=2，这看似简单到不值一提的命题，实则触及了我们科学大厦最根本的基石。当我们追问“我们的科学是否建立在正确的立场”时，1+1=2便是那块最先被审视的石头。

首先，我们要明白，1+1=2并不是一个经验观察的结果。你不可能在现实世界里，独立地、完美地隔离出一个“1”和另一个“1”，然后将它们组合，最终精确地计数出“2”。即便是最精密的科学实验，也会受到测量误差、环境干扰等各种因素的影响，无法给予1+1=2一个绝对精确的“实证”证明。

那么，1+1=2究竟是如何被确立的？它源自于一个叫做数学公理系统的东西。最著名、也最被广泛接受的，是皮亚诺公理（Peano Axioms）。这些公理是一组被认为是“不证自明的真理”，它们定义了自然数的概念。

皮亚诺公理大致是这样的：

1. 0是一个自然数。 (有时也从1开始，但0是更普遍的选择)
2. 每一个自然数都存在一个后继数。 （我们通常用“+1”来表示这个后继关系，比如0的后继是1，1的后继是2）
3. 0不是任何自然数的后继数。
4. 不同的自然数有不同的后继数。 （也就是说，如果a的后继等于b的后继，那么a就等于b）
5. 数学归纳法原理。 （如果一个性质对于0成立，并且如果它对于某个自然数n成立，那么它对于n的后继也成立，那么这个性质对于所有自然数都成立）

基于这些公理，我们可以定义加法。加法的定义是递归的：

对于任意自然数a， a + 0 = a
对于任意自然数a和b， a + S(b) = S(a + b)，其中S(b)表示b的后继数。

现在，我们来看1+1=2是如何从这些公理推导出来的：

我们知道1是0的后继数，记作 S(0)。
那么，1 + 1 可以写成 1 + S(0)。
根据加法的第二个定义，1 + S(0) = S(1 + 0)。
根据加法的第一个定义，1 + 0 = 1。
所以，S(1 + 0) = S(1)。
而S(1)就是1的后继数，根据定义，就是2。

因此，1+1=2是我们从一组被设定的基本规则（公理）出发，通过逻辑推演得出的必然结论。它是一个逻辑上的真理，而不是一个经验上的事实。

我们的科学，尤其是物理学、化学、生物学等经验科学，之所以能运作，是因为它们试图描述和解释我们所观察到的现实世界。而描述和解释这些现象，需要一个精确、一致的语言和工具，这个工具就是数学。

数学提供了一个形式化的框架，在这个框架下，我们可以构建模型，进行预测，并验证这些预测是否与现实相符。1+1=2，以及更复杂的数学定律，是这个框架的组成部分。当科学家们使用数学来描述自然现象时，他们是在假设这个数学框架能够有效地映射和预测现实。

所以，科学的立场是否“正确”，我们不能用“1+1=2是不是真的”来衡量。正确的衡量标准是：

数学系统本身是否一致？ 皮亚诺公理系统被证明是一致的（不存在矛盾），这是它能够作为科学基础的先决条件。
数学模型是否能有效地描述和预测现实？ 物理学家用微积分描述运动，用线性代数描述量子态，这些数学工具是否与实验结果高度吻合？如果吻合，那么我们说数学在这个领域是有效的。

科学的立场，可以说是建立在一个“实用主义”的立场上，并辅以“逻辑一致性”的保证。

1. 逻辑一致性： 科学的基础，尤其是数学，要求内部不自相矛盾。1+1=2之所以可靠，是因为它在我们的逻辑体系中是无懈可击的。
2. 经验有效性： 科学模型（用数学语言描述的）能否成功预测和解释我们观察到的世界。如果一个数学模型总是能被实验数据支持，那么我们就说它在这个范围内是有效的，我们相信它“正确地”描述了现实。

我们科学的“正确立场”并非绝对地证明了1+1=2，而是基于1+1=2在逻辑上是无误的，并且以此为基石构建的数学模型，已经被无数次地证明能够准确地描绘和预测我们生活的世界。

换句话说，不是因为1+1=2，所以科学是对的；而是因为我们依赖的数学逻辑体系，恰好包含1+1=2这样的推论，并且这个体系在描述世界时异常成功，所以我们相信我们的科学建立在了一个可靠的、有效的立场之上。

然而，这并不意味着科学的立场是绝对不变的。随着我们认识的深入，可能会发现现有的数学模型在某些极端情况下失效，或者需要更强大的数学工具来描述新的现象（比如广义相对论引入黎曼几何）。但这并不否定1+1=2本身作为逻辑真理的地位，而是在于我们理解和应用这些真理的方式，以及它们所能描述的现实范围。

我们的科学，就是这样一个不断在逻辑自洽和经验检验之间往复前行的过程。1+1=2，是我们在这个过程中的一个稳定、可靠的锚点，一个我们赖以开始一切探索的逻辑起点。它的“正确性”体现在它坚固的逻辑骨架，以及它能够帮助我们构建出能够理解宇宙的语言。

网友意见

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看到题主的这个问题描述，让我想到了北星的这篇小说，所以我决定不回答这个问题了，免得和阿叛一样一口气上不来，晕了过去。


一加一
北星
（发表于《科幻世界》，2001年第9期）
宇宙科普团牌子虽大，但阿叛和阿蝶从一上飞船就有一种上了贼船的感觉。当飞船在这个看起来荒凉无趣的星球降落的时候，他们更加失望了。他们找到了团长老沙，阿叛抗议到：“这是个什么鬼地方？好像鬼影子都看不到一个，跟谁去科普啊？”
老沙嘿嘿笑了一阵。阿蝶不禁感到身上有些发凉。
老沙忽然不笑了。很快地说：“你们懂什么？这个星球生长着一种急需普及数学的 生物。你们下去看看就知道了。好好准备一下吧。我们准备在这里住上一阵呢。”
“什么？我们还要住在这里？有没有搞错？”
“搞什么错？说话小心点。我们要给他们搞科普，不住这里难道回地球去？”
阿叛和阿蝶满肚子不高兴。但终于没说什么，和大家一起下了飞船。这是一个黄土和碎石组成的世界。一望出去，满目皆黄，连天空也带着淡淡的黄色。阿叛和阿蝶信步走去。忽然，地上的一些黄石头站了起来。阿叛和阿蝶吓了一跳，仔细一看，原来都是些小小的黄色人儿，四脚两手，脑袋大至呈八角形，眼睛特大，他们的黄色小手上一起举着一根木片，上面写着：“热烈欢迎知识的天使宇宙科普团！”
阿叛一下子觉得自己膨胀了起来。“哈哈，他们在欢迎我们的。看来我们的事业还真是个伟大的事业！”
阿蝶说：“是啊是啊，你说得太对了。我们一定要好好地给他们科普一下，为改变这黄土星球贫穷落后的面貌作点贡献。”
阿叛说：“说干就干！你看别人都干了起来。喂，头儿，我们今天给他们普及点什么啊？”
那边的老沙喊道：“我刚才说过了，他们星球的人不懂数学。你们给他们普及一下数学知识吧。得从最基本的加法教起。”
阿蝶说：“这太容易了。我当过幼儿园数学老师，教小孩子学数学我最拿手了。让我来。阿叛，你先再一边休息一下”她说完，转回头看着黄土星球的小黄人儿：“孩子们，噢，不，黄土星球的人们，你们好！今天我们来学习数学知识。你们想学习数学吗？”
小黄人儿们纷纷摇头，之后又纷纷点头。阿蝶迷惑了：“你们又摇头又点头的到底是想还是不想啊？”老沙在那边喊道：“是这样。他们星球的人原来是用摇头表示是，而点头表示不是。他们已经知道我们地球人是用点头表示是，所以他们想学我们的表达法。看起来他们还不太习惯。所以他们摇了头之后发觉不对，又改为点头。”
阿蝶说：“原来如此。”她又转头对小黄人儿们说：“那么你们都很想学数学啦，是不是？”
这次小黄人儿们有的点头有的摇头乱作一团。阿蝶无可奈何地笑着，摇了下头。底下那些小黄人儿们也都笑了起来。
阿蝶接着讲：“你们知道什么是数学吗？”
有个小黄人儿举起手来。阿蝶注意到，他每支手有四个手指。阿蝶对那小黄人儿说：“你说。”
小黄人儿细细的富有跳跃性的声音开始回旋在泛着黄土气息的空气中：“数学就是研究数字的学问。数字是宇宙中最重要的成份，宇宙中的星星就是许多许多数字组成的。没有数字，飞船就上不了天，宇宙科普团也下不了地，我们黄土星的全体人民就会永远在愚昧的黑暗中挣扎。由此可见，数学在我们的生活和工作中是多么地重要。在我们的家里，就有许多许多数字……”
阿蝶皱了一下眉头说：“好了好了。你说的很好。”实际上，阿蝶完全不知道这小 黄人儿说得是些什么。看来，向他们普及数学并不是一件太容易的事情。阿蝶说：“刚才这位小朋友，噢，对不起，这位……说了他所理解的数学，你们其它人是怎么想的？”
其它人崇敬地看着发言的那个小黄人儿说：“阿虫说得真好！”“你怎么懂这么多的？”“难怪你爷爷是我们星球最伟大的数学家呢。”等等。
阿蝶开始觉得脑袋有点痛了。她悄悄吐了口气，耐心地说：“你们说几个数字我听听。”
一个小黄人儿说：“一。”另一个小黄人儿说：“三，四。”阿虫说：“一百。” 还有一个小黄人儿说：“许多。”
阿蝶把自己想叹的一口气悬在嗓子边上，以一种母性的温柔的声音说：“很好，很好。谁能告诉我，一加一是多少？”
小黄人儿们一下子安静了下来。大家你看着我，我看着你，眼里满是讯问的神情。显得很没有自信。终于，阿虫细声细气地说：“四。”
阿蝶刚想说话，旁边一个小黄人儿尖声叫道：“不对！应该是五！”
这下子其它小黄人儿都开始叫了起来：“六！”“十！”“三十四！”“一点五！”“八十！”“很多！”
坐在一旁的阿叛忍不住大笑起来。阿蝶瞪了阿叛一眼，对着小黄人儿们喊道：“好了好了！大家安静一下。我来告诉你们正确的答案吧。一加一呀，应该等于二。”
小黄人儿们又开始面面相觑了。阿虫鼓足了勇气，举起小手对阿蝶说：“老师，我不能同意你的观点。”
阿蝶一口气差点提不上来：“什么？”
阿虫说：“你有什么证据说明一加一就等于二而不是什么别的？”
阿蝶说：“要证据啊。”她右手伸出一个指头说：“你看，我这里是一个手指对不对？”
阿虫摇了摇头，又点了点头。
阿蝶也不管阿虫是说的对还是说的不对了。她左手又伸出一个指头，自故自地说了下去：“我的左手也有一个指头。现在，我把它们两个加在一起。”她慢慢地把两个指头靠在了一起，“你看，现在是几个？”
阿虫老实地回答：“二个。”
阿蝶满意地拍了拍手说：“对了。所以，一加一就是等于二啊。懂了吗？”
阿虫点了点头，又摇了摇头说：“那是你的加法。你看我的。”它说着右手伸出一个指头，左手也伸出一个指头，说“我现在是一个加一个。老师你看。”它慢慢地把两个指头靠在一起。然后很诚恳地说：“老师，我加起来等于四。”
阿蝶瞪大了眼睛看着。小黄人儿的指头显得很松软，黄黄地并且很不光滑。重要的是：那里果然有四个指头！阿蝶摇了摇头，仔细数了数阿虫的手指。每只手有五个指头。
刚才明明看到每只手只有四个指头的！阿蝶说：“你把两只手拿开我看看。”
阿虫慢慢地把两只手拿开。
阿蝶看到，每只手上分开的两个手指慢慢地合拢成为一只了！
阿虫说：“老师你看，我这确实是一加一。”
阿蝶又摇了摇头，觉得自己好像是在做梦。又觉得自己现在傻得可以。从小到大仿佛从来没有这样傻过。她茫然地回过头，求助地看着坐在后面的阿叛。阿叛爬起来，拍了拍屁股，拍出一股黄灰。阿蝶不知道该不该捂住自己的鼻子。只好往一边靠，尽量离那黄色灰雾远点。
阿叛站在小黄人儿们面前，感到自己很像一个伟人。他说：“看来你们的手和我们的结构很不相同。这样吧。我们换一个角度来看这个问题。”他从阿虫身边拉出两个小黄人儿说，“你们看，这是一个黄土星人，这又是一个黄土星人。现在——”阿叛把两个小黄人儿拉在一起。“我把它们加起来，成了几个黄土星人啊？”
阿虫还没有说话，其它的小黄人儿们先喊了起来：“五个。”“不对，是七个！” “应该是五个！”“七个，你们忘了把它们算进去。”
阿叛哈哈一笑说：“你们看，它们明明不是两个黄土星人吗？怎么你们回答是五个或者七个呢？”
阿虫说：“是这样的。它们是我的爸爸和妈妈。它们两个加在一起，一共生了连我在内的五个孩子。所以有人回答五个。回答七个的是把我们的爸爸妈妈它们两个也算进 去了。”
阿叛清了清喉咙说：“同学们，朋友们，加法不应该是这样算的。我们算一加一，只是把两个东西靠在一起，并不去考虑这样作的后果的。”
小黄人儿们吵了起来：“不考虑后果？那是什么加法？”“那是短视行为！”“我们都是我们的爸爸妈妈加出来的啊。”“不考虑后果，那么我们不都没了？”“我们不赞成这样的加法！”
阿叛终于也不耐烦了。他喊起来：“你们都安静！听我说！”
大家安静了下来。
阿叛说：“数学的重要性在于我们从实际生活中，抽象出数字并进行运算。只有这样才能适用于各种各样的事物。如果我们对每一次加法的运用都要在作完加法之后再从它的后果找答案的话，那么我们每次都会得到不同的答案。那么，我们的数学还有什么用处呢。这样的数学是绝不能帮助我们作出宇宙飞船的。”
小黄人儿们似乎被阿叛的这通话给唬住了。大家都没有讲话。只有阿虫一个人低声嘀咕道：“造出了宇宙飞船也不能随便歪曲真理啊。”
阿叛没有理它。他从地上捡起一块黄色石头。这种石头到处都是，并不结实，好像就是那黄土粘起来形成的。他对小黄人儿们说：“你们看，我手上有一块石头。”他的“一块”说得很重，以示强调。他另一只手又从地上捡起另一块石头。“我这只手也有一块石头。现在我把它们加起来。你们看看共有几块石头。”他说着把；两块石头放在地上。不料他放得重了点，两块石头一下子碎成了很多小块。他心里一沉，一句骂人的话差点脱口而出。
有一个小黄人儿高兴地喊了起来：“等于许多块！我说是等于许多的吧。”
其它的小黄人儿有的点头，有的摇头，也不知道它们是在表示对还是不对。
这次是站在一边的阿蝶大笑起来。阿叛有点恼羞成怒地喊道：“这次不算。”
小黄人儿们不答应了。那个说出“许多”答案的小黄人儿叫道：“怎么又不算了？我好不容易算对了一次！”
阿叛说：“这次是我不小心。我们再来一次。”他说着又从地上捡起两块黄石头。“你们再看。现在我的每只手里有一块石头。现在我把它们放在一起。”他说着话，小心翼翼地将两块石头在地上放到一起。这次，石头没碎。“好啦，现在你们告诉我，一块石头加上一块石头是多少块？”
阿虫想了想说：“老师，我明白你的意思了。你是告诉我们：一加一，如果非常小心地加，结果等于二。”
阿叛一口气上不来，晕了过去。

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