如何看待关于 1 与 0.9999… 的大小的争论？
下面我将从几个不同的角度来详细阐述这个问题，力求全面地解答：
一、 直觉与反直觉：为何会产生疑问？
首先，我们必须承认，我们日常生活中对数字的认知和直觉，往往是基于有限的、可数的概念。
有限性思维： 当我们看到 0.9999… 时，我们会不自觉地将它理解为“非常接近 1”，但总是在 1 的“下方”。就像我们说一个人“非常接近成功”，但还没有完全成功一样。我们习惯于将无限循环小数看作是一个“过程”，而不是一个确定的“值”。
“ 빼（减）一下就知道了”的思维： 很多人会想，1 减去 0.9999… 应该会得到一个非常小的数，但这个数是什么呢？如果 1 和 0.9999… 相等，那么 1 0.9999… 应该是 0。然而，当我们尝试进行这个减法时，似乎总是在末尾出现了一个无限小的“0.000…1”的痕迹，这让直觉难以接受。
有限的“9”的对比： 我们很容易将 0.9, 0.99, 0.999 与 1 进行比较。很明显，0.9 < 1, 0.99 < 1, 0.999 < 1。我们自然而然地将这种“小于”的性质，推广到了无限个 9 的情况。
二、 严谨的数学证明：为何 1 = 0.9999…？
尽管直觉可能不一致，但在数学的世界里，有几种严格的证明方法可以清晰地表明 1 等于 0.9999…。
1. 代数方法：
这是最常见也最容易理解的证明方法之一。
设 $x = 0.9999…$
将等式两边同乘以 10：$10x = 9.9999…$
将 $10x$ 分解：$10x = 9 + 0.9999…$
我们知道 $0.9999… = x$，所以代入：$10x = 9 + x$
将 $x$ 移到等式左边：$10x x = 9$
化简：$9x = 9$
将两边同除以 9：$x = 1$
由于我们最初设 $x = 0.9999…$，所以 $0.9999… = 1$。
这个证明的关键在于，它并没有真正进行“无限减法”中的那个难以捉摸的“减去无限个0的1”。它通过代数运算，将无限循环小数的性质转化为有限的等式。
2. 分数形式的转换：
我们知道一些循环小数可以表示成分数。
我们可以将 0.9999… 理解为无限多个 $frac{9}{10^n}$ 的和，其中 $n$ 从 1 开始。这是一个无穷几何级数。
无穷几何级数的求和公式为 $S = frac{a}{1r}$，其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比，且 $|r| < 1$。
对于 $0.9999…$，我们可以将其看作 $0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …$
这个级数的首项 $a = 0.9 = frac{9}{10}$。
公比 $r = frac{0.09}{0.9} = frac{0.009}{0.09} = 0.1 = frac{1}{10}$。
由于 $|r| = |frac{1}{10}| < 1$，级数收敛，其和为：
$S = frac{frac{9}{10}}{1 frac{1}{10}} = frac{frac{9}{10}}{frac{9}{10}} = 1$
这个证明利用了无穷几何级数的概念，将无限循环小数求和，最终得到了一个确定的值 1。
3. 数轴上的位置：
我们可以将数字看作数轴上的点。
0.9 在 0 和 1 之间。
0.99 在 0 和 1 之间，并且比 0.9 更接近 1。
0.999 在 0 和 1 之间，并且比 0.99 更接近 1。
随着我们增加“9”的数量，这个点越来越靠近 1。
0.9999… 代表的是当“9”的数量趋向于无穷大时，这个数在数轴上的极限位置。
在实数系统中，1 是唯一一个比所有形如 $1 frac{1}{10^n}$（$n$ 为正整数）的数都要大的数。而 0.9999… 正是这个极限。
如果在 0.9999… 和 1 之间存在另一个数，那么根据实数的稠密性，在这个差值中也必须存在一个数。但 $1 0.9999…$ 是什么呢？如果我们能证明这个差值为零，那么它们就相等。
4. 逻辑推理：反证法（间接证明）
我们可以尝试反证法：假设 $0.9999… eq 1$。
如果 $0.9999… < 1$，那么根据实数的性质，在 0.9999… 和 1 之间必然存在一个数。
让我们设这个数是 $y$。
$0.9999… < y < 1$
那么，$1 y > 0$ 且 $y 0.9999… > 0$。
令 $d = 1 0.9999…$。我们期望 $d > 0$。
但是，根据我们之前的代数证明，我们可以推导出 $9 imes 0.9999… = 9$，进而 $0.9999… = 1$。
如果 $0.9999… = 1$，那么 $d = 1 1 = 0$。
这与我们的假设 $d > 0$ 相矛盾。
因此，我们最初的假设 "$0.9999… < 1$" 是错误的。
同理，我们也不能假设 $0.9999… > 1$。如果 $0.9999… > 1$，那么 $0.9999… 1 > 0$。但根据代数证明，$0.9999… 1 = 0$。这同样是矛盾的。
所以，唯一可能的结论是 $0.9999… = 1$。
三、 对无限的理解与数学体系的严谨性
无限不是一个“非常大的数”： 对无限的误解是争论的根源之一。无限不是一个你可以到达的终点，它是一个概念，描述了某种没有边界的量。无限循环小数 $0.9999…$ 是一个具体的数值，它是所有有限小数 $0.9, 0.99, 0.999, dots$ 的极限。
数学定义的精确性： 数学之所以强大，是因为它建立在一系列严格的定义和公理之上。在我们使用的实数系统中，小数的表示法是确定的。无限循环小数的表示法并非仅仅是“非常接近”，而是精确地代表了某个数值。
不同表示法的存在： 就像数字 3 可以表示为 $3.0, 3.00, frac{6}{2}$ 一样，1 也可以用不同的方式表示。 $0.9999…$ 是 1 的一种等价的、无限循环的表示方法。这与 $1$ 本身是同一个数值。
四、 为什么会有人坚持认为它们不相等？
尽管数学证明确凿无疑，但仍有人会坚持认为 $0.9999…$ 小于 $1$。这通常源于：
对极限概念的理解差异： 有些人可能将 $0.9999…$ 看作是“最后还有一个无限小的量”，而没有完全接受极限的概念。
计算器或计算机的局限性： 计算机和计算器只能处理有限精度的数字，它们无法真正显示和计算无限循环小数的全部。当你输入 0.9999999999999999 时，它只是一个非常接近 1 的数，而不是 0.9999… 本身。
教学方法的不同侧重： 在某些教学阶段，为了帮助学生理解“接近”的概念，可能会侧重于有限的例子。但当引入了严格的数学定义时，就应该理解到 $0.9999…$ 代表的是一个确定的值。
“非标准分析”的误解： 在某些非标准分析的理论中，确实存在“无穷小量”，但这些理论是基于标准实数轴之外的扩展，并且有严格的定义。在标准的实数理论中，$0.9999…$ 不是一个包含“无穷小”的数。
总结：
从数学的角度来看，1 和 0.9999… 是完全相等的。这个结论是基于实数系统的定义、代数运算和极限理论的严格推导。虽然我们的直觉可能会因为有限的思维模式而产生疑问，但数学的严谨性告诉我们，$0.9999…$ 就是 $1$ 的另一种精确表示。
这场争论的价值在于，它促使我们更深入地思考“无限”的概念，理解数学定义的精确性，以及不同数学表示法之间的等价性。它是一个很好的例子，说明了数学的严谨性是如何超越我们日常的直觉的。
网友意见
从点集拓扑的观点来看， 和 都有自洽性(consistency)，其中 来自标准拓扑 ，而 来自离散拓扑 ，其中
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有何区别呢？显然有 , 稍进一步就有 ，不仅如此， 比 大得多：
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这里的 是集合的势(cardinality)，等号按集合等势理解。无论在哪一种拓扑结构下， 都是度量空间(存在满足三角不等式的度量)，也都是向量空间(对有限个元素的加法和乘法封闭)，其中用到的度量可以(不唯一)是
目前为止，标准拓扑和离散拓扑还没有本质区别，因为以上的性质(三角不等式和加乘封闭性)还只是针对有限个元素，并未触及 中的(可数)无限循环。而这两个拓扑的重大区别就在于离散拓扑中的柯西序列最终只能是常数(eventually constant)，或者说只包含有限多个实数。复习一下柯西序列 在度量空间 中的定义:
可见当度量是 而不是 的时候，只要取 就总存在正整数 使得 , 因此这个柯西数列最多只有 个不同元素。于是在离散拓扑下，如果按部分和 来定义 , 那么取 就能发现
说明 甚至都不能构成柯西序列，自然不收敛，也得不到 , 也可以记作 . 更一般地，等比数列 也不能求和(除非 ). 除此之外还有很多离散拓扑与标准拓扑不兼容的性质：
| 标准拓扑(standard topology) | 离散拓扑(discrete topology) |
|---|---|
| 柯西序列可含可数无穷多个不同实数 | 柯西序列仅含有限多个不同实数 |
| 任意开覆盖都有可数子覆盖(是Lindelöf空间) | (不成立) |
| 有界闭集为紧集(Heine–Borel) | (不成立) 只有空集和有限集才是紧集 |
| 存在可数稠密子集(例如有理数集) | (不成立) 稠密子集仅有实数集本身 |
| 公比|q|<1的无穷等比数列可求和 | (不成立) 除非公比q=0，首项即为和 |
| 开区间(a, b)是连通集 | (不成立) 只有空集和单元素集才连通 |
| 实数集可被可数无穷多个紧集覆盖 | (不成立) |
| 可形成巴拿赫空间(存在范数，例如绝对值) | (不成立) |
当然，离散拓扑还是可以兼容一些代数性质的，例如域性质(加法逆元，乘法逆元，交换律)，也可以兼容度量空间的拓扑性质，但是其他的拓扑性质会非常奇怪，比如开区间 并不连通(而且充满孔洞)。
事实上，不兼容(但自洽)的公理体系之间无法从一个公理体系反驳另一个公理体系(类似欧几里德几何不能反驳非欧几何，非欧几何也不能反驳欧氏几何)。比如你提到闭区间套定理证明 , 其实已经默认了用标准拓扑来论证，而在离散拓扑下，根本没有符合条件的闭区间套，比如与 和 1相关的闭区间有 , 我们来试几个闭区间套
注意第3行闭区间 的长度/直径对所有 总是为1，不符合闭区间套定理条件，其他闭区间套的交集如果也包含 的话直径也是1，不会向0收缩，如果交集仅包含 和1其中一个，那就推不出与另一个相等。也就是说，无论从标准拓扑的哪条公理/定理出发(包括闭区间套定理，戴德金分割)，都不能推出【 与离散拓扑构成矛盾】。
所以，争论 的本质在于实数集上的拓扑到底用标准拓扑还是用离散拓扑。用离散拓扑可以获得 (至少不产生矛盾)，但是失去了研究可数无穷个不同实数构成数列的能力，并且还附带了诸多造成不便的性质(开区间都不连通，函数定义域取实数的离散拓扑则任意函数都连续)，与标准拓扑带来的实数性质相比，可以说用离散拓扑不能使实数集构成好用的拓扑空间，因此弃之不用。从离散拓扑的视角来看，也可以说是标准拓扑舍弃了大量的开集换来诸多好用的性质，使其成为数学分析的基石。
更极端的做法是在标准拓扑的基础上舍弃更多的开集，使得标准拓扑下不相等的数也相等，比如平凡拓扑 把整个实数集看成不可分割的整体，于是不光有 ，还有 ， 甚至还有一切实数皆相等。也就是说两个不同实数能不能划等号还要看用了什么拓扑结构。
只不过由于 的“出现”过于频繁，每次都提及太麻烦，反而成了隐含条件/共识，不再被提及。但其他拓扑没有这个待遇，如果要用必须明确提及。
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