有限群的群行列式因式分解后，各因式的次数是否与重数相等？
在讨论有限群的群行列式（Group Determinant）的因式分解后，各因式的次数是否与重数相等这个问题之前，我们首先需要明确什么是群行列式，以及它和群表示（Representation）之间的关联。
群行列式 (Group Determinant)
考虑一个有限群 $G$。我们可以构建一个 $|G| imes |G|$ 的矩阵，我们称之为群行列式矩阵。这个矩阵的构造方式如下：
我们给群 $G$ 的元素 $g in G$ 标上号，比如 $g_1, g_2, dots, g_{|G|}$。
群行列式矩阵 $D(G)$ 的条目由一个形式变量 $X$ 引入，具体来说，矩阵的第 $(i, j)$ 个条目是 $X_{g_i g_j^{1}}$。这里的 $X_{kl}$ 是一个变量，代表了群元素 $k$ 和 $l$ 作用的“权值”。
更常用的定义方式是，我们有一个 $|G| imes |G|$ 的矩阵 $M$，其行和列都用群 $G$ 的元素标记。矩阵的条目定义为：
$M_{g,h} = x_{gh^{1}}$
其中 $x_k$ 是与群元素 $k$ 对应的形式变量。
这个矩阵的行列式，也就是 $det(M)$，被称为群行列式。群行列式是一个关于 $|G|$ 个形式变量的多项式。
群行列式与群表示 (Group Representations)
群行列式的理论核心在于它与群的不可约表示（Irreducible Representations, IRs）的紧密联系。
每一个群 $G$ 都有一个唯一的（在同构意义下）不可约表示的完备集。设 $chi_1, chi_2, dots, chi_k$ 是群 $G$ 的不同不可约表示的特征标（Character）。
一个重要的结果是，群行列式 $D(G)$ 可以通过群的不可约表示来分解。具体来说，群行列式 $D(G)$ 可以分解为：
$$D(G) = prod_{i=1}^k left(det(chi_i(e)I sum_{g in G} x_g U_{ ho_i}(g)) ight)^{dim( ho_i)}$$
其中：
$k$ 是群 $G$ 的不可约表示的数量。
$ ho_i$ 是第 $i$ 个不可约表示。
$chi_i$ 是第 $i$ 个不可约表示的特征标。
$dim( ho_i)$ 是第 $i$ 个不可约表示的维数。
$U_{ ho_i}(g)$ 是不可约表示 $ ho_i$ 作用下的矩阵。
$I$ 是单位矩阵，其大小等于 $dim( ho_i)$。
$x_g$ 是形式变量。
这里需要注意的是，上述公式是更直接的行列式表达式。如果将群行列式定义为 $M_{g,h} = x_{gh^{1}}$，那么其分解式会涉及到更抽象的代数结构。
一种更常见的理解方式是将群行列式看作是 $|G| imes |G|$ 矩阵的行列式，其条目是 $x_{gh^{1}}$。这个行列式在某个意义下可以表示为：
$$D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$$
这里 $ ho$ 表示群 $G$ 的一个不可约表示，$ ho(g)$ 是该表示下的矩阵，$det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 是一个关于变量 $x_g$ 的多项式，被称为“线性算子”的行列式。
因式分解与重数
现在我们来讨论“因式分解后，各因式的次数是否与重数相等？”这个问题。
我们上面提到的分解式：
$$D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$$
这里的“因式”指的是 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 这一项。
“重数”指的是幂指数 $dim( ho)$。
关键在于理解 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 这个多项式本身的次数。
设 $ ho$ 是一个 $d$ 维的不可约表示，即 $dim( ho) = d$。
那么 $sum_{g in G} x_g ho(g)$ 是一个 $d imes d$ 的矩阵，其每个条目都是关于变量 $x_g$ 的线性多项式。
例如，如果 $d=2$，则 $ ho(g)$ 可以表示为：
$$ ho(g) = egin{pmatrix} a_{11}(g) & a_{12}(g) \ a_{21}(g) & a_{22}(g) end{pmatrix}$$
其中 $a_{ij}(g)$ 是复数（通常是群表示论中的元素）。
那么 $sum_{g in G} x_g ho(g)$ 是：
$$sum_{g in G} x_g ho(g) = egin{pmatrix} sum_{g in G} x_g a_{11}(g) & sum_{g in G} x_g a_{12}(g) \ sum_{g in G} x_g a_{21}(g) & sum_{g in G} x_g a_{22}(g) end{pmatrix}$$
这是一个 $2 imes 2$ 的矩阵，其每个元素都是关于 $|G|$ 个变量 $x_g$ 的线性多项式。
计算这个矩阵的行列式：
$$det egin{pmatrix} A & B \ C & D end{pmatrix} = AD BC$$
其中 $A, B, C, D$ 是关于 $x_g$ 的线性多项式。
例如，$A = sum_{g in G} x_g a_{11}(g)$。
如果 $A = c_1 x_1 + c_2 x_2 + dots + c_n x_n$，那么 $A$ 的次数是 1。
$AD$ 的次数将是 $1+1=2$（如果 $A,D$ 都是关于所有 $x_g$ 的非零线性多项式）。
因此，对于一个 $d$ 维的不可约表示 $ ho$，多项式 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数通常是 $d$。
这是因为 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 可以看作是一个 $d imes d$ 的矩阵，其 entries 是 $|G|$ 个变量的线性组合。计算这个行列式，结果将是一个关于这 $|G|$ 个变量的多项式。可以证明，这个多项式的次数恰好是 $d$。
为什么次数是 $d$？
考虑一个 $d imes d$ 的矩阵 $M$，其中 $M_{ij} = sum_{k=1}^n c_{ijk} x_k$。
$det(M)$ 是这些 $d imes d$ 元素的排列组合。最外层的结构是 $sum_{sigma in S_d} ext{sgn}(sigma) prod_{i=1}^d M_{i, sigma(i)}$。
每个 $M_{i, sigma(i)}$ 是一个线性多项式。因此，$prod_{i=1}^d M_{i, sigma(i)}$ 将是一个最多 $d$ 次的多项式（每个 $M_{i, sigma(i)}$ 贡献一个变量）。
由于这只是一个和，最终的 $det(M)$ 是关于 $x_k$ 的次数不超过 $d$ 的多项式。
而对于不可约表示，这个行列式实际上是次数恰好为 $d$ 的（除非有特殊的退化情况，但对于群行列式的标准构造，这种情况不影响论证）。
结论：
在群行列式的分解式 $D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$ 中：
因式是 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$。
因式的次数是 $dim( ho)$。
重数是 $dim( ho)$。
所以，是的，有限群的群行列式因式分解后，各因式的次数恰好等于该因式的重数。
更详细的解释和注意事项：
1. 群的阶与变量的数量： 群行列式矩阵是 $|G| imes |G|$ 的，但它的本质是一个关于 $|G|$ 个形式变量 ${x_g}_{g in G}$ 的多项式。
2. 代数性质： 这种分解是基于群表示论的深刻结果。$det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 是一个关于变量 ${x_g}$ 的齐次多项式，其次数是 $dim( ho)$。
3. “次数”的定义： 当我们说 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数是 $dim( ho)$ 时，我们指的是这个多项式关于变量 ${x_g}$ 的最高次数。
4. 唯一分解： 群行列式是一个多项式，而多项式在多项式环中（这里是关于 $|G|$ 个变量的环）是允许唯一因式分解的（在单位的意义下）。这里的因式分解是基于群的不可约表示，并且是唯一的。
5. 实际计算的复杂性： 虽然理论上存在这个分解，但实际计算出每个 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 以及它们的重数（即 $dim( ho)$）可能非常复杂，特别是对于大型或非交换群。
6. 例子：
阿贝尔群： 对于阿贝尔群，每个不可约表示都是一维的。所以 $dim( ho) = 1$ 对于所有 $ ho$。群行列式将分解为 $|G|$ 个一次多项式的乘积。
对称群 $S_3$： $S_3$ 有三个不可约表示：平凡表示（1维），符号表示（1维），以及一个2维的不可约表示。
平凡表示 $chi_1$: $dim(chi_1)=1$。
符号表示 $chi_2$: $dim(chi_2)=1$。
2维表示 $chi_3$: $dim(chi_3)=2$。
根据理论，群行列式 $D(S_3)$ 可以分解为：
$D(S_3) = (det(sum_{g in S_3} x_g ho_1(g)))^1 cdot (det(sum_{g in S_3} x_g ho_2(g)))^1 cdot (det(sum_{g in S_3} x_g ho_3(g)))^2$
这里，第一个因式的次数是1，重数是1。第二个因式的次数是1，重数是1。第三个因式的次数是2，重数是2。
总结来说，有限群的群行列式因式分解后，每一个由不可约表示 $ ho$ 贡献的因子 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数，恰好等于该不可约表示的维数 $dim( ho)$。这个维数 $dim( ho)$ 也正是这个因式在群行列式分解中的重数。因此，次数与重数是相等的。
群行列式 (Group Determinant)
考虑一个有限群 $G$。我们可以构建一个 $|G| imes |G|$ 的矩阵，我们称之为群行列式矩阵。这个矩阵的构造方式如下：
我们给群 $G$ 的元素 $g in G$ 标上号，比如 $g_1, g_2, dots, g_{|G|}$。
群行列式矩阵 $D(G)$ 的条目由一个形式变量 $X$ 引入，具体来说，矩阵的第 $(i, j)$ 个条目是 $X_{g_i g_j^{1}}$。这里的 $X_{kl}$ 是一个变量，代表了群元素 $k$ 和 $l$ 作用的“权值”。
更常用的定义方式是，我们有一个 $|G| imes |G|$ 的矩阵 $M$，其行和列都用群 $G$ 的元素标记。矩阵的条目定义为：
$M_{g,h} = x_{gh^{1}}$
其中 $x_k$ 是与群元素 $k$ 对应的形式变量。
这个矩阵的行列式，也就是 $det(M)$，被称为群行列式。群行列式是一个关于 $|G|$ 个形式变量的多项式。
群行列式与群表示 (Group Representations)
群行列式的理论核心在于它与群的不可约表示（Irreducible Representations, IRs）的紧密联系。
每一个群 $G$ 都有一个唯一的（在同构意义下）不可约表示的完备集。设 $chi_1, chi_2, dots, chi_k$ 是群 $G$ 的不同不可约表示的特征标（Character）。
一个重要的结果是，群行列式 $D(G)$ 可以通过群的不可约表示来分解。具体来说，群行列式 $D(G)$ 可以分解为：
$$D(G) = prod_{i=1}^k left(det(chi_i(e)I sum_{g in G} x_g U_{ ho_i}(g)) ight)^{dim( ho_i)}$$
其中：
$k$ 是群 $G$ 的不可约表示的数量。
$ ho_i$ 是第 $i$ 个不可约表示。
$chi_i$ 是第 $i$ 个不可约表示的特征标。
$dim( ho_i)$ 是第 $i$ 个不可约表示的维数。
$U_{ ho_i}(g)$ 是不可约表示 $ ho_i$ 作用下的矩阵。
$I$ 是单位矩阵，其大小等于 $dim( ho_i)$。
$x_g$ 是形式变量。
这里需要注意的是，上述公式是更直接的行列式表达式。如果将群行列式定义为 $M_{g,h} = x_{gh^{1}}$，那么其分解式会涉及到更抽象的代数结构。
一种更常见的理解方式是将群行列式看作是 $|G| imes |G|$ 矩阵的行列式，其条目是 $x_{gh^{1}}$。这个行列式在某个意义下可以表示为：
$$D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$$
这里 $ ho$ 表示群 $G$ 的一个不可约表示，$ ho(g)$ 是该表示下的矩阵，$det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 是一个关于变量 $x_g$ 的多项式，被称为“线性算子”的行列式。
因式分解与重数
现在我们来讨论“因式分解后，各因式的次数是否与重数相等？”这个问题。
我们上面提到的分解式：
$$D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$$
这里的“因式”指的是 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 这一项。
“重数”指的是幂指数 $dim( ho)$。
关键在于理解 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 这个多项式本身的次数。
设 $ ho$ 是一个 $d$ 维的不可约表示，即 $dim( ho) = d$。
那么 $sum_{g in G} x_g ho(g)$ 是一个 $d imes d$ 的矩阵，其每个条目都是关于变量 $x_g$ 的线性多项式。
例如，如果 $d=2$，则 $ ho(g)$ 可以表示为：
$$ ho(g) = egin{pmatrix} a_{11}(g) & a_{12}(g) \ a_{21}(g) & a_{22}(g) end{pmatrix}$$
其中 $a_{ij}(g)$ 是复数（通常是群表示论中的元素）。
那么 $sum_{g in G} x_g ho(g)$ 是：
$$sum_{g in G} x_g ho(g) = egin{pmatrix} sum_{g in G} x_g a_{11}(g) & sum_{g in G} x_g a_{12}(g) \ sum_{g in G} x_g a_{21}(g) & sum_{g in G} x_g a_{22}(g) end{pmatrix}$$
这是一个 $2 imes 2$ 的矩阵，其每个元素都是关于 $|G|$ 个变量 $x_g$ 的线性多项式。
计算这个矩阵的行列式：
$$det egin{pmatrix} A & B \ C & D end{pmatrix} = AD BC$$
其中 $A, B, C, D$ 是关于 $x_g$ 的线性多项式。
例如，$A = sum_{g in G} x_g a_{11}(g)$。
如果 $A = c_1 x_1 + c_2 x_2 + dots + c_n x_n$，那么 $A$ 的次数是 1。
$AD$ 的次数将是 $1+1=2$（如果 $A,D$ 都是关于所有 $x_g$ 的非零线性多项式）。
因此，对于一个 $d$ 维的不可约表示 $ ho$，多项式 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数通常是 $d$。
这是因为 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 可以看作是一个 $d imes d$ 的矩阵，其 entries 是 $|G|$ 个变量的线性组合。计算这个行列式，结果将是一个关于这 $|G|$ 个变量的多项式。可以证明，这个多项式的次数恰好是 $d$。
为什么次数是 $d$？
考虑一个 $d imes d$ 的矩阵 $M$，其中 $M_{ij} = sum_{k=1}^n c_{ijk} x_k$。
$det(M)$ 是这些 $d imes d$ 元素的排列组合。最外层的结构是 $sum_{sigma in S_d} ext{sgn}(sigma) prod_{i=1}^d M_{i, sigma(i)}$。
每个 $M_{i, sigma(i)}$ 是一个线性多项式。因此，$prod_{i=1}^d M_{i, sigma(i)}$ 将是一个最多 $d$ 次的多项式（每个 $M_{i, sigma(i)}$ 贡献一个变量）。
由于这只是一个和，最终的 $det(M)$ 是关于 $x_k$ 的次数不超过 $d$ 的多项式。
而对于不可约表示，这个行列式实际上是次数恰好为 $d$ 的（除非有特殊的退化情况，但对于群行列式的标准构造，这种情况不影响论证）。
结论：
在群行列式的分解式 $D(G) = prod_{ ho in ext{Irrep}(G)} (det(sum_{g in G} x_g ho(g)))^{dim( ho)}$ 中：
因式是 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$。
因式的次数是 $dim( ho)$。
重数是 $dim( ho)$。
所以，是的，有限群的群行列式因式分解后，各因式的次数恰好等于该因式的重数。
更详细的解释和注意事项：
1. 群的阶与变量的数量： 群行列式矩阵是 $|G| imes |G|$ 的，但它的本质是一个关于 $|G|$ 个形式变量 ${x_g}_{g in G}$ 的多项式。
2. 代数性质： 这种分解是基于群表示论的深刻结果。$det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 是一个关于变量 ${x_g}$ 的齐次多项式，其次数是 $dim( ho)$。
3. “次数”的定义： 当我们说 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数是 $dim( ho)$ 时，我们指的是这个多项式关于变量 ${x_g}$ 的最高次数。
4. 唯一分解： 群行列式是一个多项式，而多项式在多项式环中（这里是关于 $|G|$ 个变量的环）是允许唯一因式分解的（在单位的意义下）。这里的因式分解是基于群的不可约表示，并且是唯一的。
5. 实际计算的复杂性： 虽然理论上存在这个分解，但实际计算出每个 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 以及它们的重数（即 $dim( ho)$）可能非常复杂，特别是对于大型或非交换群。
6. 例子：
阿贝尔群： 对于阿贝尔群，每个不可约表示都是一维的。所以 $dim( ho) = 1$ 对于所有 $ ho$。群行列式将分解为 $|G|$ 个一次多项式的乘积。
对称群 $S_3$： $S_3$ 有三个不可约表示：平凡表示（1维），符号表示（1维），以及一个2维的不可约表示。
平凡表示 $chi_1$: $dim(chi_1)=1$。
符号表示 $chi_2$: $dim(chi_2)=1$。
2维表示 $chi_3$: $dim(chi_3)=2$。
根据理论，群行列式 $D(S_3)$ 可以分解为：
$D(S_3) = (det(sum_{g in S_3} x_g ho_1(g)))^1 cdot (det(sum_{g in S_3} x_g ho_2(g)))^1 cdot (det(sum_{g in S_3} x_g ho_3(g)))^2$
这里，第一个因式的次数是1，重数是1。第二个因式的次数是1，重数是1。第三个因式的次数是2，重数是2。
总结来说，有限群的群行列式因式分解后，每一个由不可约表示 $ ho$ 贡献的因子 $det(sum_{g in G} x_g ho(g))$ 的次数，恰好等于该不可约表示的维数 $dim( ho)$。这个维数 $dim( ho)$ 也正是这个因式在群行列式分解中的重数。因此，次数与重数是相等的。
网友意见
对一般的有限群，这个性质也是对的。这个定理叫 Frobenius Determinant Theorem. （感谢 @Chen Ivy 科普）
简单解释一下：令 是一个有限群。假如 有一个复表示 ，且 是一堆不可约表示 的直和。那么根据线性代数知识， , 这个线性映射就可以限制到各个不可约子表示上得到 ，且 。左右两边是对任意 都成立的等式，从而我们可以把 换成变量 仍然使得等式成立。可以证明，在 是不可约表示的时候， 也是一个不可约多项式。
下面考虑 是群代数（也就是 是 regular rep） 的情况，根据表示论知识，我们知道 会分解成不可约表示 的直和 ，其中 是共轭类个数， 。所以代入上面的行列式公式，我们就有 。（我们甚至有 其中 是群的阶数。）
最后，注意到“元素” 在基 下的矩阵的行列式就是群乘法表替换为对应变量后的矩阵的行列式 (up to a sign)，从而证明结束。
假如想知道不依赖表示论的证明，可以参考 [2].
Reference：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_determinant_theorem
[2] Dickson, Leonard Eugene. "An Elementary Exposition of Frobenius's Theory of Group-Characters and Group-Determinants."Annals of Mathematics, Second Series, 4, no. 1 (1902): 25-49.
[3] Conrad, K. (1998). On the origin of representation theory. Enseignement Mathematique, 44(1998), 1–23.
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