是否能通俗的介绍一下什么叫协变微分？
想象一下，咱们平时在平地上开车，方向盘打多少，车就往哪个方向拐，变化很直接。但如果咱们开到球面上，比如地球，情况就有点复杂了。
为什么需要“协变”？
在平坦的空间里，我们可以用简单的向量来描述一个点的方向和大小。比如，你在一个方格纸上，想描述从A点到B点的位移，直接用个箭头就行了。然后，你想知道这个向量在不同方向上的变化，比如往东边挪一点，往北边挪一点，会怎么变，也很容易。
可是在弯曲的空间里，比如你在地球表面，你现在指着北边，再往东边指，这个“东边”是什么意思？它不是一个固定的方向。因为地球是圆的，你往东走，虽然你感觉方向没变，但你的“向东”的那个方向本身，会随着你在球面上移动而改变。
如果咱们直接用平坦空间的微分方法来求向量的变化，就会出问题。就好比你拿着一把尺子在球面上量长度，尺子本身是直的，但你量出来的“直线”路径，在球面上其实是个曲线。
所以，我们需要一个更“小心”的方法来求向量的变化，这个方法要考虑到空间的弯曲。这个“小心”的方法，就是“协变微分”。
协变微分：考虑空间弯曲的微分
协变微分，顾名思义，就是“随着空间一起变化”的微分。它考虑了你在弯曲空间中移动时，你所参照的“方向”本身也在发生变化。
咱们打个比方：
平坦空间里的微分（想象成普通导数）： 就像你在一个平整的桌面上，想知道你手指在桌面上的移动速度。你往东边指，指着的是同一个“东”的方向，无论你在桌子哪个位置。
弯曲空间里的协变微分（想象成在球面上）： 就像你在地球表面，想知道你手里握着的一根“朝北”的旗杆，当你沿着一条经线往北走时，它的“朝北”这个方向相对于地球表面来说，是怎么变化的。
举个更具体的例子：
假设你在赤道上，手里拿着一根杆子，杆子的顶端指向正北。现在你沿着赤道往东走。
在平坦空间里，你的杆子指向正北，你往东走，杆子依然是指向正北。杆子的方向没变。
在球面上，你沿着赤道往东走，你“朝北”这个方向，其实是相对于你现在所在位置的“朝北”方向。当你走到下一个位置，那个新的“朝北”方向，相对于你原来的位置来说，是略微偏了一点的。
协变微分就是把这种“参照系本身的变化”也计算在内。它不仅仅看你的向量相对于你当前位置的“局部”变化，还要看这个向量在整个空间“蜿蜒曲折”的变化。
协变微分做的事情：
1. 识别“平行移动”： 在弯曲空间里，你怎么才能把一个向量从一个点“平行地”移动到另一个点？这可不是简单地把向量的每个分量加上一个差值。协变微分提供了一种方法，让你能定义一个“沿着特定路径进行的平行移动”。当你沿着一个向量场（想象成空间中处处有向量指引）“平行地”移动另一个向量时，协变微分就能告诉你在终点，这个被移动的向量相比于它在起点时的“方向”的变化。
2. 保持“几何性质”： 协变微分还有一个重要的作用，就是它能保持一些重要的几何性质。比如，如果你有一个切向量（就是你手指指向的方向），你用协变微分来求它的变化，最终结果会告诉你，这个切向量在这个过程中，有没有保持它“切”在空间上的性质。
协变微分的“数学工具”：联络数（Connection）
要实现协变微分，我们需要一个数学工具，叫做“联络数”（Connection）。你可以把它想象成一个“指导手册”，告诉你如何在这个弯曲的空间里进行“平行移动”。联络数定义了在这个空间里，向量是如何“旋转”或者“变形”的，才能算是“保持方向”。
有了联络数，我们就能定义一个叫做“协变导数”的东西。当我们对一个向量场进行协变微分时，我们实际上是在用联络数来“修正”我们对向量变化的直观理解，使得这个变化能够“正确地”反映在弯曲的空间中。
总结一下：
平坦空间：普通微分就够了，方向是固定的。
弯曲空间：需要协变微分，因为它要考虑空间本身的弯曲，以及我们用来描述方向的“参考系”也会随着空间弯曲而变化。
协变微分：就是一种在弯曲空间中，“忠实”地度量向量如何变化的方法，它会考虑到空间弯曲对方向本身的影响。
这个概念在很多领域都非常重要，比如：
广义相对论：爱因斯坦就是用协变微分来描述时空弯曲对物体运动的影响。
微分几何：研究各种形状和空间的数学分支。
所以，下次你听到“协变微分”，就把它理解成一种在“不平坦”的地方，小心翼翼地测量事物变化的方法，一种能够“与空间同调”的微分。
网友意见
我仅仅陈述我的理解.
第一部分,协变微分是什么？这很简单.
如果给定了一个矢量场(或者张量场) ,我们需要描述其的局部变化情况.对此,最简单也是最直接的思路是沿用多元函数微分学的思路,用一个合理的定义来描述其的微分,进而描述其的各方向导数,这个微分就是所谓协变微分,习惯上记为 或者 .
在很多时候,我们需要分析的对象场不存在一个大范围定义的标架——大多数时候,它们可能是局部的矢量场粘连起来的场,尤其是流形上的切矢量场.这些对象上不同地方的场之间不存在自然的等价关系,这会为我们的经典微积分的思路带来一些麻烦,实际上,我们一般会通过一些构造来实现我们的期望.
而关于其的具体构造,我们的期望集中在对其的局部性质的描写,并且让其保持与标架的选择无关,因为矢量场或张量场本身就是独立于标架选择的不变对象或者绝对对象.
关于这两点要求种的前者,我们是通过要求其满足Leibniz律(以及函数的微分本身的局部性)来实现的,也即要求协变微分应当满足: 这个定义实际上兼有容许方向导数的考量.如何定义方向导数？我们的思路是 关于上式中的偏导的作用规则,参考上式右边即可.而沿着各坐标轴的方向的方向导数即协变导数.
而对两点要求的第二点,我们引出了各标架的联络系数以及其的变换关系,这些联络系数一般记作 .比如对于切标架 (注意,这个标架是坐标系给出的),我们要求联络系数满足: 而联络系数的变换关系即来自我们要求的不变性,即在上式中代入变换,再用前文要求的Leibniz律即可导出联络系数的变换关系:
第二部分,关于协变:
对协变微分的协变的描述可能不太恰当,因为协变微分本身是绝对的或者说不变的,其与标架无关,因此协变微分又称为不变微分.当然,说其是协变的也没有问题,不过,与矢量的分量不同,其既是协变量,也是逆变量.而协变导数 的确是协变的,因为其要与逆变标架 组合成为 才能成为不变量.
关于什么是协变,我们来考虑默认为协变基底的标架 ,如果我们定义了标架变换 ,具体形式的则是 ,那么就有逆变基的变换: .当变换复合时,即 ,应当有: 这便是协变与逆变的区别之一,他们的复合顺序是相反的.
一般来说(这些描述,我已经尽量通俗化了),协变指的是对于一个描述变换的定义了复合的代数 (在这里即坐标覆盖的变换),指定了一个变换函数 ,其中 是一个定义了复合的变换代数(在这里即 或者标架的变换,但事实上这不必是群),变换函数满足: 这一变换函数称为协变的,协变变换函数的作用对象称为协变对象.而逆变则是反过来的顺序,即 这一变换函数则称为逆变的,逆变函数的作用对象称为逆变对象.
更直接的说法是,协变指的是协变函子的目标范畴中的对象与态射相对于出发范畴的关系,而逆变则是逆变函子的目标范畴中的对象与态射相对于出发范畴的关系.(全是废话)
至于协变导数的协变性,这就很显著了,因为: 其中协变性的切标架 线性地作用在不变的协变微分上,自然其就是协变量了.
而协变微分的协变性和逆变性则有些摆烂了,因为可以理解成无论坐标覆盖如何变换,作用到协变微分所属的空间上的变换都是恒同变换,自然既满足协变又满足逆变.
(差不多就这样,逃)
(补充:各变换总是可逆的变换函数中协变和逆变其实没什么本质区别(大概),对其的描述很大程度上是由于习惯而沿用了之前的用语,就比如这里默认了某些东西才导致了协变与逆变的区别,修改这些默认的东西就可以将协变对象和逆变对象对换(比如在某个地方取反向范畴...),逃)
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