原命题与逆否命题真假性一定相同吗？
是的，原命题和它的逆否命题的真假性一定相同。这是一个在逻辑学中非常基础且重要的概念。下面我将详细解释原因。
1. 定义：什么是原命题和逆否命题？
首先，我们需要明确什么是原命题和逆否命题。我们通常用“如果 P，那么 Q”（记作 P → Q）来表示一个条件命题。
原命题 (Original Proposition): “如果 P，那么 Q” (P → Q)
逆命题 (Converse Proposition): “如果 Q，那么 P” (Q → P)
否命题 (Inverse Proposition): “如果非 P，那么非 Q” (¬P → ¬Q)
逆否命题 (Contrapositive Proposition): “如果非 Q，那么非 P” (¬Q → ¬P)
其中，`P` 是前件（或条件），`Q` 是后件（或结论）。`¬P` 表示 P 的否定，`¬Q` 表示 Q 的否定。
2. 为什么原命题和逆否命题真假性相同？
我们可以通过逻辑推理和真值表来证明这一点。
方法一：逻辑推理 (基于蕴含的定义)
条件命题 `P → Q` 的意思是：“不可能出现 P 为真而 Q 为假的情况”。换句话说，只要 P 为真，那么 Q 也必然为真。
现在我们来看看逆否命题 `¬Q → ¬P`。它的意思是：“不可能出现 ¬Q 为真而 ¬P 为假的情况”。
如果 `¬Q` 为真，那么 `Q` 就为假。
如果 `¬P` 为假，那么 `P` 就为真。
所以，逆否命题 `¬Q → ¬P` 的意思是：“不可能出现 Q 为假而 P 为真的情况”。
比较一下：
原命题 `P → Q` 的意思是：不可能 (P 真 且 Q 假)。
逆否命题 `¬Q → ¬P` 的意思是：不可能 (¬Q 真 且 ¬P 假) <=> 不可能 (Q 假 且 P 真)。
这两句话表达的意思是完全一样的！它们都描述了同一种“不可能发生的组合”，即“前件为真而后果为假”的情况。
举个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它能被 2 整除 (Q)。 (偶数 ⇒ 能被2整除)
这个命题是真的。因为我们不能找到一个偶数却不能被 2 整除。
逆否命题: 如果一个数不能被 2 整除 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (不能被2整除 ⇒ 不是偶数)
这个命题也是真的。不能被 2 整除的数自然就不是偶数，它们是奇数。
再看一个假命题的例子：
原命题: 如果一个数是大于 10 的质数 (P)，那么它一定是奇数 (Q)。 (大于10质数 ⇒ 是奇数)
这个命题是假的。因为存在一个数 11，它大于 10 且是质数，但不是奇数（实际上 11 确实是奇数，我这里举的例子可以换成：如果一个数是大于10的偶数，那么它是奇数。这是个假命题）。
为了更好的说明，我们换个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它是 4 的倍数 (Q)。 (偶数 ⇒ 是4的倍数)
这个命题是假的，因为 6 是偶数，但不是 4 的倍数。
逆否命题: 如果一个数不是 4 的倍数 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (不是4的倍数 ⇒ 不是偶数)
这个命题也是假的。因为 6 不是 4 的倍数，但它却是偶数。
可以看到，原命题为假，其逆否命题也为假。
方法二：真值表 (Truth Table)
我们可以通过真值表来严格证明这一点。条件命题 `P → Q` 当且仅当 `P` 为真且 `Q` 为假时为假，其他情况都为真。
| P | Q | ¬P | ¬Q | P → Q (原命题) | ¬Q → ¬P (逆否命题) |
| : | : | : | : | : | : |
| 真 (T) | 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) |
| 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) |
| 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) |
| 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) | 真 (T) | 真 (T) |
分析真值表：
观察真值表中的“P → Q (原命题)”列和“¬Q → ¬P (逆否命题)”列。你会发现，这两列的真值是完全一致的。
当原命题为真时，逆否命题也为真。
当原命题为假时，逆否命题也为假。
3. 与逆命题和否命题的区别
很多人会把原命题和逆否命题的等价性，与逆命题和否命题的等价性混淆。
原命题 (P → Q) 与逆否命题 (¬Q → ¬P) 是逻辑等价的，真假性一定相同。
逆命题 (Q → P) 与否命题 (¬P → ¬Q) 也是逻辑等价的，真假性一定相同。
但是，原命题的真假性不一定和逆命题或否命题相同。
例子回顾：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它能被 2 整除 (Q)。 (P → Q) 真
逆命题: 如果一个数能被 2 整除 (Q)，那么它是偶数 (P)。 (Q → P) 真
否命题: 如果一个数不是偶数 (¬P)，那么它不能被 2 整除 (¬Q)。 (¬P → ¬Q) 真
逆否命题: 如果一个数不能被 2 整除 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (¬Q → ¬P) 真
在这个例子中，原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真的。
再看一个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它是 4 的倍数 (Q)。 (P → Q) 假 (例如 6)
逆命题: 如果一个数是 4 的倍数 (Q)，那么它是偶数 (P)。 (Q → P) 真 (任何 4 的倍数都是偶数)
否命题: 如果一个数不是偶数 (¬P)，那么它不是 4 的倍数 (¬Q)。 (¬P → ¬Q) 真 (任何奇数都不是 4 的倍数)
逆否命题: 如果一个数不是 4 的倍数 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (¬Q → ¬P) 假 (例如 6)
在这个例子中：
原命题为假，逆否命题也为假。
逆命题为真，否命题也为真。
原命题 (假) 与逆命题 (真) 真假性不同。
总结：
原命题和逆否命题之间的逻辑关系被称为“互为逆否”或“对偶关系”。它们之所以真假性一定相同，是因为它们描述了同一个事实的两种等价表达方式：
原命题 (P → Q) 实际上是在说：“P 的真实性蕴含着 Q 的真实性”。
逆否命题 (¬Q → ¬P) 实际上是在说：“Q 的虚假意味着 P 的虚假”。
这两个陈述是等价的。如果 P 的真就一定能导出 Q 的真，那么反过来，如果 Q 是假的，那么 P 也必然是假的（否则 P 为真而 Q 为假，就违背了原命题）。
因此，原命题和逆否命题的真假性是一定相同的。这是逻辑推理中的一个强大工具，可以用来证明或理解命题。
1. 定义：什么是原命题和逆否命题？
首先，我们需要明确什么是原命题和逆否命题。我们通常用“如果 P，那么 Q”（记作 P → Q）来表示一个条件命题。
原命题 (Original Proposition): “如果 P，那么 Q” (P → Q)
逆命题 (Converse Proposition): “如果 Q，那么 P” (Q → P)
否命题 (Inverse Proposition): “如果非 P，那么非 Q” (¬P → ¬Q)
逆否命题 (Contrapositive Proposition): “如果非 Q，那么非 P” (¬Q → ¬P)
其中，`P` 是前件（或条件），`Q` 是后件（或结论）。`¬P` 表示 P 的否定，`¬Q` 表示 Q 的否定。
2. 为什么原命题和逆否命题真假性相同？
我们可以通过逻辑推理和真值表来证明这一点。
方法一：逻辑推理 (基于蕴含的定义)
条件命题 `P → Q` 的意思是：“不可能出现 P 为真而 Q 为假的情况”。换句话说，只要 P 为真，那么 Q 也必然为真。
现在我们来看看逆否命题 `¬Q → ¬P`。它的意思是：“不可能出现 ¬Q 为真而 ¬P 为假的情况”。
如果 `¬Q` 为真，那么 `Q` 就为假。
如果 `¬P` 为假，那么 `P` 就为真。
所以，逆否命题 `¬Q → ¬P` 的意思是：“不可能出现 Q 为假而 P 为真的情况”。
比较一下：
原命题 `P → Q` 的意思是：不可能 (P 真 且 Q 假)。
逆否命题 `¬Q → ¬P` 的意思是：不可能 (¬Q 真 且 ¬P 假) <=> 不可能 (Q 假 且 P 真)。
这两句话表达的意思是完全一样的！它们都描述了同一种“不可能发生的组合”，即“前件为真而后果为假”的情况。
举个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它能被 2 整除 (Q)。 (偶数 ⇒ 能被2整除)
这个命题是真的。因为我们不能找到一个偶数却不能被 2 整除。
逆否命题: 如果一个数不能被 2 整除 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (不能被2整除 ⇒ 不是偶数)
这个命题也是真的。不能被 2 整除的数自然就不是偶数，它们是奇数。
再看一个假命题的例子：
原命题: 如果一个数是大于 10 的质数 (P)，那么它一定是奇数 (Q)。 (大于10质数 ⇒ 是奇数)
这个命题是假的。因为存在一个数 11，它大于 10 且是质数，但不是奇数（实际上 11 确实是奇数，我这里举的例子可以换成：如果一个数是大于10的偶数，那么它是奇数。这是个假命题）。
为了更好的说明，我们换个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它是 4 的倍数 (Q)。 (偶数 ⇒ 是4的倍数)
这个命题是假的，因为 6 是偶数，但不是 4 的倍数。
逆否命题: 如果一个数不是 4 的倍数 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (不是4的倍数 ⇒ 不是偶数)
这个命题也是假的。因为 6 不是 4 的倍数，但它却是偶数。
可以看到，原命题为假，其逆否命题也为假。
方法二：真值表 (Truth Table)
我们可以通过真值表来严格证明这一点。条件命题 `P → Q` 当且仅当 `P` 为真且 `Q` 为假时为假，其他情况都为真。
| P | Q | ¬P | ¬Q | P → Q (原命题) | ¬Q → ¬P (逆否命题) |
| : | : | : | : | : | : |
| 真 (T) | 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) |
| 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) |
| 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) |
| 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) | 真 (T) | 真 (T) |
分析真值表：
观察真值表中的“P → Q (原命题)”列和“¬Q → ¬P (逆否命题)”列。你会发现，这两列的真值是完全一致的。
当原命题为真时，逆否命题也为真。
当原命题为假时，逆否命题也为假。
3. 与逆命题和否命题的区别
很多人会把原命题和逆否命题的等价性，与逆命题和否命题的等价性混淆。
原命题 (P → Q) 与逆否命题 (¬Q → ¬P) 是逻辑等价的，真假性一定相同。
逆命题 (Q → P) 与否命题 (¬P → ¬Q) 也是逻辑等价的，真假性一定相同。
但是，原命题的真假性不一定和逆命题或否命题相同。
例子回顾：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它能被 2 整除 (Q)。 (P → Q) 真
逆命题: 如果一个数能被 2 整除 (Q)，那么它是偶数 (P)。 (Q → P) 真
否命题: 如果一个数不是偶数 (¬P)，那么它不能被 2 整除 (¬Q)。 (¬P → ¬Q) 真
逆否命题: 如果一个数不能被 2 整除 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (¬Q → ¬P) 真
在这个例子中，原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真的。
再看一个例子：
原命题: 如果一个数是偶数 (P)，那么它是 4 的倍数 (Q)。 (P → Q) 假 (例如 6)
逆命题: 如果一个数是 4 的倍数 (Q)，那么它是偶数 (P)。 (Q → P) 真 (任何 4 的倍数都是偶数)
否命题: 如果一个数不是偶数 (¬P)，那么它不是 4 的倍数 (¬Q)。 (¬P → ¬Q) 真 (任何奇数都不是 4 的倍数)
逆否命题: 如果一个数不是 4 的倍数 (¬Q)，那么它不是偶数 (¬P)。 (¬Q → ¬P) 假 (例如 6)
在这个例子中：
原命题为假，逆否命题也为假。
逆命题为真，否命题也为真。
原命题 (假) 与逆命题 (真) 真假性不同。
总结：
原命题和逆否命题之间的逻辑关系被称为“互为逆否”或“对偶关系”。它们之所以真假性一定相同，是因为它们描述了同一个事实的两种等价表达方式：
原命题 (P → Q) 实际上是在说：“P 的真实性蕴含着 Q 的真实性”。
逆否命题 (¬Q → ¬P) 实际上是在说：“Q 的虚假意味着 P 的虚假”。
这两个陈述是等价的。如果 P 的真就一定能导出 Q 的真，那么反过来，如果 Q 是假的，那么 P 也必然是假的（否则 P 为真而 Q 为假，就违背了原命题）。
因此，原命题和逆否命题的真假性是一定相同的。这是逻辑推理中的一个强大工具，可以用来证明或理解命题。
网友意见
预备知识
设系统 内的公理集 为：
其中 ， 和 是合式公式。
系统 只有一条推理规则，称为分离规则：
从 和 可以推出 。
证明
定理（演绎定理）
为公式集， 当且仅当
证明：
运用归纳法证明，过程就不写了，就说说需要证明的各种情况：
- 若 或 或 ，这三种情况都是显然的，最后一种运用公理 即可证明；
- 否则，设 为从 到 的一个推演序列，其中 ，于是我们可以不断地使用分离规则，最终得到 ；
显然。
推论（逆否命题）
当且仅当
证明：由演绎定理可知：
重言蕴含 ，使用公理
又 重言蕴含 ，故
由分离规则即得：
最后由演绎定理得
参考文献：
《数理逻辑证明及其限度》
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是的，原命题和它的逆否命题的真假性一定相同。这是一个在逻辑学中非常基础且重要的概念。下面我将详细解释原因。1. 定义：什么是原命题和逆否命题？首先，我们需要明确什么是原命题和逆否命题。我们通常用“如果 P，那么 Q”（记作 P → Q）来表示一个条件命题。 原命题 (Original Propo............. -
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