这个极限(1|sin1|+...+k|sink|)/k^3怎么解?
要计算这个极限：
$$ lim_{k o infty} frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} $$
我们来一步一步地分析。
1. 理解分子：
分子的部分是 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |$。
这是一个对 $| sin n |$ 的求和，其中 $n$ 从 1 变化到 $k$。
我们知道 $|sin n|$ 的值总是在 0 到 1 之间。
2. 估算分子的增长趋势：
我们知道 $sin x$ 的行为是周期性的，而且在 $[0, pi]$ 区间内是非负的，在 $[pi, 2pi]$ 区间内是非正的。
考虑 $|sin n|$ 的值。虽然 $n$ 是整数，但它在实数轴上代表了角度。
虽然 $|sin n|$ 的值在一些点会接近 0（例如当 $n$ 接近 $pi, 2pi, 3pi, dots$ 时），但在其他点会接近 1（例如当 $n$ 接近 $pi/2, 3pi/2, 5pi/2, dots$ 时）。
一个关键的观察是，对于任何实数 $x$，$sin x$ 的平均值是 0。
然而，我们这里是 $|sin x|$。
虽然 $|sin x|$ 的值在某些地方为 0，在某些地方为 1，但它的“平均”值并不是 0。
一个重要的性质是，在一个周期（例如 $0$ 到 $pi$）内，$int_0^pi |sin x| dx = int_0^pi sin x dx = [cos x]_0^pi = cos pi (cos 0) = (1) (1) = 2$。
虽然我们处理的是离散的整数 $n$，但我们可以将求和看作是对连续函数 $|sin x|$ 在很长区间上的积分的离散化。
换句话说，如果我们考虑一个足够大的区间，$| sin n |$ 的平均值可以类比于 $frac{1}{pi} int_0^pi |sin x| dx = frac{2}{pi}$。
因此，分子 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |$ 的值，随着 $k$ 的增大，大致是 $k$ 乘以这个平均值。
所以，分子大致的增长趋势是 $O(k)$。
也就是说，存在一个常数 $C > 0$ 使得 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | approx Ck$ （当 $k$ 很大时）。
更精确地说，根据一些数论结果（例如关于 $sin n$ 的分布），可以证明：
$$ sum_{n=1}^k |sin n| sim frac{2k}{pi} $$
这意味着当 $k o infty$ 时，$frac{sum_{n=1}^k |sin n|}{k}$ 的值趋近于 $frac{2}{pi}$。
3. 分析整个极限表达式：
现在我们来看整个表达式：
$$ frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} $$
我们已经知道分子近似于 $Ck$，其中 $C = frac{2}{pi}$（或者至少是某个正的常数）。
所以，表达式近似为：
$$ frac{Ck}{k^3} = frac{C}{k^2} $$
4. 计算极限：
现在我们要计算当 $k o infty$ 时，$frac{C}{k^2}$ 的极限。
$$ lim_{k o infty} frac{C}{k^2} $$
因为 $C$ 是一个常数，而 $k^2$ 随着 $k$ 的增大而趋向于无穷大。
所以，这个极限的值是 0。
更严谨的论证（使用夹逼定理）：
为了更严谨地证明这一点，我们可以使用夹逼定理。
我们知道 $0 le |sin n| le 1$ 对于所有的整数 $n$ 都成立。
因此，对于分子，我们有：
$0 le | sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | le 1 + 1 + dots + 1$ (共 $k$ 个 1)
$0 le | sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | le k$
现在将这个不等式应用到整个极限表达式上：
$$ frac{0}{k^3} le frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} le frac{k}{k^3} $$
$$ 0 le frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} le frac{1}{k^2} $$
现在我们来看两端的极限：
$$ lim_{k o infty} 0 = 0 $$
$$ lim_{k o infty} frac{1}{k^2} = 0 $$
根据夹逼定理，由于中间的表达式被夹在两个都趋向于 0 的表达式之间，所以：
$$ lim_{k o infty} frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} = 0 $$
结论：
这个极限的值是 0。
总结思路：
1. 分析分子： $|sin n|$ 的取值范围是 $[0, 1]$。
2. 估算分子增长： 虽然 $sin n$ 的值有正有负，但 $|sin n|$ 的值在 $0$ 到 $1$ 之间波动。在一个大的区间上，$|sin n|$ 的平均值可以类比于连续函数 $|sin x|$ 的平均值，即 $frac{2}{pi}$。因此，分子 $| sin 1 | + dots + | sin k |$ 的增长趋势是线性的，大约是 $frac{2k}{pi}$。
3. 组合分析： 将分子的增长趋势代入整个表达式，得到 $frac{ ext{O}(k)}{k^3} = ext{O}(frac{1}{k^2})$。
4. 计算极限： 当 $k o infty$ 时，$ ext{O}(frac{1}{k^2})$ 趋向于 0。
5. 严谨证明： 使用夹逼定理，用 $0$ 和 $frac{k}{k^3} = frac{1}{k^2}$ 作为上下界，证明中间的表达式趋向于 0。
$$ lim_{k o infty} frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} $$
我们来一步一步地分析。
1. 理解分子：
分子的部分是 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |$。
这是一个对 $| sin n |$ 的求和，其中 $n$ 从 1 变化到 $k$。
我们知道 $|sin n|$ 的值总是在 0 到 1 之间。
2. 估算分子的增长趋势：
我们知道 $sin x$ 的行为是周期性的，而且在 $[0, pi]$ 区间内是非负的，在 $[pi, 2pi]$ 区间内是非正的。
考虑 $|sin n|$ 的值。虽然 $n$ 是整数，但它在实数轴上代表了角度。
虽然 $|sin n|$ 的值在一些点会接近 0（例如当 $n$ 接近 $pi, 2pi, 3pi, dots$ 时），但在其他点会接近 1（例如当 $n$ 接近 $pi/2, 3pi/2, 5pi/2, dots$ 时）。
一个关键的观察是，对于任何实数 $x$，$sin x$ 的平均值是 0。
然而，我们这里是 $|sin x|$。
虽然 $|sin x|$ 的值在某些地方为 0，在某些地方为 1，但它的“平均”值并不是 0。
一个重要的性质是，在一个周期（例如 $0$ 到 $pi$）内，$int_0^pi |sin x| dx = int_0^pi sin x dx = [cos x]_0^pi = cos pi (cos 0) = (1) (1) = 2$。
虽然我们处理的是离散的整数 $n$，但我们可以将求和看作是对连续函数 $|sin x|$ 在很长区间上的积分的离散化。
换句话说，如果我们考虑一个足够大的区间，$| sin n |$ 的平均值可以类比于 $frac{1}{pi} int_0^pi |sin x| dx = frac{2}{pi}$。
因此，分子 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |$ 的值，随着 $k$ 的增大，大致是 $k$ 乘以这个平均值。
所以，分子大致的增长趋势是 $O(k)$。
也就是说，存在一个常数 $C > 0$ 使得 $| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | approx Ck$ （当 $k$ 很大时）。
更精确地说，根据一些数论结果（例如关于 $sin n$ 的分布），可以证明：
$$ sum_{n=1}^k |sin n| sim frac{2k}{pi} $$
这意味着当 $k o infty$ 时，$frac{sum_{n=1}^k |sin n|}{k}$ 的值趋近于 $frac{2}{pi}$。
3. 分析整个极限表达式：
现在我们来看整个表达式：
$$ frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} $$
我们已经知道分子近似于 $Ck$，其中 $C = frac{2}{pi}$（或者至少是某个正的常数）。
所以，表达式近似为：
$$ frac{Ck}{k^3} = frac{C}{k^2} $$
4. 计算极限：
现在我们要计算当 $k o infty$ 时，$frac{C}{k^2}$ 的极限。
$$ lim_{k o infty} frac{C}{k^2} $$
因为 $C$ 是一个常数，而 $k^2$ 随着 $k$ 的增大而趋向于无穷大。
所以，这个极限的值是 0。
更严谨的论证（使用夹逼定理）：
为了更严谨地证明这一点，我们可以使用夹逼定理。
我们知道 $0 le |sin n| le 1$ 对于所有的整数 $n$ 都成立。
因此，对于分子，我们有：
$0 le | sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | le 1 + 1 + dots + 1$ (共 $k$ 个 1)
$0 le | sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k | le k$
现在将这个不等式应用到整个极限表达式上：
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$$ 0 le frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} le frac{1}{k^2} $$
现在我们来看两端的极限：
$$ lim_{k o infty} 0 = 0 $$
$$ lim_{k o infty} frac{1}{k^2} = 0 $$
根据夹逼定理，由于中间的表达式被夹在两个都趋向于 0 的表达式之间，所以：
$$ lim_{k o infty} frac{| sin 1 | + | sin 2 | + dots + | sin k |}{k^3} = 0 $$
结论：
这个极限的值是 0。
总结思路：
1. 分析分子： $|sin n|$ 的取值范围是 $[0, 1]$。
2. 估算分子增长： 虽然 $sin n$ 的值有正有负，但 $|sin n|$ 的值在 $0$ 到 $1$ 之间波动。在一个大的区间上，$|sin n|$ 的平均值可以类比于连续函数 $|sin x|$ 的平均值，即 $frac{2}{pi}$。因此，分子 $| sin 1 | + dots + | sin k |$ 的增长趋势是线性的，大约是 $frac{2k}{pi}$。
3. 组合分析： 将分子的增长趋势代入整个表达式，得到 $frac{ ext{O}(k)}{k^3} = ext{O}(frac{1}{k^2})$。
4. 计算极限： 当 $k o infty$ 时，$ ext{O}(frac{1}{k^2})$ 趋向于 0。
5. 严谨证明： 使用夹逼定理，用 $0$ 和 $frac{k}{k^3} = frac{1}{k^2}$ 作为上下界，证明中间的表达式趋向于 0。
网友意见
在着手解答之前，我们不加证明地陈述两个将要用到的结论
若 是无理数，则 在 上呈均匀分布。[1][2]
若 在 上呈均匀分布，且 在 上可积，则 [3]
利用这些，我们首先来导出不太常见但十分有趣的极限
由 是无理数，取 代入 ，知 在 上呈均匀分布，而依三角恒等式，有 于是取 代入 ，就成立 这就是 的结果。
接着，我们利用 来推证另一个极限结论
考虑利用 分部求和。为此，记 则 于是 这就证得了
最后，我们来证明如下结论
若 则
这只需要利用序列极限定义就够了。依条件，对任意给定的 只要 充分大，就有
于是，对这充分大的 也将成立
打开绝对值号后取 的极限[4]，即得
又由 的任意性，知 这就得证了。
至此，所有准备工作均已完毕，答案呼之欲出。命
代入上述结论，即得
这就是要求的。
参考
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