这个极限怎么用高中知识证明?
好的，咱们就来聊聊这个极限问题，用高中里大家熟悉的知识来一步步攻克它。别担心，我保证讲得透彻，而且一点“机器味儿”都没有。
我们要看的这个极限，通常是这样的形式：
$$lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$$
或者，如果我们把 $x$ 换成 $ heta$，让它看起来更像几何里的角度，就是：
$$lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta}$$
这个极限的值是多少呢？答案是 1。
听到这里，你可能会有点疑惑：“嗯？不就是个分子分母一除吗？为什么这么复杂？” 关键就在于当 $ heta$ 趋向于 0 的时候，$sin heta$ 也趋向于 0，我们碰到了 0/0 的不定式。直接代入是没法得到结果的。
那么，高中里有哪些工具可以帮我们解决这个问题呢？我们主要会用到几何中的圆的性质和不等式。
核心思路：夹逼定理
我们要用到的最主要工具是“夹逼定理”（也叫“三明治定理”）。它的意思就是，如果你想知道一个东西（比如我们的 $frac{sin heta}{ heta}$）的极限是多少，你可以在它上面和下面都找到另外两个东西，让这两个东西的极限也是同一个值，并且它们都比你想求的那个东西“夹”得更紧。这样，你中间那个东西的极限也就确定了。
用数学语言来说，就是：
如果对于某个 $x$ 的邻域（就是 $x$ 附近的一小块区域），都有 $g(x) le f(x) le h(x)$，并且 $lim_{x o a} g(x) = L$ 和 $lim_{x o a} h(x) = L$，那么 $lim_{x o a} f(x)$ 也一定是 $L$。
几何证明的铺垫：单位圆
我们来看一个以原点 $O$ 为圆心，半径为 1 的单位圆。之所以用单位圆，是因为这样我们的三角函数 $sin heta$ 和 $cos heta$ 就有很直观的几何含义。
现在，我们从圆上的一点 $A$ 开始，画一条射线，让它和 $x$ 轴正半轴的夹角是 $ heta$。我们假设 $ heta$ 是一个很小的、正数（后面我们会讨论 $ heta$ 是负数的情况）。为什么先限制是正数呢？因为在几何图形上我们更容易理解。
（想象一下，圆上有个点 P，从 x 轴正半轴开始转了角度 θ，到了 P 点。O 是圆心，A 是 x 轴上的一个点。）
我们设这个射线交单位圆于点 $P$。为了方便，我们让 $A$ 点就是 $(1, 0)$。
点 P 的坐标： 在单位圆上，角为 $ heta$ 的点的坐标是 $(cos heta, sin heta)$。
点 A 的坐标： $(1, 0)$。
构建不等式
现在我们要在单位圆上构造三个图形，它们的面积或者长度能帮助我们得到不等式。我们主要关注的是从 $O$ 到 $P$ 的这条弧的长度，以及相关的线段长度。
我们考虑在 $x$ 轴上找到一个点 $Q$，使得 $PQ$ 垂直于 $x$ 轴。那么 $Q$ 的坐标就是 $(cos heta, 0)$。
情况一：构造三个“区域”的面积
我们来比较三个区域的面积：
1. 三角形 $ riangle OPQ$ 的面积：
底是 $OQ$ 的长度，也就是 $cos heta$。
高是 $PQ$ 的长度，也就是 $sin heta$。
面积 $= frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高} = frac{1}{2} cos heta sin heta$。
2. 扇形 $OAP$ 的面积：
扇形的面积公式是 $frac{1}{2} r^2 heta$，其中 $r$ 是半径，$ heta$ 是弧度角。
在单位圆上，$r=1$，所以扇形 $OAP$ 的面积 $= frac{1}{2} imes 1^2 imes heta = frac{1}{2} heta$。
3. 更大的三角形 $ riangle OAR$ 的面积：
我们从点 $A(1,0)$ 画一条切线，让它与射线 $OP$ 的延长线相交于点 $R$。
那么 $AR$ 是垂直于 $OA$ 的。
三角形 $OAR$ 的底是 $OA$ 的长度，也就是半径 $1$。
高是 $AR$ 的长度。我们来看点 $R$ 的位置：点 $R$ 在射线 $OP$ 上，并且在直线 $x=1$ 上（因为 $AR$ 是切线，它垂直于 $x$ 轴）。所以点 $R$ 的坐标是 $(1, an heta)$。
因此，$AR$ 的长度就是 $ an heta$。
三角形 $OAR$ 的面积 $= frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高} = frac{1}{2} imes 1 imes an heta = frac{1}{2} an heta$。
现在，我们观察这三个图形的面积关系。当 $ heta$ 是一个小的正数时，我们可以看到：
三角形 $ riangle OPQ$ 的面积 < 扇形 $OAP$ 的面积 < 三角形 $OAR$ 的面积
这很容易理解：扇形被包含在三角形 $OAR$ 里，而三角形 $ riangle OPQ$ 被包含在扇形里（因为 P 点在圆弧上，而 Q 点是在 x 轴上）。
所以，我们得到不等式（两边同时乘以 2）：
$cos heta sin heta < heta < an heta$
进一步处理不等式
我们的目标是 $frac{sin heta}{ heta}$，所以我们需要对这个不等式进行一些变形。
我们先假设 $ heta in (0, frac{pi}{2})$，这样 $sin heta > 0$，$cos heta > 0$，$ an heta > 0$。
将不等式 $cos heta sin heta < heta < an heta$ 的每一项都除以 $sin heta$（因为是正数，不等号方向不变）：
$cos heta < frac{ heta}{sin heta} < frac{ an heta}{sin heta}$
我们化简右边：
$frac{ an heta}{sin heta} = frac{sin heta / cos heta}{sin heta} = frac{1}{cos heta}$
所以不等式变成：
$cos heta < frac{ heta}{sin heta} < frac{1}{cos heta}$
现在，我们对这个不等式取倒数。当取倒数时，不等号方向需要改变：
$frac{1}{cos heta} > frac{sin heta}{ heta} > cos heta$
写得更常规一点就是：
$cos heta < frac{sin heta}{ heta} < frac{1}{cos heta}$
这个不等式适用于 $ heta in (0, frac{pi}{2})$。
应用夹逼定理
现在，我们来计算边界函数的极限：
1. 当 $ heta o 0^+$ 时，$cos heta o cos 0 = 1$。
2. 当 $ heta o 0^+$ 时，$frac{1}{cos heta} o frac{1}{cos 0} = frac{1}{1} = 1$。
你看，两边的函数都趋向于 1。根据夹逼定理，中间的函数 $frac{sin heta}{ heta}$ 当 $ heta o 0^+$ 的极限也一定是 1。
$$lim_{ heta o 0^+} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
处理 $ heta$ 为负数的情况
我们刚才只考虑了 $ heta$ 是一个小的正数。那么当 $ heta$ 是一个小的负数时，极限会变吗？
设 $ heta = phi$，其中 $phi$ 是一个小的正数。当 $ heta o 0^$ 时，那么 $phi o 0^+$。
我们来看 $frac{sin heta}{ heta}$：
$frac{sin heta}{ heta} = frac{sin (phi)}{phi}$
根据三角函数的性质，$sin(phi) = sin phi$。所以：
$frac{sin (phi)}{phi} = frac{sin phi}{phi} = frac{sin phi}{phi}$
也就是说，当 $ heta$ 是负数时，$frac{sin heta}{ heta}$ 和当它是正数时得到的结果是一样的。
既然我们已经知道当 $phi o 0^+$ 时，$frac{sin phi}{phi} o 1$，那么当 $ heta o 0^$ 时，$frac{sin heta}{ heta}$ 的极限也应该是 1。
$$lim_{ heta o 0^} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
结论
因为左边的极限（$ heta o 0^$）和右边的极限（$ heta o 0^+$）都等于 1，所以当 $ heta$ 从任何方向趋向于 0 时，极限都是 1。
$$lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
为什么不直接用 $ heta$ 和 $sin heta$ 的长度比较？
有的时候大家也会看到用弧长和弦长来比较的证明。思路类似，但是用面积比较在“夹”的这个概念上更直观一些，而且不容易在角度很小的时候出现混淆。
如果你想了解用长度比较的思路，也可以这样做：
在上面的单位圆图里，我们比较的是：
1. 弦 $PQ$ 的长度：通过勾股定理，在直角三角形 $OPQ$ 中，$OQ = cos heta$，$PQ = sin heta$。所以弦 $PQ$ 的长度就是 $sin heta$。
2. 弧 $AP$ 的长度：在单位圆上，弧长等于它对应的弧度角，就是 $ heta$。
3. 切线段 $AR$ 的长度：我们已经知道是 $ an heta$。
对于小的正角度 $ heta$，我们可以看到：
弦 $PQ$ 的长度 < 弧 $AP$ 的长度 < 切线段 $AR$ 的长度
即：
$sin heta < heta < an heta$
这和我们之前得到的面积不等式是一样的。后面的步骤就和上面一样了，除以 $sin heta$，取倒数，然后用夹逼定理。
总结一下，整个证明过程是这样的：
1. 确定问题： 我们要计算 $lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta}$，这是一个 0/0 型的不定式。
2. 选择工具： 主要用几何图形构建不等式，然后应用夹逼定理。
3. 构建模型： 画单位圆，选取角度 $ heta$。
4. 构造不等式： 通过比较三个具有代表性的区域（三角形、扇形、另一个三角形）的面积，得到 $cos heta sin heta < heta < an heta$。
5. 变形不等式： 将不等式处理成含有 $frac{sin heta}{ heta}$ 的形式，得到 $cos heta < frac{sin heta}{ heta} < frac{1}{cos heta}$，这个不等式在 $ heta$ 是小正数时成立。
6. 处理负数情况： 利用三角函数的奇偶性，证明当 $ heta$ 是小负数时，结论同样成立。
7. 应用夹逼定理： 计算不等式两边函数的极限，都等于 1。因此，中间函数的极限也为 1。
通过这套流程，我们就用高中生最熟悉的几何和代数方法，严谨地证明了这个非常重要的三角函数极限。是不是比直接告诉你答案更来劲？
我们要看的这个极限，通常是这样的形式：
$$lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$$
或者，如果我们把 $x$ 换成 $ heta$，让它看起来更像几何里的角度，就是：
$$lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta}$$
这个极限的值是多少呢？答案是 1。
听到这里，你可能会有点疑惑：“嗯？不就是个分子分母一除吗？为什么这么复杂？” 关键就在于当 $ heta$ 趋向于 0 的时候，$sin heta$ 也趋向于 0，我们碰到了 0/0 的不定式。直接代入是没法得到结果的。
那么，高中里有哪些工具可以帮我们解决这个问题呢？我们主要会用到几何中的圆的性质和不等式。
核心思路：夹逼定理
我们要用到的最主要工具是“夹逼定理”（也叫“三明治定理”）。它的意思就是，如果你想知道一个东西（比如我们的 $frac{sin heta}{ heta}$）的极限是多少，你可以在它上面和下面都找到另外两个东西，让这两个东西的极限也是同一个值，并且它们都比你想求的那个东西“夹”得更紧。这样，你中间那个东西的极限也就确定了。
用数学语言来说，就是：
如果对于某个 $x$ 的邻域（就是 $x$ 附近的一小块区域），都有 $g(x) le f(x) le h(x)$，并且 $lim_{x o a} g(x) = L$ 和 $lim_{x o a} h(x) = L$，那么 $lim_{x o a} f(x)$ 也一定是 $L$。
几何证明的铺垫：单位圆
我们来看一个以原点 $O$ 为圆心，半径为 1 的单位圆。之所以用单位圆，是因为这样我们的三角函数 $sin heta$ 和 $cos heta$ 就有很直观的几何含义。
现在，我们从圆上的一点 $A$ 开始，画一条射线，让它和 $x$ 轴正半轴的夹角是 $ heta$。我们假设 $ heta$ 是一个很小的、正数（后面我们会讨论 $ heta$ 是负数的情况）。为什么先限制是正数呢？因为在几何图形上我们更容易理解。
（想象一下，圆上有个点 P，从 x 轴正半轴开始转了角度 θ，到了 P 点。O 是圆心，A 是 x 轴上的一个点。）
我们设这个射线交单位圆于点 $P$。为了方便，我们让 $A$ 点就是 $(1, 0)$。
点 P 的坐标： 在单位圆上，角为 $ heta$ 的点的坐标是 $(cos heta, sin heta)$。
点 A 的坐标： $(1, 0)$。
构建不等式
现在我们要在单位圆上构造三个图形，它们的面积或者长度能帮助我们得到不等式。我们主要关注的是从 $O$ 到 $P$ 的这条弧的长度，以及相关的线段长度。
我们考虑在 $x$ 轴上找到一个点 $Q$，使得 $PQ$ 垂直于 $x$ 轴。那么 $Q$ 的坐标就是 $(cos heta, 0)$。
情况一：构造三个“区域”的面积
我们来比较三个区域的面积：
1. 三角形 $ riangle OPQ$ 的面积：
底是 $OQ$ 的长度，也就是 $cos heta$。
高是 $PQ$ 的长度，也就是 $sin heta$。
面积 $= frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高} = frac{1}{2} cos heta sin heta$。
2. 扇形 $OAP$ 的面积：
扇形的面积公式是 $frac{1}{2} r^2 heta$，其中 $r$ 是半径，$ heta$ 是弧度角。
在单位圆上，$r=1$，所以扇形 $OAP$ 的面积 $= frac{1}{2} imes 1^2 imes heta = frac{1}{2} heta$。
3. 更大的三角形 $ riangle OAR$ 的面积：
我们从点 $A(1,0)$ 画一条切线，让它与射线 $OP$ 的延长线相交于点 $R$。
那么 $AR$ 是垂直于 $OA$ 的。
三角形 $OAR$ 的底是 $OA$ 的长度，也就是半径 $1$。
高是 $AR$ 的长度。我们来看点 $R$ 的位置：点 $R$ 在射线 $OP$ 上，并且在直线 $x=1$ 上（因为 $AR$ 是切线，它垂直于 $x$ 轴）。所以点 $R$ 的坐标是 $(1, an heta)$。
因此，$AR$ 的长度就是 $ an heta$。
三角形 $OAR$ 的面积 $= frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高} = frac{1}{2} imes 1 imes an heta = frac{1}{2} an heta$。
现在，我们观察这三个图形的面积关系。当 $ heta$ 是一个小的正数时，我们可以看到：
三角形 $ riangle OPQ$ 的面积 < 扇形 $OAP$ 的面积 < 三角形 $OAR$ 的面积
这很容易理解：扇形被包含在三角形 $OAR$ 里，而三角形 $ riangle OPQ$ 被包含在扇形里（因为 P 点在圆弧上，而 Q 点是在 x 轴上）。
所以，我们得到不等式（两边同时乘以 2）：
$cos heta sin heta < heta < an heta$
进一步处理不等式
我们的目标是 $frac{sin heta}{ heta}$，所以我们需要对这个不等式进行一些变形。
我们先假设 $ heta in (0, frac{pi}{2})$，这样 $sin heta > 0$，$cos heta > 0$，$ an heta > 0$。
将不等式 $cos heta sin heta < heta < an heta$ 的每一项都除以 $sin heta$（因为是正数，不等号方向不变）：
$cos heta < frac{ heta}{sin heta} < frac{ an heta}{sin heta}$
我们化简右边：
$frac{ an heta}{sin heta} = frac{sin heta / cos heta}{sin heta} = frac{1}{cos heta}$
所以不等式变成：
$cos heta < frac{ heta}{sin heta} < frac{1}{cos heta}$
现在，我们对这个不等式取倒数。当取倒数时，不等号方向需要改变：
$frac{1}{cos heta} > frac{sin heta}{ heta} > cos heta$
写得更常规一点就是：
$cos heta < frac{sin heta}{ heta} < frac{1}{cos heta}$
这个不等式适用于 $ heta in (0, frac{pi}{2})$。
应用夹逼定理
现在，我们来计算边界函数的极限：
1. 当 $ heta o 0^+$ 时，$cos heta o cos 0 = 1$。
2. 当 $ heta o 0^+$ 时，$frac{1}{cos heta} o frac{1}{cos 0} = frac{1}{1} = 1$。
你看，两边的函数都趋向于 1。根据夹逼定理，中间的函数 $frac{sin heta}{ heta}$ 当 $ heta o 0^+$ 的极限也一定是 1。
$$lim_{ heta o 0^+} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
处理 $ heta$ 为负数的情况
我们刚才只考虑了 $ heta$ 是一个小的正数。那么当 $ heta$ 是一个小的负数时，极限会变吗？
设 $ heta = phi$，其中 $phi$ 是一个小的正数。当 $ heta o 0^$ 时，那么 $phi o 0^+$。
我们来看 $frac{sin heta}{ heta}$：
$frac{sin heta}{ heta} = frac{sin (phi)}{phi}$
根据三角函数的性质，$sin(phi) = sin phi$。所以：
$frac{sin (phi)}{phi} = frac{sin phi}{phi} = frac{sin phi}{phi}$
也就是说，当 $ heta$ 是负数时，$frac{sin heta}{ heta}$ 和当它是正数时得到的结果是一样的。
既然我们已经知道当 $phi o 0^+$ 时，$frac{sin phi}{phi} o 1$，那么当 $ heta o 0^$ 时，$frac{sin heta}{ heta}$ 的极限也应该是 1。
$$lim_{ heta o 0^} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
结论
因为左边的极限（$ heta o 0^$）和右边的极限（$ heta o 0^+$）都等于 1，所以当 $ heta$ 从任何方向趋向于 0 时，极限都是 1。
$$lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta} = 1$$
为什么不直接用 $ heta$ 和 $sin heta$ 的长度比较？
有的时候大家也会看到用弧长和弦长来比较的证明。思路类似，但是用面积比较在“夹”的这个概念上更直观一些，而且不容易在角度很小的时候出现混淆。
如果你想了解用长度比较的思路，也可以这样做：
在上面的单位圆图里，我们比较的是：
1. 弦 $PQ$ 的长度：通过勾股定理，在直角三角形 $OPQ$ 中，$OQ = cos heta$，$PQ = sin heta$。所以弦 $PQ$ 的长度就是 $sin heta$。
2. 弧 $AP$ 的长度：在单位圆上，弧长等于它对应的弧度角，就是 $ heta$。
3. 切线段 $AR$ 的长度：我们已经知道是 $ an heta$。
对于小的正角度 $ heta$，我们可以看到：
弦 $PQ$ 的长度 < 弧 $AP$ 的长度 < 切线段 $AR$ 的长度
即：
$sin heta < heta < an heta$
这和我们之前得到的面积不等式是一样的。后面的步骤就和上面一样了，除以 $sin heta$，取倒数，然后用夹逼定理。
总结一下，整个证明过程是这样的：
1. 确定问题： 我们要计算 $lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta}$，这是一个 0/0 型的不定式。
2. 选择工具： 主要用几何图形构建不等式，然后应用夹逼定理。
3. 构建模型： 画单位圆，选取角度 $ heta$。
4. 构造不等式： 通过比较三个具有代表性的区域（三角形、扇形、另一个三角形）的面积，得到 $cos heta sin heta < heta < an heta$。
5. 变形不等式： 将不等式处理成含有 $frac{sin heta}{ heta}$ 的形式，得到 $cos heta < frac{sin heta}{ heta} < frac{1}{cos heta}$，这个不等式在 $ heta$ 是小正数时成立。
6. 处理负数情况： 利用三角函数的奇偶性，证明当 $ heta$ 是小负数时，结论同样成立。
7. 应用夹逼定理： 计算不等式两边函数的极限，都等于 1。因此，中间函数的极限也为 1。
通过这套流程，我们就用高中生最熟悉的几何和代数方法，严谨地证明了这个非常重要的三角函数极限。是不是比直接告诉你答案更来劲？
网友意见
高中没有夹逼准则，也没有极限的定义，不可能的。
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