这个极限结果怎么算出来的？
这题的极限，可以这么理解：
核心思想：把一个“长得不好看”的表达式，变成一个“长得好看”的表达式，然后利用我们熟悉的极限公式来计算。
让我们一步步来看：
1. 审视极限表达式
我们看到这个极限是：
$lim_{x o 0} frac{sqrt{1+x} 1}{x}$
当 $x$ 趋近于 0 时，分子 $sqrt{1+x} 1$ 趋近于 $sqrt{1} 1 = 1 1 = 0$。
同时，分母 $x$ 也趋近于 0。
所以，这是一个典型的 $frac{0}{0}$ 型不定式。遇到这种形式，我们就知道不能直接代入 $x=0$ 来计算，需要进行一些“变形”。
2. 变形思路：分子“不好看”，我们想办法让它“好看”
分子中带有平方根 $sqrt{1+x}$，这通常不太方便直接处理。我们常用的一个技巧是分子有理化，也就是给分子“去掉”平方根。
怎么去掉平方根？我们会想起“平方差公式”：$(ab)(a+b) = a^2 b^2$。
如果我们将分子 $sqrt{1+x} 1$ 看作 $ab$，那么 $a = sqrt{1+x}$， $b = 1$。
为了利用平方差公式，我们需要乘以一个 $(a+b)$，也就是 $(sqrt{1+x} + 1)$。
3. 进行有理化操作
我们将整个表达式的分子和分母都乘以 $(sqrt{1+x} + 1)$：
$frac{sqrt{1+x} 1}{x} imes frac{sqrt{1+x} + 1}{sqrt{1+x} + 1}$
现在，我们来看分子：
$(sqrt{1+x} 1)(sqrt{1+x} + 1)$
根据平方差公式，这等于：
$(sqrt{1+x})^2 1^2$
$= (1+x) 1$
$= x$
哦，看，分子变成了一个简单的 $x$！这正是我们想要的“好看”的表达式。
4. 重写极限表达式
现在，我们将有理化后的分子代回去，看看整个表达式变成什么样：
$frac{x}{x(sqrt{1+x} + 1)}$
5. 简化表达式
当 $x o 0$ 时，$x$ 确实趋近于 0，但它不是严格等于 0。所以，我们可以安全地在分子和分母上约去这个 $x$：
$frac{cancel{x}}{cancel{x}(sqrt{1+x} + 1)} = frac{1}{sqrt{1+x} + 1}$
6. 计算新的极限
现在，我们来计算这个简化后的表达式的极限：
$lim_{x o 0} frac{1}{sqrt{1+x} + 1}$
这次，当我们把 $x=0$ 代入时，分母是 $sqrt{1+0} + 1 = sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$。
分母不为零，所以可以直接代入计算：
$frac{1}{sqrt{1+0} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
所以，这个极限的结果就是 $frac{1}{2}$。
总结一下整个过程：
识别问题： 遇到 $frac{0}{0}$ 型不定式。
策略： 对分子进行有理化，消除平方根。
工具： 平方差公式 $(ab)(a+b) = a^2 b^2$。
执行： 分子分母同乘以 $sqrt{1+x} + 1$。
化简： 利用平方差公式，分子变成 $x$，然后约去分子分母的 $x$。
代入： 对简化后的表达式直接代入 $x=0$ 计算。
这种方法非常常用，尤其是在处理包含平方根的极限时。它有效地将一个复杂的、无法直接计算的表达式，转化成了一个简单、可以直接求值的表达式。
核心思想：把一个“长得不好看”的表达式，变成一个“长得好看”的表达式，然后利用我们熟悉的极限公式来计算。
让我们一步步来看：
1. 审视极限表达式
我们看到这个极限是：
$lim_{x o 0} frac{sqrt{1+x} 1}{x}$
当 $x$ 趋近于 0 时，分子 $sqrt{1+x} 1$ 趋近于 $sqrt{1} 1 = 1 1 = 0$。
同时，分母 $x$ 也趋近于 0。
所以，这是一个典型的 $frac{0}{0}$ 型不定式。遇到这种形式，我们就知道不能直接代入 $x=0$ 来计算，需要进行一些“变形”。
2. 变形思路：分子“不好看”，我们想办法让它“好看”
分子中带有平方根 $sqrt{1+x}$，这通常不太方便直接处理。我们常用的一个技巧是分子有理化，也就是给分子“去掉”平方根。
怎么去掉平方根？我们会想起“平方差公式”：$(ab)(a+b) = a^2 b^2$。
如果我们将分子 $sqrt{1+x} 1$ 看作 $ab$，那么 $a = sqrt{1+x}$， $b = 1$。
为了利用平方差公式，我们需要乘以一个 $(a+b)$，也就是 $(sqrt{1+x} + 1)$。
3. 进行有理化操作
我们将整个表达式的分子和分母都乘以 $(sqrt{1+x} + 1)$：
$frac{sqrt{1+x} 1}{x} imes frac{sqrt{1+x} + 1}{sqrt{1+x} + 1}$
现在，我们来看分子：
$(sqrt{1+x} 1)(sqrt{1+x} + 1)$
根据平方差公式，这等于：
$(sqrt{1+x})^2 1^2$
$= (1+x) 1$
$= x$
哦，看，分子变成了一个简单的 $x$！这正是我们想要的“好看”的表达式。
4. 重写极限表达式
现在，我们将有理化后的分子代回去，看看整个表达式变成什么样：
$frac{x}{x(sqrt{1+x} + 1)}$
5. 简化表达式
当 $x o 0$ 时，$x$ 确实趋近于 0，但它不是严格等于 0。所以，我们可以安全地在分子和分母上约去这个 $x$：
$frac{cancel{x}}{cancel{x}(sqrt{1+x} + 1)} = frac{1}{sqrt{1+x} + 1}$
6. 计算新的极限
现在，我们来计算这个简化后的表达式的极限：
$lim_{x o 0} frac{1}{sqrt{1+x} + 1}$
这次，当我们把 $x=0$ 代入时，分母是 $sqrt{1+0} + 1 = sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$。
分母不为零，所以可以直接代入计算：
$frac{1}{sqrt{1+0} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
所以，这个极限的结果就是 $frac{1}{2}$。
总结一下整个过程：
识别问题： 遇到 $frac{0}{0}$ 型不定式。
策略： 对分子进行有理化，消除平方根。
工具： 平方差公式 $(ab)(a+b) = a^2 b^2$。
执行： 分子分母同乘以 $sqrt{1+x} + 1$。
化简： 利用平方差公式，分子变成 $x$，然后约去分子分母的 $x$。
代入： 对简化后的表达式直接代入 $x=0$ 计算。
这种方法非常常用，尤其是在处理包含平方根的极限时。它有效地将一个复杂的、无法直接计算的表达式，转化成了一个简单、可以直接求值的表达式。
网友意见
Firstly
i.e.
hence
那么
予佬说做错了，我觉得是我没有对 做更加精细的估计？
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