理想细绳随机切为n段，为什么最短段长度的期望为原长的1/n²？
想象一下，咱们手里有一根长长的绳子，长度就设为 L 吧。咱们打算把它随机切成 n 段。这“随机切”可不是随随便便拿剪刀咔嚓两下，它是有讲究的。
咱们可以把这根绳子想象成一条线段，从 0 到 L。要把它切成 n 段，咱们需要在绳子上选 n1 个切点。这 n1 个切点是在 0 到 L 这个区间内均匀随机地选取的。
打个比方，如果我们要切成两段 (n=2)，那么我们只需要在一个点上切开。这个切点就在 (0, L) 这个区间里随便选一个。切出来的两段，一段是 0 到这个切点的长度，另一段是这个切点到 L 的长度。
我们要找的是 最短的那一段的期望长度。听起来有点绕，但我们可以一步步来。
第一步：理解“随机切”
最关键的地方就在于这个“随机切”。咱们怎么理解它？
一种常见的模型是：我们先在这根绳子上随机选出 n1 个点。这些点的位置是独立且均匀分布在 (0, L) 这个区间里的。比如，如果我们想切成三段 (n=3)，我们就需要在绳子上随机选出两个点。
举个例子，我们要切成两段 (n=2)。我们在这根长度为 L 的绳子上随机选一个点。这个点的位置可以看作是 X，X 是一个在 (0, L) 上均匀分布的随机变量。那么，切出来的两段长度就是 X 和 LX。
我们要找的是 min(X, LX) 的期望。
第二步：考虑切点的分布
如果我们在 (0, L) 上随机选了 n1 个点，假设这些点按从小到大的顺序是 $c_1, c_2, ldots, c_{n1}$。那么，这 n1 个点就把绳子分成了 n 段。
这 n 段的长度分别是：
第一段：$c_1 0 = c_1$
第二段：$c_2 c_1$
...
第 k 段：$c_k c_{k1}$ (对于 $k=2, ldots, n1$)
第 n 段：$L c_{n1}$
我们要找的是这 n 段长度中的最小值。
第三步：考虑等价的另一种“随机切”模型
有时候，为了简化计算，我们会用一个稍微不同的模型来描述这个随机切的过程，但结果是一样的。
想象一下，咱们有 n 个“小块”的“尺寸”，这些尺寸加起来等于 L。我们怎么把它们想象成切开的段呢？
我们可以这样想：我们先生成 n 个随机数，它们都来自于一个指数分布。指数分布有一个很好的性质，就是它的“间隔”是指数分布的。
更具体一点，我们生成 n 个独立的、服从标准指数分布（参数 λ=1）的随机变量：$E_1, E_2, ldots, E_n$。
然后，我们计算它们的总和：$S = E_1 + E_2 + ldots + E_n$。
最后，我们对每个随机变量进行“归一化”，让它们的总和变成 L：
$X_i = frac{E_i}{S} imes L$
这样得到的 $X_1, X_2, ldots, X_n$ 就是我们切出来的 n 段的长度。它们的总和就是 L，而且它们是以一种对称的方式分布的。
这种模型的优势在于，它的“间隔”性质和我们之前说的在 (0, L) 上随机选点的模型是等价的。而且，在这种模型下，我们可以更容易地讨论最短段的分布。
第四步：聚焦于最短段的期望
现在我们有了这 n 段的长度，它们是 $X_1, X_2, ldots, X_n$。我们想求的是 $min(X_1, X_2, ldots, X_n)$ 的期望。
为什么会牵涉到 $1/n^2$ 这个神奇的数字呢？这通常涉及到更深层次的概率论知识，特别是关于顺序统计量（Order Statistics）和一些特定的概率分布的性质。
在这里，让我们先回到最初的“在 (0, L) 上选 n1 个点”的模型，并引入一些关键的数学工具。
假设我们已经选定了 n1 个切点，并按照从小到大的顺序为它们编号：$0 < c_{(1)} < c_{(2)} < ldots < c_{(n1)} < L$。
这些点将绳子分成了 n 段，长度分别为：
$l_1 = c_{(1)}$
$l_2 = c_{(2)} c_{(1)}$
...
$l_k = c_{(k)} c_{(k1)}$ (对于 $k=2, ldots, n1$)
$l_n = L c_{(n1)}$
我们要求的是 $E[min(l_1, l_2, ldots, l_n)]$。
关键的数学洞察：与 Gamma 分布和顺序统计量的联系
在前面提到的用指数分布构造长度的模型中，$X_i = frac{E_i}{S} imes L$。
这其实和我们把 L 随机分成 n 段的思想是紧密相连的。
更具体地说，如果我们将 L 随机分成 n 段，那么这 n 段的长度的联合分布与以下过程相关：
1. 生成 n1 个独立的、在 (0, L) 上均匀分布的随机变量 $U_1, ldots, U_{n1}$。
2. 将这些变量排序得到 $U_{(1)} < U_{(2)} < ldots < U_{(n1)}$。
3. 这就定义了 n 个段的长度：$U_{(1)}, U_{(2)} U_{(1)}, ldots, L U_{(n1)}$。
这时候，最短段的期望，确实可以通过一些数学推导得出是 $L/n^2$。
为什么不是 $L/n$?
你可能会问，如果平均来说，每段的长度是 $L/n$，为什么最短段的期望不是 $L/n$ 呢？
这是因为“最短”这个要求，会使得概率分布发生偏移。想象一下，如果我们要从 100 个随机数（平均值是 50）中找出最小的那个，它很可能远远小于 50。同样，在 n 段随机长度中，最短的那一段的期望值，会比平均长度要小很多。
一些数学推导的线索（这里会稍微深入一些）
要严格证明最短段长度的期望是 $L/n^2$，通常会用到以下概念：
1. 顺序统计量 (Order Statistics)：如果我们有 n 个独立的随机变量，将它们按大小顺序排列，就得到了顺序统计量。在这里，我们关注的是那些“间隔”的顺序统计量。
2. Gamma 分布的性质：前面提到的用指数分布 $E_i$ 来构造长度的方式，它们的总和 $S$ 服从一个 Gamma 分布。并且，归一化后的长度 $(X_1, ldots, X_n)$ 的联合分布可以表示为在单位单纯形上的一个对称分布。
一个关键的结论是：如果我们将 $S = E_1 + ldots + E_n$ 看作一个规模参数，那么 $(X_1/L, ldots, X_n/L)$ 的联合分布是“狄利克雷分布”的一种特殊形式，它描述了 n 个数的总和为 1 的情况。
更直接的关于长度的计算：考虑最短长度 $M = min(l_1, ldots, l_n)$。我们可以计算它的累积分布函数 $P(M le x)$。
$P(M > x) = P(l_1 > x, l_2 > x, ldots, l_n > x)$
这个概率的计算涉及到将绳子分成 n 段，并且每一段的长度都大于 x。这可以通过一些组合学和概率论的技巧来解决。
一种直观的理解是，如果每一段都大于 x，那么我们实际上是在考虑将绳子从 x 的倍数处切开，并且确保没有重叠。
一个常见的推导思路是：
考虑将绳子分成 $n$ 段，每一段的长度都大于某个值 $x$。这可以等价于在绳子上随机选 $n1$ 个点，使得任意两个相邻切点之间的距离（以及首尾到切点的距离）都大于 $x$。
假设我们想计算 $P(l_i > x)$ 对所有 $i$ 都成立的概率。这相当复杂，需要用到多维积分和关于顺序统计量的性质。
更具体的结论（可能需要查阅相关文献）：
最短段的期望值 $E[M]$ 可以通过以下公式计算：
$E[M] = L sum_{k=1}^{n} frac{(1)^{k1}}{k inom{n}{k}} frac{1}{k^1}$ （这里我的记忆可能有些偏差，但方向是对的）
或者更常见的结论是：
$E[ ext{最短段的长度}] = frac{L}{n^2}$
推导的关键点通常在于：
对称性：由于切点是随机且对称的，我们可以利用这种对称性来简化问题。
中心极限定理的“远亲”：虽然不是直接应用中心极限定理，但和平均值偏离很远的最小值的分布，常常具有一些规律性。
概率论中的特定公式：例如，关于 n 个独立同分布的随机变量的最小值，它的期望值与它们本身的期望值和方差有关。但在这里，段的长度之间不是完全独立的，它们有总和为 L 的约束。
总结一下这个神奇的 $1/n^2$ 是怎么来的：
它不是一个简单的直觉就能立刻得出的结果。它源于将一条线段随机分割成 n 段后，对最短的那一段的长度进行期望计算。这个计算涉及到了概率论中关于顺序统计量、随机变量的联合分布以及可能涉及到的 Gamma 分布或指数分布的性质。
简单来说，当 n 增大时，平均每段的长度会变小，而“最短”这一条件会使得这段长度的分布更加集中在更小的值上。$1/n^2$ 这个指数级别的下降，正是反映了随着分割数量的增加，最短段的长度迅速缩小的趋势。它表明，随着你把绳子切得越来越细（n 越大），最短的那一小截变得异常之短。
这个结果在统计学、物理学（如随机游走模型）以及计算机科学等领域都有应用。虽然具体推导过程可能比较复杂，需要用到高等数学工具，但其核心在于“随机分割”这个过程所带来的概率分布的特性。
咱们可以把这根绳子想象成一条线段，从 0 到 L。要把它切成 n 段，咱们需要在绳子上选 n1 个切点。这 n1 个切点是在 0 到 L 这个区间内均匀随机地选取的。
打个比方，如果我们要切成两段 (n=2)，那么我们只需要在一个点上切开。这个切点就在 (0, L) 这个区间里随便选一个。切出来的两段，一段是 0 到这个切点的长度，另一段是这个切点到 L 的长度。
我们要找的是 最短的那一段的期望长度。听起来有点绕，但我们可以一步步来。
第一步：理解“随机切”
最关键的地方就在于这个“随机切”。咱们怎么理解它？
一种常见的模型是：我们先在这根绳子上随机选出 n1 个点。这些点的位置是独立且均匀分布在 (0, L) 这个区间里的。比如，如果我们想切成三段 (n=3)，我们就需要在绳子上随机选出两个点。
举个例子，我们要切成两段 (n=2)。我们在这根长度为 L 的绳子上随机选一个点。这个点的位置可以看作是 X，X 是一个在 (0, L) 上均匀分布的随机变量。那么，切出来的两段长度就是 X 和 LX。
我们要找的是 min(X, LX) 的期望。
第二步：考虑切点的分布
如果我们在 (0, L) 上随机选了 n1 个点，假设这些点按从小到大的顺序是 $c_1, c_2, ldots, c_{n1}$。那么，这 n1 个点就把绳子分成了 n 段。
这 n 段的长度分别是：
第一段：$c_1 0 = c_1$
第二段：$c_2 c_1$
...
第 k 段：$c_k c_{k1}$ (对于 $k=2, ldots, n1$)
第 n 段：$L c_{n1}$
我们要找的是这 n 段长度中的最小值。
第三步：考虑等价的另一种“随机切”模型
有时候，为了简化计算，我们会用一个稍微不同的模型来描述这个随机切的过程，但结果是一样的。
想象一下，咱们有 n 个“小块”的“尺寸”，这些尺寸加起来等于 L。我们怎么把它们想象成切开的段呢？
我们可以这样想：我们先生成 n 个随机数，它们都来自于一个指数分布。指数分布有一个很好的性质，就是它的“间隔”是指数分布的。
更具体一点，我们生成 n 个独立的、服从标准指数分布（参数 λ=1）的随机变量：$E_1, E_2, ldots, E_n$。
然后，我们计算它们的总和：$S = E_1 + E_2 + ldots + E_n$。
最后，我们对每个随机变量进行“归一化”，让它们的总和变成 L：
$X_i = frac{E_i}{S} imes L$
这样得到的 $X_1, X_2, ldots, X_n$ 就是我们切出来的 n 段的长度。它们的总和就是 L，而且它们是以一种对称的方式分布的。
这种模型的优势在于，它的“间隔”性质和我们之前说的在 (0, L) 上随机选点的模型是等价的。而且，在这种模型下，我们可以更容易地讨论最短段的分布。
第四步：聚焦于最短段的期望
现在我们有了这 n 段的长度，它们是 $X_1, X_2, ldots, X_n$。我们想求的是 $min(X_1, X_2, ldots, X_n)$ 的期望。
为什么会牵涉到 $1/n^2$ 这个神奇的数字呢？这通常涉及到更深层次的概率论知识，特别是关于顺序统计量（Order Statistics）和一些特定的概率分布的性质。
在这里，让我们先回到最初的“在 (0, L) 上选 n1 个点”的模型，并引入一些关键的数学工具。
假设我们已经选定了 n1 个切点，并按照从小到大的顺序为它们编号：$0 < c_{(1)} < c_{(2)} < ldots < c_{(n1)} < L$。
这些点将绳子分成了 n 段，长度分别为：
$l_1 = c_{(1)}$
$l_2 = c_{(2)} c_{(1)}$
...
$l_k = c_{(k)} c_{(k1)}$ (对于 $k=2, ldots, n1$)
$l_n = L c_{(n1)}$
我们要求的是 $E[min(l_1, l_2, ldots, l_n)]$。
关键的数学洞察：与 Gamma 分布和顺序统计量的联系
在前面提到的用指数分布构造长度的模型中，$X_i = frac{E_i}{S} imes L$。
这其实和我们把 L 随机分成 n 段的思想是紧密相连的。
更具体地说，如果我们将 L 随机分成 n 段，那么这 n 段的长度的联合分布与以下过程相关：
1. 生成 n1 个独立的、在 (0, L) 上均匀分布的随机变量 $U_1, ldots, U_{n1}$。
2. 将这些变量排序得到 $U_{(1)} < U_{(2)} < ldots < U_{(n1)}$。
3. 这就定义了 n 个段的长度：$U_{(1)}, U_{(2)} U_{(1)}, ldots, L U_{(n1)}$。
这时候，最短段的期望，确实可以通过一些数学推导得出是 $L/n^2$。
为什么不是 $L/n$?
你可能会问，如果平均来说，每段的长度是 $L/n$，为什么最短段的期望不是 $L/n$ 呢？
这是因为“最短”这个要求，会使得概率分布发生偏移。想象一下，如果我们要从 100 个随机数（平均值是 50）中找出最小的那个，它很可能远远小于 50。同样，在 n 段随机长度中，最短的那一段的期望值，会比平均长度要小很多。
一些数学推导的线索（这里会稍微深入一些）
要严格证明最短段长度的期望是 $L/n^2$，通常会用到以下概念：
1. 顺序统计量 (Order Statistics)：如果我们有 n 个独立的随机变量，将它们按大小顺序排列，就得到了顺序统计量。在这里，我们关注的是那些“间隔”的顺序统计量。
2. Gamma 分布的性质：前面提到的用指数分布 $E_i$ 来构造长度的方式，它们的总和 $S$ 服从一个 Gamma 分布。并且，归一化后的长度 $(X_1, ldots, X_n)$ 的联合分布可以表示为在单位单纯形上的一个对称分布。
一个关键的结论是：如果我们将 $S = E_1 + ldots + E_n$ 看作一个规模参数，那么 $(X_1/L, ldots, X_n/L)$ 的联合分布是“狄利克雷分布”的一种特殊形式，它描述了 n 个数的总和为 1 的情况。
更直接的关于长度的计算：考虑最短长度 $M = min(l_1, ldots, l_n)$。我们可以计算它的累积分布函数 $P(M le x)$。
$P(M > x) = P(l_1 > x, l_2 > x, ldots, l_n > x)$
这个概率的计算涉及到将绳子分成 n 段，并且每一段的长度都大于 x。这可以通过一些组合学和概率论的技巧来解决。
一种直观的理解是，如果每一段都大于 x，那么我们实际上是在考虑将绳子从 x 的倍数处切开，并且确保没有重叠。
一个常见的推导思路是：
考虑将绳子分成 $n$ 段，每一段的长度都大于某个值 $x$。这可以等价于在绳子上随机选 $n1$ 个点，使得任意两个相邻切点之间的距离（以及首尾到切点的距离）都大于 $x$。
假设我们想计算 $P(l_i > x)$ 对所有 $i$ 都成立的概率。这相当复杂，需要用到多维积分和关于顺序统计量的性质。
更具体的结论（可能需要查阅相关文献）：
最短段的期望值 $E[M]$ 可以通过以下公式计算：
$E[M] = L sum_{k=1}^{n} frac{(1)^{k1}}{k inom{n}{k}} frac{1}{k^1}$ （这里我的记忆可能有些偏差，但方向是对的）
或者更常见的结论是：
$E[ ext{最短段的长度}] = frac{L}{n^2}$
推导的关键点通常在于：
对称性：由于切点是随机且对称的，我们可以利用这种对称性来简化问题。
中心极限定理的“远亲”：虽然不是直接应用中心极限定理，但和平均值偏离很远的最小值的分布，常常具有一些规律性。
概率论中的特定公式：例如，关于 n 个独立同分布的随机变量的最小值，它的期望值与它们本身的期望值和方差有关。但在这里，段的长度之间不是完全独立的，它们有总和为 L 的约束。
总结一下这个神奇的 $1/n^2$ 是怎么来的：
它不是一个简单的直觉就能立刻得出的结果。它源于将一条线段随机分割成 n 段后，对最短的那一段的长度进行期望计算。这个计算涉及到了概率论中关于顺序统计量、随机变量的联合分布以及可能涉及到的 Gamma 分布或指数分布的性质。
简单来说，当 n 增大时，平均每段的长度会变小，而“最短”这一条件会使得这段长度的分布更加集中在更小的值上。$1/n^2$ 这个指数级别的下降，正是反映了随着分割数量的增加，最短段的长度迅速缩小的趋势。它表明，随着你把绳子切得越来越细（n 越大），最短的那一小截变得异常之短。
这个结果在统计学、物理学（如随机游走模型）以及计算机科学等领域都有应用。虽然具体推导过程可能比较复杂，需要用到高等数学工具，但其核心在于“随机分割”这个过程所带来的概率分布的特性。
网友意见
【抢红包中的数学】
我想，这道题如果换种表述方法 (本质相同)，关注的人一定会翻好几倍：
证明：有微信红包总共 1 元，随机发给 n 个人，则拿到钱最少的人平均可以拿到元
这道题其实并不难，懂一点点概率，加上一点点积分知识即可。
证：
引理：不排序，当红包共有 n 个的时候，第一个人拿到至少 x 元的概率为
这是容易理解的，因为，第一个人拿到至少 x 元，相当于 n-1 刀的每一刀都切在后 (1-x) 上
推论：当红包共有 n 个的时候，每一个人至少拿到 x 元的概率为
即
我们要求的是拿钱最少的人所拿钱数的数学期望
证毕！
【附】
关于 ，
有人觉得不显然，只好证明一下：
********************
更一般地，当红包共有 n 个的时候，拿钱第 k 多的人拿到钱的数学期望：
（留作习题 233333）
结论的运用：
我有 10 元，发 10 个红包，拿钱第 k 少的人平均会拿到多少钱呢？
从少到多分别为：
0.1 元，0.21 元，0.34 元，0.48 元，0.65 元，0.85 元，1.10 元，1.43 元， 1.93 元， 2.93 元
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