如何才能在高考前证明哥德巴赫猜想？

哥德巴赫猜想，这个看似简单的猜想，却让无数数学家皓首穷经，至今未得其解。它如同一座矗立在数学王国中的巍峨高峰，吸引着一代又一代的勇士去攀登。而你，一个即将踏入高考考场的普通高中生，竟然怀揣着征服这座高峰的梦想，这本身就足够令人惊叹！

首先，我要非常坦诚地告诉你：在高考前，以你目前的数学知识体系，想要完全、严谨地证明哥德巴赫猜想，几乎是不可能的任务。

这并非要打击你的信心，而是基于现实。哥德巴赫猜想是数学界公认的“数论皇冠上的明珠”，其难度之高，已经超出了现阶段高中数学的范畴。那些投入一生精力，拥有深厚数学功底和前沿数学工具的顶尖数学家们，也仍在努力。

但是！ 这并不意味着你的这份雄心壮志毫无意义。恰恰相反，它展现了你对数学的独特热情和深刻洞察力。这份热情，本身就是最宝贵的财富。如果你真的想在这条路上有所追求，那么，我们不妨换个角度来思考：

如何在你现有知识框架下，“接近”或“理解”哥德巴赫猜想的证明思路？

这更像是在高考前，为你打开一扇通往更高深数学世界的大门，让你对这个猜想的魅力及其解决的艰难性有一个更直观的认识。

第一步：深入理解哥德巴赫猜想的“语言”

我们先来明确一下哥德巴赫猜想的两个版本：

强猜想（Goldbach's Conjecture）： 任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
例如：4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7 ...
弱猜想（Goldbach's Weak Conjecture / Ternary Goldbach Conjecture）： 任何一个大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。
例如：7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 13 = 3 + 5 + 5 ...

你知道吗？弱猜想在2013年已经被秘鲁数学家哈洛德·赫尔夫戈特（Harald Helfgott）证明了！这是一个了不起的成就。而我们通常说的“哥德巴赫猜想”，更多是指那个尚未被完全证明的强猜想。

第二步：回顾与思考你已经掌握的数学知识

要理解证明思路，我们需要连接你已有的知识。

1. 素数（Prime Numbers）： 你必须非常熟悉素数的概念：大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。你知道如何判断一个数是否是素数吗？（试除法，虽然效率不高，但最直观）。你知道一些重要的素数吗？（2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...）
2. 偶数与奇数： 这是哥德巴赫猜想的主角。你知道偶数（能被2整除的数）和奇数（不能被2整除的数）的性质吗？
3. 加法（Addition）： 这是猜想的核心运算。
4. 数论中的其他概念（可能你接触过）：
整除性： A能被B整除，记作B|A。
同余： a ≡ b (mod n) 表示 a 和 b 除以 n 的余数相同。
算术基本定理： 任何大于1的整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
欧几里得算法： 求最大公约数的方法，与素数的分布有一些关联。

第三步：了解数学家们是如何“尝试”证明的

这里的“尝试”，不是指你现在就能写出完整的证明，而是理解他们所使用的“武器”和“策略”。

1. 筛法（Sieve Methods）：
思想： 想象你有一个大网，里面装着所有数字。你想找到素数，就像是从网里挑出特定形状的石头。筛法就是一种“去除”合数（非素数）的方法，从而“剩下”素数。
例子（埃拉托斯特尼筛法）： 你知道如何找出小于100的所有素数吗？从2开始，划掉所有2的倍数；再从下一个未划掉的数3开始，划掉所有3的倍数；依此类推。最后剩下的就是素数。
在哥德巴赫猜想上的应用： 数学家们发展了更复杂的筛法，比如“Sieve of Eratosthenes” 的升级版，以及“Brun's Sieve”。这些筛法能够估计在某个范围内，有多少对素数或“近似素数”（比如一个数可以表示成两个素数或一个素数和一个数的乘积）满足某些条件。
挑战： 即使是筛法，在处理“任意大”的偶数时，也难以穷尽所有可能性。它通常能证明“大部分”偶数满足猜想，但要证明“所有”偶数，就还差一步。

2. 概率论与统计方法：
思想： 虽然数论是关于确定性的，但我们可以用概率的眼光来“猜测”素数的分布规律。
素数定理（Prime Number Theorem）： 它给出了大于x的素数个数的近似值。这个定理表明，素数在所有自然数中的分布是相对“规律”的，虽然零散。
“平均”情况： 如果我们随机选择两个素数，它们相加得到一个偶数。从概率上讲，当数字越来越大时，偶数会变得非常多，而素数虽然变少，但仍然存在。所以，从“平均”的角度看，猜想似乎是合理的。
挑战： 概率只是“看起来”如此，并不能保证“每一个”偶数都能找到对应的素数对。数学证明必须是确凿无疑的，不能依赖于“很可能”或“大部分”。

3. 解析数论（Analytic Number Theory）：
核心工具： 黎曼 Zeta函数（Riemann Zeta Function），$zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$，以及与它相关的函数。
思想： 将数论问题转化为复变函数分析中的问题。素数的分布与 Zeta 函数的零点（zeta函数值为零的点）有着深刻的联系。
“圆法”（Circle Method）与“期望法”（Expectation Method）： 这是解析数论中的强大工具，用于估计满足特定算术条件的整数的个数。哈代利特尔伍德（HardyLittlewood）就是利用这些方法，在证明哥德巴赫猜想的道路上取得了重大进展。他们证明了“几乎所有”偶数都可以表示为两个素数之和，并且给出了弱猜想的早期证明（当时只适用于足够大的奇数）。
挑战： 这些方法非常抽象，需要扎实的微积分、复变函数等知识。它们往往只能得到“渐近”结果，即对于“足够大”的数成立，但无法证明对所有数成立。

4. 陈景润的“1+2”：
贡献： 中国数学家陈景润是哥德巴赫猜想研究史上的一座丰碑。他在1966年（后来发表于1973年）证明了“1+2”：任何一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个“殆素数”（semiprime）之和。（殆素数是指两个素数的乘积）。
意义： 这距离最终证明（1+1，即两个素数之和）只差一步。他使用的就是精妙的筛法和解析数论技术。
高考前的意义： 理解陈景润的工作，能让你看到一个具体、伟大的证明思路是如何一步步逼近终点的，以及其中的艰辛与智慧。

第四步：高考前你可以做什么？

与其说是“证明”，不如说是“探索”和“理解”。

1. 巩固基础： 熟练掌握初高中数学知识，特别是数论部分。素数、整除性、模运算等概念要理解透彻。
2. 拓展视野：
阅读科普读物： 找一些关于数学史、数论的科普书籍。比如《上帝掷骰子吗？》（作者曹天元，讲量子力学，但数学史的部分也很精彩）、《数学简史》、《质数王国》等。这些书会以通俗易懂的方式介绍哥德巴赫猜想的背景、历史和一些初步的证明思路。
了解数学家： 了解高斯、欧拉、黎曼、哈代、陈景润等数学家的故事，他们的贡献会让你对数学的魅力有更深的体会。
搜索相关资料： 在网上搜索“哥德巴赫猜想 证明思路”、“陈景润 1+2”等关键词，找一些介绍性的文章或视频。注意甄别信息来源，尽量选择信誉好的科普网站或大学数学系的介绍。
3. 培养数学思维：
尝试验证： 用计算机程序（如果你会编程）或者手动计算，验证一些小的偶数是否满足哥德巴赫猜想。你会发现，越大的偶数，找到素数对似乎越容易，但这只是一个初步的直观感受。
提出自己的“猜想”： 在学习过程中，尝试根据观察到的现象，提出自己的数学猜想。即使猜想是错误的，这个过程本身也是对数学思维的锻炼。
思考“为什么”： 看到一个数学结论，不要满足于知道“是什么”，更要思考“为什么”。例如，为什么素数会越来越稀疏？为什么偶数比奇数更容易分解？

最后的忠告：

高考是一场重要的战役，你需要的是扎实的基础和稳定的发挥。将你的热情投入到备考中，但同时，这份对哥德巴赫猜想的“痴迷”，可以成为你数学学习的强大动力和精神食粮。

也许，你现在无法用严谨的数学语言证明它，但你可以在心中种下一颗种子。 在未来的日子里，如果你继续保持这份对数学的热爱，不断学习，不断探索，也许有一天，你会成为那个揭开哥德巴赫猜想神秘面纱的人。

就像陈景润一样，他在那个年代，凭借着坚韧的毅力和卓越的才华，将中国数学的旗帜插在了数论研究的高峰。你的起点可能与他不同，但你拥有的那份对未知的好奇和敢于挑战的精神，就是最闪耀的数学之光。

高考加油！祝你取得优异的成绩！而那座数学的高峰，也永远在那里，等待着那些敢于梦想和坚持的人。

网友意见

0. 匿名是希望大家更关注问题本身。

在此申明：

1.我是提问者。

2.我不是那个声称证明了哥德巴赫猜想的人。至于他为什么收藏我的回答，只有他自己知道。

(注:好像“证明”已经销号了)

3.我说过自己看过高数书，但没说我只看过高数书。

4.高数书上的习题我都已独立完成，请不要用类似lim(x->2)x²=4的问题来侮辱我的智商。

5.“高考”指的是2021年高考。

6.请认真阅读问题描述。

非民科，没有中二病，不是好高骛远。目标尚遥不可及，但我会踏踏实实付诸实践。从昨天晚上11点到今天凌晨2点，我已经看完apostol《解析数论导引》前两章，学完《微积分学教程》幂级数一章。

我深知自己离证明哥猜还有很远。但在三年前，Bertrand假设对我来说都高不可攀，现在不也已经会证了吗。现在无法证明，不意味着三年内都无法证明。

发布问题时本想低调一点，只说自己期中考试全班倒数第九，看过高数书，没想到遭致某些人的冷嘲热讽。这里补充一些细节：那个排名指的是包括政治历史地理的总分排名，而政治历史地理我基本交的白卷。我们班一共42人，按照理科总分排名，我是第5名。往届这样的班一般两到三个清北，最差的也是985，所以大家不必为我能否考上985大学而担心。高数书我现在已经不看了，目前正在看的书包括但不限于apostol的解析数论导引，stein的傅立叶分析导论，ГригорийМихайлович Фихтенгольц的微积分学教程。

我可以说一下要在高考前证明哥德巴赫猜想的部分原因:Gauss,Galois,Kolmogorov都在年少时解决著名难题，我敬仰他们，我想成为像他们那样的数学家。而证明哥德巴赫猜想，是我对自己的检验。没有退路。证不出来，我最多只能成为一个一般的数学家工作者。而我永远不会满足于此，因为那意味着平凡的工作和贫瘠的创新。

知乎上有同班同学关注了我。其实我在学校没有真正的好友，最多他们问我一些数学题，除此之外没有什么交流。我与他们有本质的不同，他们追求的是考试拿一个好分数，而我只想真正地研究数学。他们是无法理解我的。现在取匿，会被他们当作疯子看待。虽然这本身没有什么不好的，但会破坏我本来宁静的生活，可能将导致我无法潜心研究数学。这也是我匿名的原因之一。我会尽力在三年内证出哥德巴赫猜想，并在高考前给Journal of Number Theory投稿。这样我大概可以保送至理想的大学，当然也远离了这所高中。届时我会取消匿名。

最后我想说的是，证明哥德巴赫猜想是我一直以来的梦想。选择在这个特殊的时间点发布问题，很大一部分原因是我被 @证明 激怒了。你似乎只用初等的方法就证明了哥德巴赫猜想，这在我看来是难以接受的。你相当于否定了像我这样认真研究哥德巴赫猜想的人付出的热爱与努力。此外，在这一时间发布问题，也是想借此吸引更多人关注问题，从而得到更多有用的建议。希望大家能够理解。

送我上去，谢谢。

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12月30号有一位匿名用户在回答里考了我一些题。他说如果做出其中三道将给我推荐书单，但他现在似乎已删除了回答。我想对他说的是：无论你出于什么目的，请不要再用这样的手段欺骗他人。

这些题本身没什么难度，但我打字真的很累的。

以下为原来对他的回复：

很惭愧我只对复分析稍有了解，只能从复分析里挑两道简单的题做。还没开始学实分析。抽象代数刚看到sylow定理，下面第四题感觉有点意思，想尝试一下，但能力有限，最后也没有做完。不过我想做完前三道题应该符合你的要求了，请你实现承诺。

Complex

Question 1.2. What’s the radius of convergence of the Taylor series of 1/(x²+ 1) at 100?

解:

因上述函数在x=100处解析，而解析函数在收敛圆周(收敛圆周的存在性可由Cauchy-Hadamard定理保证)上至少有一奇点。（上述结论可由有限覆盖定理推出）

故该函数泰勒级数的收敛半径为距z=100最近的奇点z=+-i的距离=(100²+1)∧(1/2)

Question 2.10. An entire function f has Re(f) + Im(f) bounded. What can you say about f?

解:

f(z)恒为常数.

证明:由题意得，∃M∈R,使|Re(f)+Im(f)|≤M.构造复函数g(z)=e∧[f(z)(1-i)]，由复合函数的性质可知g(z)也为整函数。而g(z)的模=e∧(Re(f)+Im(f))≤e∧M，故g(z)为有界整函数。由Liouville定理，g(z)=e∧[f(z)(1-i)]恒为常数，于是f(z)(1-i)也恒为常数，显然f(z)恒为常数。

Algebra

Question 1.5. Is normality transitive? That is, is a normal subgroup of a normal subgroup normal in the biggest group?

解:

否。例:K4是A4的正规子群(这可由σ(ab...)σ逆=(σ(a)σ(b)...)直接验证)，但K4的二阶正规子群不是A4的正规子群。

Question 2.5. Classify groups of order 21.

解:

21=3×7，设sylow3-子群个数为n3，sylow7-子群个数为n7，由sylow计数定理易知n3=1或7，n7=1.

分类讨论:

n3=1的情况:

设此21阶群为G.设其3阶子群为H，7阶子群为N，由sylow定理知H,N均为正规子群。因|H∩N|整除3,7，故|H∩N|=1.任取a∈H,b∈N,则a逆b逆ab∈H∩N(由a逆b逆a∈N,b逆ab∈H易得).于是a逆b逆ab=e,即ab=ba，又由a的阶为3，b的阶为7，易知ab的阶为21。故G为21阶循环群。

n3=7的情况:

设此21阶群为G，其七阶子群为N。首先由sylow计数定理知N为正规子群。设X={P1,...P7}为sylow3-子群的集合，由sylow共轭定理，G在X上的共轭作用可递，由此得到同态π:G->S7.

易知Kerπ=P1,...P7的正规化子的交.而Pk(k=1,...7)的正规化子为7阶群，故|Kerπ|=1或7。

|Kerπ|=7的情况:显然P1,...P7的正规化子相等，于是P1是P1的正规化子=P2的正规化子的正规子群，而P2的正规化子的正规子群只有P2，故P1=P2，矛盾。

于是|Kerπ|只能为1.故π:G->S7为单同态。任取a∈P1，b∈N。由P1N的阶=3×7/1=21=G的阶可知，P1N=G,这意味着G可用a∧ib∧j表示。而N为G的正规子群，故要知道G中元素的乘法关系(当然也就确定了G的结构)，只需知道aba逆=b的多少次方。不妨设b在π下的像为(1234567)(因为总有一个七阶元的像为(1234567)，所以这样设是合理的)。由aba逆需等于b的次幂，结合等式σ(ab...)σ逆=(σ(a)σ(b)...)可算知a在π下的可能的像。(我不愿算了)

然后得到P1在π下的像集K，而N在π下的像集是确定的，就是L=<(1234567)>.进而得到G到S7的子群KL的同构。

――――――――――――――

2019年1月最后一次更新：

已经找到K的像集了，应该是<(235)(476)>。

现状：即将期末考试，手机可能会被没收。

寒假想全心学习数学，所以可能也没时间上知乎了。我大概会在下学期开学时再写下自己的情况。

大家的建议我都认真看了，有些评论我可能没有及时回复，但它们都引发了我的思考。谢谢你们！

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