倒格子空间的Berry phase有什么意义？
在固体物理，尤其是凝聚态物理领域，我们常常会遇到一些抽象但又至关重要的概念，它们能够为我们理解材料内在的量子特性提供独特的视角。倒格子（reciprocal lattice）空间和 Berry phase（贝里相位）就是其中两个这样的概念。将它们结合起来思考，我们能够洞察材料在不同物理状态下，乃至在特定外部场扰动下所展现出的奇妙的集体行为。
什么是倒格子空间？
首先，让我们回顾一下倒格子空间的意义。我们知道，晶体材料在实空间中具有周期性的原子排列，这种周期性可以用一组基矢来描述。而倒格子空间则是对实空间周期性的一种傅里叶变换，它同样由一组基矢构成，但其意义在于描述的是晶体中的波矢量（momentum）的周期性。
简单来说，实空间描述的是原子在“哪里”，而倒格子空间则与电子在“动量”上的行为密切相关。在倒格子空间中，布里渊区（Brillouin zone）是一个非常重要的概念，它包含了所有可能的、在晶体中不会重复的波矢量。电子在晶体中的运动，其波矢量就是在倒格子空间中描绘的。
什么是 Berry phase？
Berry phase，或者更准确地说，是几何相位（geometric phase），是由迈克尔·贝里（Michael Berry）在 1984 年提出的一个概念。它描述了当一个量子系统缓慢地沿着一个绝热过程（adiabatic process）演化时，除了通常的动力学相位（dynamical phase）之外，还会获得一个额外的、与演化路径几何性质相关的相位因子。
想象一下，一个量子粒子在围绕一个中心运动，它的状态在某个参数（比如旋转角度）缓慢变化时，也会随之变化。如果这个演化过程足够慢，粒子最终回到初始状态时，它的波函数会多出一个相位因子，这个相位因子只取决于粒子演化的轨迹在某个“参数空间”中所形成的几何形状，而与演化的具体速度无关。
倒格子空间的 Berry phase：隐藏的几何信息
现在，我们将这两个概念结合起来。在倒格子空间中，电子的能带结构（band structure）描述了电子在不同动量下的能量。对于一个具有能隙（energy gap）的材料（比如绝缘体或半导体），电子的运动就局限在这些能带之间。当电子处于一个特定的能带时，它的量子态可以被理解为一个在倒格子空间中某个区域内的波函数。
关键在于，当电子在倒格子空间中沿着一个封闭的路径运动时（例如，当材料受到某种周期性的外部扰动，或者在不同的“参数空间”中进行演化时），它的波函数可能会积累 Berry phase。这个 Berry phase 在倒格子空间中的具体表现，就与材料的拓扑性质紧密相连。
意义何在？
1. 拓扑材料的识别与分类： 这是倒格子空间 Berry phase 最重要的意义之一。很多新型的拓扑材料，比如量子霍尔效应材料、拓扑绝缘体、Weyl 半金属等，它们的奇特性质就源于其能带在倒格子空间中的“拓扑荷”（topological charge）。这个拓扑荷，很大程度上就是由能带在整个布里渊区上的 Berry phase 决定的。
量子霍尔效应： 在量子霍尔效应中，边缘态的导电性是鲁棒的，不受杂质影响。这种鲁棒性就来自于能带在倒格子空间中积累的非零 Berry phase，它决定了边缘态的存在以及其导电的“手性”（chirality）。
拓扑绝缘体： 拓扑绝缘体在体相是绝缘的，但在表面或边缘存在导电的无能隙态。这些表面态的形成和稳定性也与体相能带在倒格子空间中的 Berry phase 息息相关。一个非零的 Berry phase 预示着材料具有一个“拓扑保护”的边缘态。
Weyl 半金属： Weyl 半金属中的 Weyl 点是一种特殊的能带简并点，它们在动量空间中成对出现，并且在穿越这些点时，能带的 Berry phase 会发生反转。这种反转是 Weyl 半金属很多奇特性质（如手征反常）的根源。
2. 描述电荷泵浦和光驱动效应： 当电子在周期性势场中受到电场或光场驱动时，它们的动量会在倒格子空间中发生演化。如果这种演化是沿着一个封闭路径进行的，那么 Berry phase 就能够有效地描述在这个过程中，电子被“泵浦”到哪个方向，或者光能如何转化为电能。
光驱动的电荷转移： 例如，在某些光催化材料中，光激发电子后，它们的动量会在倒格子空间中演化。如果能带结构能够让电子沿着一个闭合路径演化并累积 Berry phase，这可能导致净电荷的定向转移，从而产生光电流。
3. 理解晶格振动和声子： Berry phase 不仅存在于电子的能带中，也可以存在于声子的能带中（即晶格振动的模式）。在倒格子空间中，声子的色散关系同样可以看作是某种“波”的演化。声子的 Berry phase 可以影响晶体的热学性质，比如热导率，甚至在某些情况下与铁电性等现象相关联。
4. 作为一种量子几何工具： 从更基础的层面讲，倒格子空间的 Berry phase 提供了一种将量子态的几何性质量化和分析的方法。它就像是给量子态的演化“打上了几何烙印”，让我们能够区分那些虽然动力学上可能相似，但几何性质却截然不同的量子态。这种几何视角，对于设计和理解具有特定量子功能的材料至关重要。
总结一下：
倒格子空间的 Berry phase 就像是在电子或声子在晶体动量空间中的“旅行地图”上，留下的一张张具有独特“签名”的几何标记。这些标记并非凭空出现，而是材料内部量子态在特定演化过程中的“记忆”。正是这些几何上的信息，揭示了材料深层的拓扑结构，并赋予了它们诸如鲁棒的导电性、奇特的能带结构以及对外部场的特殊响应等非凡能力。
理解倒格子空间的 Berry phase，意味着我们能够更深入地洞察材料在微观层面的量子行为，并为设计下一代高性能电子器件、拓扑量子计算机以及新型功能材料提供理论指导。它将抽象的数学概念转化为对物质世界具体物理现象的深刻解释，是现代凝聚态物理研究中不可或缺的强大工具。
网友意见
本文版权属于新加坡科技设计大学杨声远老师课题组，欢迎转载，如需转载请与小编联系。
能带几何量在物理效应中的作用是凝聚态物理中一个重要的问题。我们已经知道，贝里曲率之于线性霍尔效应，贝里曲率的偶极矩之于二阶霍尔效应，都有着非常重要的影响。贝里曲率导致的反常速度E×Ω，解释了线性反常霍尔效应中不依赖于散射的贡献。在具有时间反演不变性，中心反演破缺的系统中，线性霍尔效应被抑制，Sodemann和傅亮发现贝里曲率的偶极矩会导致非本征的二阶反常霍尔效应[Phys. Rev. Lett. 115, 216806 (2015)] 。从对称性来看，在既有时间反演又有空间反演对称的系统中，三阶反常霍尔效应将会占主导作用，而与之有关的能带几何量是什么呢？
近日，新加坡科技设计大学的刘慧颖博士，黄月新博士，冯晓龙，吴维康博士，杨声远教授、西南科技大学赵建洲教授、香港大学肖聪博士，南洋理工大学的赖屾博士和高炜博教授的研究团队报道了[Phys. Rev. B 105, 045118 (2022)]三阶电流响应的理论，揭示了其与能带几何量——贝里联络极化率的关系。这一公式可以直接应用到具体材料的第一性原理计算中，作者们在单层FeSe材料中数值计算了三阶电流响应的系数。
这个理论是基于高阳教授，杨声远教授和牛谦教授发展的推广到电磁场二阶的半经典动力学方法 [Phys. Rev. Lett. 112, 166601 (2014)] 。电场的高阶修正体现在电场对于能带以及贝里联络的修正上。电场诱导出的贝里联络修正使得能带中电子的运动方程出现正比于电场二阶的反常速度E×[▽k×(GE)]，贝里联络修正关于电场的极化率为贝里联络极化率（简称BCP）张量Gab。贝里联络极化率张量是系统的固有几何量，仅由系统本征能带性质决定。电场对于能带的二阶修正也可以用BCP张量表示为-1/2EaGabEb。将这个推广的半经典运动方程与玻尔兹曼方程结合，我们可以得到总的三阶响应电流和三阶电导率，其中包含正比于弛豫时间τ的一阶和三阶的部分，满足时间反演对称性的要求。
有趣的是作者们发现三阶电导率张量中正比于τ一阶的项，仅仅依赖于BCP张量的导数和费米面上的速度，从而看出BCP的重要作用。而正比于τ三阶的项是类似Drude电导的高阶对应。这两种不同的三阶电导机制可以通过测量其与弛豫时间（低温下正比于纵向电导）满足的标度关系的方法在实验上加以区分。从总的三阶电导率中可以得到无耗散的霍尔电导的部分，然而对于非线性电导，很难从实验上区分耗散部分和无耗散部分，实验能直接测量的是与外加电场方向垂直的横向电流。因此作者们计算了实验上可以直接测量的三阶横向电导率中正比与τ一阶的项，既能探测系统的贝里联络极化率，也能与实验结果做比较。
通过对2D两带Dirac模型的分析，作者们计算了贝里联络极化率张量、电场诱导的贝里曲率，以及当电场在二维面内旋转时，三阶横向电导率的变化，结果如图1和图2所示。2D系统的三阶横向电导会被C3V，C6V，D3，D3h，D6，和 D6h点群对称性所抑制。
在单层FeSe材料中，作者们通过第一性原理计算预测了三阶横向电导率的大小（如图3图4所示）。正方结构的FeSe的空间群是129号P4/nmm群。计算得到的BCP张量符合晶体的对称性，在费米面附近能隙较小的区域，张量大小有显著的增加。计算结果显示三阶横向电导率与纵向电导率的比χ⊥/σ～-1×10-2μm2V-2，明显大于在WTe2材料中实验测量的结果。在另一项工作中[Nat. Nanotech. 16, 869 (2021)] 高炜博教授课题组和杨声远教授课题组联合报道了在过渡金属材料——体态的MoTe2和WTe2中三阶霍尔效应的实验测量结果（此时面内的二阶霍尔效应受到对称性的抑制）实验结果和理论分析也较好地符合。
具有时间反演不变性和空间反演不变性的材料是数目众多的一大类材料。这里发展的三阶响应理论为这一大类材料的电学性质刻画提供了理论基础，将会有广泛的应用。同时这个理论也为体系中的贝里曲率极化率这一几何量提供了新的探测手段。文章作者：刘慧颖，赵建洲，黄月新，冯晓龙，肖聪，吴维康，赖屾，高炜博，杨声远
文章链接：
https:// journals.aps.org/prb/ab stract/10.1103/PhysRevB.105.045118
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