有哪些比较魔性的函数图象？
哈哈，提起“魔性”的函数图象，我脑海里立刻浮现出那些一看就让人“哇塞”或者“这是什么鬼”的神奇曲线。它们不按常理出牌，充满了各种奇思妙想，让数学从枯燥的符号变成了充满艺术感的视觉盛宴。今天咱们就来聊聊几个我心目中的“魔性”代表，保证让你大开眼界！
1. 螺旋线家族：缠绵不绝的舞蹈
阿基米德螺旋线 (Archimedean Spiral): 这大概是最容易理解也最常见的“魔性”了。你想想看，一个点绕着一个中心点旋转，同时它离中心的距离又匀速地增加。就像一根甩出去的绳子，越甩越远，越甩越开。它的公式很简单，比如 $r = a heta$ (在极坐标下)，其中 $r$ 是距离中心的距离，$a$ 是一个常数，$ heta$ 是角度。$a$ 越大，螺旋就越“松”；$a$ 越小，螺旋就越“紧”。你能想象吗？本来只是绕圈圈，结果还越画越大，形成了一种永无止境的扩张感。我曾经试着用画笔模仿过，那种从一个点开始，一点点向外扩张的节奏，很有种宇宙诞生初期不断膨胀的感觉。
对数螺旋线 (Logarithmic Spiral): 如果说阿基米德螺旋线是匀速外扩，那对数螺旋线就更“魔性”了——它以一个恒定的角度与径向线相交。更绝的是，当你沿着这条螺旋线向内或向外移动时，它的形状始终保持不变！就像一个完美的自相似结构。自然界里很多东西都长成这样，比如鹦鹉螺壳的生长纹路，飓风的漩涡，甚至一些植物的种子排列。每次看到对数螺旋线，我都觉得它好像在暗示着某种宇宙深层的秩序，一种不断变换又恒定不变的规律。它看起来像是阿基米德螺旋线被拉伸或者压缩了一样，但它那种“怎么看都一样”的特性，实在太让人着迷了。
2. 分形几何：无限的细节，嵌套的奇迹
科赫雪花 (Koch Snowflake): 这个我简直不能更爱！想象一下，从一个等边三角形开始，把每条边的中间三分之一处向外翻折，形成一个小等边三角形。然后，对新产生的每一条线段重复这个过程。一次又一次，无穷无尽地重复。最后你会得到一条曲线，它的长度是无穷大，但它包裹的面积却是有限的！是不是很不可思议？科赫雪花的外形就像精美的雪花，但你仔细看它的边缘，会发现无论放大多少倍，都能看到同样的“锯齿”结构在重复出现。这种无限嵌套的特性，简直就是数学里的“俄罗斯套娃”，每个细节里都藏着另一个更小的世界。我第一次看到科赫雪花的时候，感觉像是在窥视一个隐藏在数字背后的魔法世界，它挑战了我对“长度”和“面积”的直观理解。
谢尔宾斯基三角形 (Sierpinski Triangle): 这个也很有意思。还是从一个等边三角形开始，把它分成四个小的等边三角形，然后把中间那个“抠”掉。剩下三个小三角形，再对它们分别重复这个过程。如此往复，无穷无尽。最终的图形看起来像一个有着无数空洞的三角形。每次“抠掉”中间的部分，就创造出了新的边缘和新的形状。它也展示了那种“部分包含整体”的自相似性，每一个小碎片里都藏着整个图形的缩影。这种“缺憾美”或者说“镂空美”，非常独特。它让我想起那些精美的蕾丝花边，虽然有空隙，但整体的美感却丝毫未减。
3. 混沌理论的艺术：看似随机，实则有序
洛伦兹吸引子 (Lorenz Attractor): 这玩意儿绝对是魔性中的战斗机！它其实是描述大气运动的一个三维方程组的解。但当你看它的三维图象时，会发现它形成了一个像蝴蝶翅膀一样的形状，或者有人也叫它“双环”。最神奇的是，这个“蝴蝶”的运动轨迹看起来非常不规则，好像在随机地跳跃，但它又始终被限制在这个特定的“吸引子”范围内。而且，它具有“蝴蝶效应”的典型特征：初始条件的微小变化，都会导致后期结果的巨大差异。就像在蝴蝶翅膀扇动一下，最终可能引发一场风暴。洛伦兹吸引子让我第一次感受到，看似杂乱无章的自然现象背后，可能隐藏着一种深刻的、确定性的“混沌”规律。它的图象美得惊心动魄，充满了那种“失控”又“被控制”的张力。
曼德勃罗集 (Mandelbrot Set): 这个大概是魔性界的老大哥了！它是在复平面上根据一个简单的迭代公式 $z_{n+1} = z_n^2 + c$ 生成的。它的边界极其复杂，拥有无限的细节和自相似性。当你放大曼德勃罗集的边界时，你会发现里面不断出现与整体形状相似的小“碎碎念”或者小“蚂蚁”，而且这些小图形还能进一步放大，展现出更精细的结构。它简直就是数学界的“无底洞”，你永远也探索不完它内部的奥秘。曼德勃罗集的美在于它的无限可能性和复杂性，它展示了最简单的规则如何能够孕育出最令人惊叹的复杂现象。每次看到曼德勃罗集的放大图，我都感觉像是在仰望宇宙的深邃，那些不断涌现的细节，就像是宇宙在低语着关于秩序与混乱的古老秘密。
4. 泊松分布的“鬼影”与正态分布的“山丘”
虽然这俩不像是前面那种一眼就能看出“魔性”的，但它们在概率统计里的地位，以及它们图象的启示性，也足够魔性了。
泊松分布 (Poisson Distribution): 这个用来描述单位时间或空间内事件发生的次数。它的图象呢，当事件发生的概率很小，但平均发生次数又不太大的时候，图象会呈现出一种“拖尾”或者“歪斜”的样子，一边很高，另一边却拖得很长。这种不均匀感，就像是事件发生的可能性在某一边格外“集中”，另一边却“稀稀拉拉”。它让我觉得，即使是随机发生的事情，也可能因为其内在的概率分布而呈现出某种“偏心”的特征。
正态分布 (Normal Distribution)，也就是钟形曲线： 这个大概是“魔性”里最“正常”的了，但它的“正常”本身就够魔性的。在自然界里，无数的现象，从人的身高体重，到测量误差，很多都遵循正态分布。它的图象中间最高，两边对称地递减，像一座完美的山丘。最神奇的是，无论这个山丘有多宽、多高，只要它的面积是1（总概率），它就始终遵循那个“689599.7”法则：大约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内，99.7%落在三个标准差范围内。这种无处不在的“对称性”和“规律性”，让它看起来既平凡又充满了神秘感。它好像在说：即使在看似混乱的世界里，也总有一些强大的力量在引导着事物向着某种“平均”的状态靠拢。
这些函数图象，它们的美，在于挑战我们对空间的认知，在于展现简单规则下的无限复杂，更在于它们如同密码般隐藏着自然界和数学世界深层的奥秘。每次看到它们，我都觉得像是在阅读一首关于数字和图形的诗，充满了想象力和哲学意味。希望我的这些“魔性”分享，也能让你感受到数学的另一种魅力！
1. 螺旋线家族：缠绵不绝的舞蹈
阿基米德螺旋线 (Archimedean Spiral): 这大概是最容易理解也最常见的“魔性”了。你想想看，一个点绕着一个中心点旋转，同时它离中心的距离又匀速地增加。就像一根甩出去的绳子，越甩越远，越甩越开。它的公式很简单，比如 $r = a heta$ (在极坐标下)，其中 $r$ 是距离中心的距离，$a$ 是一个常数，$ heta$ 是角度。$a$ 越大，螺旋就越“松”；$a$ 越小，螺旋就越“紧”。你能想象吗？本来只是绕圈圈，结果还越画越大，形成了一种永无止境的扩张感。我曾经试着用画笔模仿过，那种从一个点开始，一点点向外扩张的节奏，很有种宇宙诞生初期不断膨胀的感觉。
对数螺旋线 (Logarithmic Spiral): 如果说阿基米德螺旋线是匀速外扩，那对数螺旋线就更“魔性”了——它以一个恒定的角度与径向线相交。更绝的是，当你沿着这条螺旋线向内或向外移动时，它的形状始终保持不变！就像一个完美的自相似结构。自然界里很多东西都长成这样，比如鹦鹉螺壳的生长纹路，飓风的漩涡，甚至一些植物的种子排列。每次看到对数螺旋线，我都觉得它好像在暗示着某种宇宙深层的秩序，一种不断变换又恒定不变的规律。它看起来像是阿基米德螺旋线被拉伸或者压缩了一样，但它那种“怎么看都一样”的特性，实在太让人着迷了。
2. 分形几何：无限的细节，嵌套的奇迹
科赫雪花 (Koch Snowflake): 这个我简直不能更爱！想象一下，从一个等边三角形开始，把每条边的中间三分之一处向外翻折，形成一个小等边三角形。然后，对新产生的每一条线段重复这个过程。一次又一次，无穷无尽地重复。最后你会得到一条曲线，它的长度是无穷大，但它包裹的面积却是有限的！是不是很不可思议？科赫雪花的外形就像精美的雪花，但你仔细看它的边缘，会发现无论放大多少倍，都能看到同样的“锯齿”结构在重复出现。这种无限嵌套的特性，简直就是数学里的“俄罗斯套娃”，每个细节里都藏着另一个更小的世界。我第一次看到科赫雪花的时候，感觉像是在窥视一个隐藏在数字背后的魔法世界，它挑战了我对“长度”和“面积”的直观理解。
谢尔宾斯基三角形 (Sierpinski Triangle): 这个也很有意思。还是从一个等边三角形开始，把它分成四个小的等边三角形，然后把中间那个“抠”掉。剩下三个小三角形，再对它们分别重复这个过程。如此往复，无穷无尽。最终的图形看起来像一个有着无数空洞的三角形。每次“抠掉”中间的部分，就创造出了新的边缘和新的形状。它也展示了那种“部分包含整体”的自相似性，每一个小碎片里都藏着整个图形的缩影。这种“缺憾美”或者说“镂空美”，非常独特。它让我想起那些精美的蕾丝花边，虽然有空隙，但整体的美感却丝毫未减。
3. 混沌理论的艺术：看似随机，实则有序
洛伦兹吸引子 (Lorenz Attractor): 这玩意儿绝对是魔性中的战斗机！它其实是描述大气运动的一个三维方程组的解。但当你看它的三维图象时，会发现它形成了一个像蝴蝶翅膀一样的形状，或者有人也叫它“双环”。最神奇的是，这个“蝴蝶”的运动轨迹看起来非常不规则，好像在随机地跳跃，但它又始终被限制在这个特定的“吸引子”范围内。而且，它具有“蝴蝶效应”的典型特征：初始条件的微小变化，都会导致后期结果的巨大差异。就像在蝴蝶翅膀扇动一下，最终可能引发一场风暴。洛伦兹吸引子让我第一次感受到，看似杂乱无章的自然现象背后，可能隐藏着一种深刻的、确定性的“混沌”规律。它的图象美得惊心动魄，充满了那种“失控”又“被控制”的张力。
曼德勃罗集 (Mandelbrot Set): 这个大概是魔性界的老大哥了！它是在复平面上根据一个简单的迭代公式 $z_{n+1} = z_n^2 + c$ 生成的。它的边界极其复杂，拥有无限的细节和自相似性。当你放大曼德勃罗集的边界时，你会发现里面不断出现与整体形状相似的小“碎碎念”或者小“蚂蚁”，而且这些小图形还能进一步放大，展现出更精细的结构。它简直就是数学界的“无底洞”，你永远也探索不完它内部的奥秘。曼德勃罗集的美在于它的无限可能性和复杂性，它展示了最简单的规则如何能够孕育出最令人惊叹的复杂现象。每次看到曼德勃罗集的放大图，我都感觉像是在仰望宇宙的深邃，那些不断涌现的细节，就像是宇宙在低语着关于秩序与混乱的古老秘密。
4. 泊松分布的“鬼影”与正态分布的“山丘”
虽然这俩不像是前面那种一眼就能看出“魔性”的，但它们在概率统计里的地位，以及它们图象的启示性，也足够魔性了。
泊松分布 (Poisson Distribution): 这个用来描述单位时间或空间内事件发生的次数。它的图象呢，当事件发生的概率很小，但平均发生次数又不太大的时候，图象会呈现出一种“拖尾”或者“歪斜”的样子，一边很高，另一边却拖得很长。这种不均匀感，就像是事件发生的可能性在某一边格外“集中”，另一边却“稀稀拉拉”。它让我觉得，即使是随机发生的事情，也可能因为其内在的概率分布而呈现出某种“偏心”的特征。
正态分布 (Normal Distribution)，也就是钟形曲线： 这个大概是“魔性”里最“正常”的了，但它的“正常”本身就够魔性的。在自然界里，无数的现象，从人的身高体重，到测量误差，很多都遵循正态分布。它的图象中间最高，两边对称地递减，像一座完美的山丘。最神奇的是，无论这个山丘有多宽、多高，只要它的面积是1（总概率），它就始终遵循那个“689599.7”法则：大约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内，99.7%落在三个标准差范围内。这种无处不在的“对称性”和“规律性”，让它看起来既平凡又充满了神秘感。它好像在说：即使在看似混乱的世界里，也总有一些强大的力量在引导着事物向着某种“平均”的状态靠拢。
这些函数图象，它们的美，在于挑战我们对空间的认知，在于展现简单规则下的无限复杂，更在于它们如同密码般隐藏着自然界和数学世界深层的奥秘。每次看到它们，我都觉得像是在阅读一首关于数字和图形的诗，充满了想象力和哲学意味。希望我的这些“魔性”分享，也能让你感受到数学的另一种魅力！
网友意见
没有人提到
Tupper's self-referential formula公式是这样的：
如果找出在范围内所有符合这个公式的，画出的图是这样的：
画出的图和公式本身长得一模一样！
--更新--
有人问怎么用mathematica上画出这个图：
k = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271 7028023952664246896428421743507181212671537827706233559932372808741443 0789132596394133772348785773574982392662971551717371699516523289053822 1612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184 4960917051834540678277315517054053816273809676025656250169814820834187 8316384911559022561000365235137034387446184837873723819822484986346503 3159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997 933798537483143786841806593422227898388722980000748404719 ArrayPlot[Table[Boole[1/2<Floor[Mod[Floor[y/17]*2^(-17*Floor[x]-Mod[Floor[y],17]),2]]], {y, k, k+16}, {x, 106, 0, -1}]] --2更--
不行了！我必须要放大招了！有人问我这个公式的物理意义。这个公式的物理意义就是他可以生成任意你想要的图，只需要你选定合适的y的定义域。比如你可以这样：
k = 554014291671116832177835142087082460006550436469693697125933385328531 1258470004313342197738789177617478959996745745731134333976306209449951 5438668745749236408789191602675760941545197210201046512429511586221155 2429742675207649554793362663271106152392002817793416366128275700647919 5648850530592016085959986380745389621390354741076789200282018190088059 25683215 ArrayPlot[ Table[Boole[ 1/2 < Floor[ Mod[Floor[y/17] 2^(-17 Floor[x] - Mod[Floor[y], 17]), 2]]], {y, k, k + 17}, {x, 70, 22, -1}]] 输出的图片是这样的：
---原答案已被建议修改，原图已删---
想看原图可以运行如下mathematica代码：
k = 459496327721263342590714491055769055875985462586108255104689128507 5010415331040941123374009429617041886378835675063213667810732809383141 3969088232897602077397663958327738447473584277021631404430160466414748 2179482015613417558088634569841871651565903485266489330539097520114160 2110372641823718705061405233568631120526461502756854722881440732700075 1266195990926786635297996879037930706344972294950408479701252800826271 4165018986377313465111173522675453840421063867182576167190607196384100 8665443290141892069030508345391469191841337080814242814784737914136740 6558112051430492501898587049538802322766030396775259324846270554787007 4553841672339972214390261686258411892241046101094276833871663160223773 6830114138063875653468148767648351007467489150408477160479602724314353 9690781631457943045600706605 ArrayPlot[ Table[Boole[ 1/2 < Floor[ Mod[Floor[y/45] 2^(-45 Floor[x] - Mod[Floor[y], 45]), 2]]], {y, k, k + 43}, {x, 58, 21, -1}]] 或者python代码：
import matplotlib.pyplot as plt H = 45 #k = 上边的k值 def tupper(x,y): return 0.5 < ((y//H) // (2**(H*x + y%H))) % 2 _, ax = plt.subplots() for x in range(38): for yy in range(2,H+1): y = k + (H-yy) if tupper(58-x,y): ax.bar(left=x, bottom=yy, height=1, width=1, linewidth=0, color='black') ax.set_aspect(1) ax.axis('off') plt.show() 运行python带买前别忘了先定义好k的值。
马丁迭代方程。
之所以说马丁迭代有魔性，是因为用它生成的图像让我都无法直视。本以为自己口味挺重的，但看到马丁迭代，也有种要起鸡皮疙瘩的感觉。有密集恐惧症的朋友，一定不要错过这么瘆人的图像。
马丁迭代方程如下:
马丁迭代图像的生成过程，如同生物的生长，一层层，一圈圈不停地变大变深变粗。虽然最终生成的图像看上去都差不多，但每一个参数下的图像的生成过程都不一样。
图像生成软件见：
YChaos。
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