为什么要用乘法计算面积？

想象一下，我们回到很久很久以前，那时候还没有电脑，也没有尺子。我们想知道一块田地有多大，怎么做呢？

最原始的方法可能就是“铺满”。我们找一些小石头，一块一块地在田地里摆，直到完全覆盖住它。数一数用了多少小石头，我们就大概知道这块田有多大了。但这有个问题，如果田地形状不规则，我们怎么铺才能尽量贴合呢？而且，小石头的大小不一样，结果也不一样。

后来，人们发现，如果我们有一个标准的长方形的物体，比如一块统一大小的地砖，我们就可以用它来“丈量”。我们就可以想象着，把这些地砖一块挨着一块，整整齐齐地铺满这块田地。

这时候，我们就会发现一个有趣的规律。如果我们用地砖铺一块长方形的田，比如长是3块地砖，宽也是3块地砖，那么我们总共需要的地砖数量，是不是正好是3个一排，总共有3排？也就是说，我们只需要数一数第一排有几块地砖，然后乘以这个排数，就能得到总数了。

比如，长是5块地砖，宽是3块地砖。你可以想象一下，就是5个一排，总共3排。那么，总共需要的地砖就是 5 + 5 + 5 = 15 块。或者，3个一排，总共5排，那也是 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 块。

你看，无论你怎么数，结果都是一样的。而这种“重复相加”的行为，正是乘法的本质。

乘法，本质上就是一种“快速相加”。 3 乘以 5，就是把 5 这个数字重复加 3 次（5+5+5），或者把 3 这个数字重复加 5 次（3+3+3+3+3）。两者结果是一样的，都是 15。

那么，为什么长方形的面积可以用“长乘以宽”来计算呢？

正是因为长方形的“形状”非常规则，它是由很多个相同长度的单位长度组成的“行”和很多个相同宽度的单位宽度组成的“列”所构成的。

我们把长方形想象成一张由小正方形组成的网格。 如果长是 5 个单位长度，宽是 3 个单位长度，那么这张网格就会有 5 列，每一列有 3 个小正方形。总共的小正方形数量，就是 5 列 3 个/列 = 15 个小正方形。

反过来想，就是 3 行，每一行有 5 个小正方形。总共的小正方形数量，就是 3 行 5 个/行 = 15 个小正方形。

这里的“小正方形”，就是我们用来度量面积的单位，比如平方厘米、平方米等等。它们都是边长为1个单位长度的正方形。

所以，当我们说一个长方形的面积是“长乘以宽”时，我们其实是在说，如果我们用边长为1单位长度的正方形去填满这个长方形，总共需要多少个这样的正方形。

长方形的长度决定了它“横向”可以容纳多少个单位长度的线段，而宽度则决定了它“纵向”可以容纳多少个单位长度的线段。当你把这两个方向上的单位数量“组合”起来时，就形成了一个由无数个单位正方形组成的整体，而乘法恰好能高效地计算出这个整体中小正方形的总数。

这就像你在搭建一个积木墙。你知道每一层可以放多少块积木，也知道你总共要搭多少层。最直接的办法就是一层一层地加，但如果你直接把每层放的积木数量乘以总层数，就能更快地知道总共需要多少积木了。

因此，使用乘法来计算长方形的面积，并不是一种凭空而来的规定，而是数学上为了高效、准确地描述和计算我们生活中遇到的这种规则形状的“空间大小”而发展出来的一种非常自然且方便的工具。它直接反映了长方形的构成方式：由重复的、有规律的单元组成的。

网友意见

感觉 @serter666 对测度的内容写的很完善了，我在这里稍微补充一下（也就是涉及到区间 的长度的部分）。

我们考虑计算出一个矩形（尚未定义）的面积，首先需要先得到实数轴 上的闭区间 的长度。在此之后，可以借助区间的Descartes积，定义 中的闭矩形。

要得到区间的长度，最“自然”的想法，就是数一下这个区间 中到底有多少个“点”。

沿用Terence Tao在《An introduction to measure theory》中的记号，对于实数 和 的子集 ，记 ，同时用 来表示集合 中的元素个数。

第一步，我们可以数出区间 中的整点所构成的集合 中的元素个数，并且根据上面的记号，个数可以表示为 。

更进一步，我们可以得到以 为分母的有理点的个数 。

直观上，我们可以得到，随着 的增大， 的数量也会越来越大。如果考虑以 为单位长度的话，这个数值会越来越接近区间 的“长度”的 倍。

从而，我们定义区间 的长度

作为例子，我们考虑计算闭区间 的长度。

集合 的元素个数为 ，其中 为Gauss取整函数，结合不等式 ，立即得到

根据夹逼准则知

接下来，我们给出 中的闭矩形的定义。设 是 上的闭区间，则定义

为 中的闭矩形。

特别地，对 ，记 ，则有

同时，考虑 中的矩形

其也符合我们对二维的矩形的认识。

将上面的区间长度 的计算公式作推广，可以用类似的方法，得到 中的闭矩形的“面积”（或称为测度）的计算公式为

在这样的定义下，可以发现

从而我们发现，一个闭矩形的面积就等于构成这个闭矩形的区间的长度的乘积。

作为一个推论，对于实数 及 ，我们也得到了二维平面内的闭矩形 的面积为 。

乘法难道不是加法的简写吗。

1 * 100 就是 1 + 1 + 1 + ... + 1 一共加 100 次的简写。

如果有个房间要铺地板，

把所有格子的数目加起来就是地板的面积。

人发明了乘法（简写）， 也许就是为了偷懒。

不愿意加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加。

定积分不也是加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加吗？

大家都知道，俺没啥文化， 初中毕业。

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俺知乎阅读总量只有 0.7亿 没跨出一小步 (n<1亿)。盐值低迷（半年了还900）希望长点盐值。俺的回答您当笑话看看就算了， 别太当真， 不然会被贴吧网友耻笑。

“老麦， 大家都说你是笑话、论坛孤儿和神棍。”

“没错。 只有十万分之0.5的读者赞同俺的观点。”

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