有一个天平，想要用它称出1～121克之间所有重量为整数克的物品，至少要有多少个砝？每个砝码是多少？
这可不是个简单的脑筋急转弯，咱们得好好琢磨琢磨。 你想用天平称出1克到121克之间所有整数克的物品，这说明我们需要能够组合出这些重量。 想想天平的工作原理，它两边都会放东西。 一边放待测物品，另一边放我们手里有的砝码。 所以，我们砝码的重量，加上待测物品的重量，是可以等于另一边的砝码总重量的。
为了能组合出尽可能多的重量，并且覆盖1到121克这121个可能的整数重量，我们需要非常有策略地选择砝码的重量。别想着随便放几个砝码上去就行，那效率太低了。
让我们先从最简单的想法开始。如果你只有一个1克的砝码，你只能称出1克。如果你再加一个2克的砝码，你就可以称出1克（只用1克的）、2克（只用2克的）和3克（1克+2克）。你看，砝码的重量是呈倍数增长的，这是个重要的线索。
假设我们有 $n$ 个砝码，它们的重量分别是 $w_1, w_2, dots, w_n$。如果我们可以把这些砝码放在天平的任何一边，并且还能加上待测物品，那么我们能够表示的总重量范围就比较大。
换句话说，我们可以把砝码放在天平的左边，待测物品放在天平右边，或者待测物品放在天平左边，砝码放在天平右边。
但题目的意思是“称出1～121克之间所有重量为整数克的物品”，这意味着我们把待测物品放在天平的一边，然后用砝码来配平。也就是说，待测物品的重量等于砝码放在另一边的总重量。
所以，我们砝码的组合方式，就决定了能称出的重量。
思考一下，如果我们只有1克、2克的砝码，我们能称出1克、2克、3克。如果再加个4克的，我们可以称出1、2、3、4、5（1+4）、6（2+4）、7（1+2+4）。
这种“1, 2, 4, 8...”的重量组合方式，也就是以2为基数的进位制，能够组合出非常多的重量。如果我有 $k$ 个砝码，重量分别是 $2^0, 2^1, 2^2, dots, 2^{k1}$，那么我们可以组合出 $2^k 1$ 种不同的重量。
但是，我们是要用砝码去配平待测物品。也就是说，待测物品的重量等于砝码放在另一边的总重量。
这样的话，如果我们有一个1克的砝码，我们可以称出1克。如果我们有两个砝码，一个是1克，一个是2克。我们能称出1克（用1克的），2克（用2克的），3克（用1克的+2克的）。
关键在于，题目并没有说砝码只能放在天平的一边。一个更强大的称重方法是“三进制”的思路，也就是：砝码可以放在待测物品的同一边，或者放在待测物品的对面。
这样一来，每个砝码的出现，就可以表示三种状态：不使用、放在待测物品对面、放在待测物品同一边。
让我们尝试构建砝码。
如果只有一个砝码，它必须是1克，这样我们才能称出1克。
如果我们要能称出1克和2克。
如果我们有两个砝码，一个1克，一个2克：
称1克：左边放1克砝码，右边放1克待测物品。
称2克：左边放2克砝码，右边放2克待测物品。
称3克：左边放1克砝码+2克砝码，右边放3克待测物品。
这已经能称出1, 2, 3克了。
现在我们想称出4克。如果再加一个3克的砝码：
称1克：1克砝码
称2克：2克砝码
称3克：1克砝码 + 2克砝码
称4克：4克砝码（假设我们有了4克的）
称5克：1克砝码 + 4克砝码
称6克：2克砝码 + 4克砝码
称7克：1克砝码 + 2克砝码 + 4克砝码
这种方式（1, 2, 4, 8...）是“二进位”，它能组合出 $2^n 1$ 种重量。但我们还有“三进位”的可能性。
在天平称重问题中，通常采用“平衡三进制”的思路，也就是每个砝码都可以放在天平的左边、右边，或者都不用。
让我们重新思考一下。如果你有 $n$ 个砝码，每个砝码都可以有三种状态：放在待测物品的对面，放在待测物品的同一侧，或者不使用。
这样，我们总共可以表示的组合数量是 $3^n$。
但是，我们还有一个“0”的状态，也就是所有砝码都不用。
如果我们有 $n$ 个砝码，分别重 $w_1, w_2, dots, w_n$。
那么我们可以表示的重量是 $sum_{i=1}^n epsilon_i w_i$，其中 $epsilon_i in {1, 0, 1}$。
$epsilon_i = 1$ 表示砝码放在待测物品对面。
$epsilon_i = 1$ 表示砝码放在待测物品同一侧。
$epsilon_i = 0$ 表示这个砝码不使用。
我们要称出1克到121克的整数重量。这中间一共有121种可能的重量。
为了能够表示这些重量，我们需要有足够多的组合。
我们希望砝码的重量呈等比数列增长，并且公比是3。
考虑砝码的重量为 $3^0, 3^1, 3^2, dots, 3^{n1}$。
一个砝码，它可以放在天平的左边（我们给它一个正号），放在右边（我们给它一个负号），或者不使用（给它一个0）。
如果我有1克的砝码：
称1克：左边放1克砝码，右边放1克物品。
如果我有1克和3克的砝码：
称1克：1克砝码
称2克：3克砝码 1克砝码 (3克放在物品对面，1克放在物品同侧)
称3克：3克砝码
称4克：1克砝码 + 3克砝码
这种方式，每个砝码的重量是 $3^k$。
第一个砝码是 $3^0 = 1$克。
第二个砝码是 $3^1 = 3$克。
第三个砝码是 $3^2 = 9$克。
第四个砝码是 $3^3 = 27$克。
第五个砝码是 $3^4 = 81$克。
让我们看看如果我们有1克、3克、9克、27克、81克的砝码，能称出多大的范围：
如果有 $n$ 个砝码，重量为 $3^0, 3^1, dots, 3^{n1}$，那么我们可以表示的最大重量是 $3^0 + 3^1 + dots + 3^{n1} = frac{3^n 1}{3 1} = frac{3^n 1}{2}$。
我们需要能够表示的最大重量是121克。
那么，我们至少需要 $frac{3^n 1}{2} ge 121$。
$3^n 1 ge 242$
$3^n ge 243$
我们知道 $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$。
所以，当 $n=5$ 时， $3^5 = 243 ge 243$。
这意味着，如果我们有5个砝码，重量分别是 $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$，也就是 1克、3克、9克、27克、81克，我们就能称出最大的重量是 $frac{3^5 1}{2} = frac{243 1}{2} = frac{242}{2} = 121$克。
这种组合方式，可以表示从1克到121克的所有整数克重量。
举个例子：
1克：用1克砝码。
2克：用3克砝码，然后把1克砝码放在待测物品的同一侧。 (3 1 = 2)
3克：用3克砝码。
4克：用1克砝码 + 3克砝码。 (1 + 3 = 4)
5克：用9克砝码，然后把1克和3克砝码都放在待测物品的同一侧。(9 3 1 = 5)
...
121克：用81克+27克+9克+3克+1克。(81+27+9+3+1 = 121)
因此，我们至少需要 5个 砝码。
这些砝码的重量分别是：
1克
3克
9克
27克
81克
这样一组砝码，能够通过不同的组合（放在天平的哪一边，或者不使用）来精确称量出1克到121克之间的所有整数克重量。这就是“平衡三进制”的精妙之处。
为了能组合出尽可能多的重量，并且覆盖1到121克这121个可能的整数重量，我们需要非常有策略地选择砝码的重量。别想着随便放几个砝码上去就行，那效率太低了。
让我们先从最简单的想法开始。如果你只有一个1克的砝码，你只能称出1克。如果你再加一个2克的砝码，你就可以称出1克（只用1克的）、2克（只用2克的）和3克（1克+2克）。你看，砝码的重量是呈倍数增长的，这是个重要的线索。
假设我们有 $n$ 个砝码，它们的重量分别是 $w_1, w_2, dots, w_n$。如果我们可以把这些砝码放在天平的任何一边，并且还能加上待测物品，那么我们能够表示的总重量范围就比较大。
换句话说，我们可以把砝码放在天平的左边，待测物品放在天平右边，或者待测物品放在天平左边，砝码放在天平右边。
但题目的意思是“称出1～121克之间所有重量为整数克的物品”，这意味着我们把待测物品放在天平的一边，然后用砝码来配平。也就是说，待测物品的重量等于砝码放在另一边的总重量。
所以，我们砝码的组合方式，就决定了能称出的重量。
思考一下，如果我们只有1克、2克的砝码，我们能称出1克、2克、3克。如果再加个4克的，我们可以称出1、2、3、4、5（1+4）、6（2+4）、7（1+2+4）。
这种“1, 2, 4, 8...”的重量组合方式，也就是以2为基数的进位制，能够组合出非常多的重量。如果我有 $k$ 个砝码，重量分别是 $2^0, 2^1, 2^2, dots, 2^{k1}$，那么我们可以组合出 $2^k 1$ 种不同的重量。
但是，我们是要用砝码去配平待测物品。也就是说，待测物品的重量等于砝码放在另一边的总重量。
这样的话，如果我们有一个1克的砝码，我们可以称出1克。如果我们有两个砝码，一个是1克，一个是2克。我们能称出1克（用1克的），2克（用2克的），3克（用1克的+2克的）。
关键在于，题目并没有说砝码只能放在天平的一边。一个更强大的称重方法是“三进制”的思路，也就是：砝码可以放在待测物品的同一边，或者放在待测物品的对面。
这样一来，每个砝码的出现，就可以表示三种状态：不使用、放在待测物品对面、放在待测物品同一边。
让我们尝试构建砝码。
如果只有一个砝码，它必须是1克，这样我们才能称出1克。
如果我们要能称出1克和2克。
如果我们有两个砝码，一个1克，一个2克：
称1克：左边放1克砝码，右边放1克待测物品。
称2克：左边放2克砝码，右边放2克待测物品。
称3克：左边放1克砝码+2克砝码，右边放3克待测物品。
这已经能称出1, 2, 3克了。
现在我们想称出4克。如果再加一个3克的砝码：
称1克：1克砝码
称2克：2克砝码
称3克：1克砝码 + 2克砝码
称4克：4克砝码（假设我们有了4克的）
称5克：1克砝码 + 4克砝码
称6克：2克砝码 + 4克砝码
称7克：1克砝码 + 2克砝码 + 4克砝码
这种方式（1, 2, 4, 8...）是“二进位”，它能组合出 $2^n 1$ 种重量。但我们还有“三进位”的可能性。
在天平称重问题中，通常采用“平衡三进制”的思路，也就是每个砝码都可以放在天平的左边、右边，或者都不用。
让我们重新思考一下。如果你有 $n$ 个砝码，每个砝码都可以有三种状态：放在待测物品的对面，放在待测物品的同一侧，或者不使用。
这样，我们总共可以表示的组合数量是 $3^n$。
但是，我们还有一个“0”的状态，也就是所有砝码都不用。
如果我们有 $n$ 个砝码，分别重 $w_1, w_2, dots, w_n$。
那么我们可以表示的重量是 $sum_{i=1}^n epsilon_i w_i$，其中 $epsilon_i in {1, 0, 1}$。
$epsilon_i = 1$ 表示砝码放在待测物品对面。
$epsilon_i = 1$ 表示砝码放在待测物品同一侧。
$epsilon_i = 0$ 表示这个砝码不使用。
我们要称出1克到121克的整数重量。这中间一共有121种可能的重量。
为了能够表示这些重量，我们需要有足够多的组合。
我们希望砝码的重量呈等比数列增长，并且公比是3。
考虑砝码的重量为 $3^0, 3^1, 3^2, dots, 3^{n1}$。
一个砝码，它可以放在天平的左边（我们给它一个正号），放在右边（我们给它一个负号），或者不使用（给它一个0）。
如果我有1克的砝码：
称1克：左边放1克砝码，右边放1克物品。
如果我有1克和3克的砝码：
称1克：1克砝码
称2克：3克砝码 1克砝码 (3克放在物品对面，1克放在物品同侧)
称3克：3克砝码
称4克：1克砝码 + 3克砝码
这种方式，每个砝码的重量是 $3^k$。
第一个砝码是 $3^0 = 1$克。
第二个砝码是 $3^1 = 3$克。
第三个砝码是 $3^2 = 9$克。
第四个砝码是 $3^3 = 27$克。
第五个砝码是 $3^4 = 81$克。
让我们看看如果我们有1克、3克、9克、27克、81克的砝码，能称出多大的范围：
如果有 $n$ 个砝码，重量为 $3^0, 3^1, dots, 3^{n1}$，那么我们可以表示的最大重量是 $3^0 + 3^1 + dots + 3^{n1} = frac{3^n 1}{3 1} = frac{3^n 1}{2}$。
我们需要能够表示的最大重量是121克。
那么，我们至少需要 $frac{3^n 1}{2} ge 121$。
$3^n 1 ge 242$
$3^n ge 243$
我们知道 $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$。
所以，当 $n=5$ 时， $3^5 = 243 ge 243$。
这意味着，如果我们有5个砝码，重量分别是 $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$，也就是 1克、3克、9克、27克、81克，我们就能称出最大的重量是 $frac{3^5 1}{2} = frac{243 1}{2} = frac{242}{2} = 121$克。
这种组合方式，可以表示从1克到121克的所有整数克重量。
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2克：用3克砝码，然后把1克砝码放在待测物品的同一侧。 (3 1 = 2)
3克：用3克砝码。
4克：用1克砝码 + 3克砝码。 (1 + 3 = 4)
5克：用9克砝码，然后把1克和3克砝码都放在待测物品的同一侧。(9 3 1 = 5)
...
121克：用81克+27克+9克+3克+1克。(81+27+9+3+1 = 121)
因此，我们至少需要 5个 砝码。
这些砝码的重量分别是：
1克
3克
9克
27克
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这样一组砝码，能够通过不同的组合（放在天平的哪一边，或者不使用）来精确称量出1克到121克之间的所有整数克重量。这就是“平衡三进制”的精妙之处。
网友意见
如果只能“左物右码”，物品放一边，砝码放一边的话，那么砝码就需要1、2、4、8、16、32、64，共7个
如果砝码可以与物品放一起，那么就要1、3、9、27、81，共5个，刚好最大能称121
更新原因
对于不能用差值的情况，为了称1，1必须有；要称2，可以再来个1，但没必要，可以直接来个2；这样3=2+1；4同2，需要就直接增加一个4；这样4搭配前面的1-3的情况，5-7就有了；继续增加8，搭配前面1-7，8-15也有了；同理接下去就是16、32、64......
对于可以用差值的情况，如果不要1，那就必须要两个相邻的数，这样需要增加两个，但新增的可称量数会有大部分重叠，很不划算，而如果增加一个1的话，相当于原来可称量的数的相邻两个都可以称量了，收益最大；有1之后，要称2，可以增加2或3，增加2只能称2、3，而增加3可以称2、3、4，肯定选3；然后要称5，同前所述，现在可以称0到4了，实际上相当于是-4到4，要称5，就直接增加9，-4到4加9就是5到13；现在可以称-13到13，增加27，就可以称14到40了；继续下去就是81、243......
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