如何解释「玻尔兹曼大脑」？

国内的各种所谓的“百科”，看看一笑就好了，别信。玻尔兹曼大脑所探讨的，根本不是什么“宇宙归结于意识”这样的东西，而是“时间之箭”与“时间对称”的矛盾。

这个矛盾是这样的：

• 从物理学的微观定律来看，时间是没有方向的：时间的正演与反演都不违背物理定律。
• 从热力学第二定律来看，熵是单调增的，是有方向的：时间反演将导致熵减，违背第二定律。

关于时间对称性，在很多科普书籍都谈到过。简言之，如果我们把一个物理过程录像下来，事后我们放映时，无论正方还是倒放，都满足物理定律。比如说，某人从比萨斜塔上扔下一个铁球，把铁球的下落过程用一个DV拍下来。在放映的时候，“正放”这个视频，是铁球自由落体，“倒放”则是铁球竖直上抛 – 我们知道，它们所涉及的定律是完全一样的，从视频中，你根本无法区分何为正放何为倒放。

在量子力学中，道理也是相同的。这里我就不详细展开了，总而言之，量子力学也是时间对称（是的，也包括波函数坍缩，关于这部分请参考Aharonov，Bergmann，Lebowitz，1964 ）的。对一个量子过程，同样我们无法判断“正放”还是“倒放”。（涉及到弱相互作用的过程会不满足这种反演对称，但是这个与热力学不对称没有关系，这里略过不提。）

但是，对一个热力学系统，这种对称性显然不成立。比如说，牛奶加入咖啡中，我们会发现牛奶与咖啡的互溶过程，而从来没有看到过均匀的一杯卡布奇诺变成了咖啡和牛奶。如果有人给你“倒放”这个过程，你一眼就可以看出来。

现在的问题就是，既然热力学系统都是由微观粒子构成的，而微观粒子满足时间对称的运动定律，那么为何作为一个整体这种对称性就不存在了呢？

我们可以把时间维度类比于空间维度，时间的“先后”类比于空间的“左右”，微观的基本物理定律对这种类比毫无压力。但是这种类比有一个显著不同，空间的左右时没有分别的，我们可以向左走，也可以向右走，我们可以观察左边，也可以观察右边；然而时间的先后却明显不同：历史和未来时不同的，我们总是从历史走向未来，我们只能回忆历史，却不能回忆未来。“左右”时对称的，而“先后”则明显时不对称的。从基本物理定律来看，时间不应该表现出这种不对称性 - 时间不应该由箭头。所以这个问题又被称作“时间之箭”问题。

熵增与时间反演之间的矛盾，在统计力学的发展时期，就曾经有过激烈的争辩，这个辩论基本上是玻尔兹曼vs全世界，颇有悲剧史诗的色彩 - 最悲剧之处在于，1905年爱因斯坦通过布朗运动的研究实锤了原子的存在，而对此尚不知情的玻尔兹曼却在1906年郁闷中自杀。

这个辩论中最著名的，就是洛施米特（Loschmidt）提出的所谓的时间反演悖论，也被叫做洛施米特悖论。这个悖论是这样说的：如果热力学性质真的是大量微观粒子所表现出来的整体性质，那么，对一个系统，如果我们把它的速度全部同时反向，它必然会沿着历史的路径原封不动地回到起点，那么这个过程中熵就会减少，违背了热力学第二定律。所以说，热力学性质必须是独立于粒子运动的单独的定律，而不是大量粒子的统计结果。

这个诘难其实非常尖锐且有效。这让玻尔兹曼很是头痛了一段时间，并最终催生了著名的玻尔兹曼熵的定义。玻尔兹曼后来回应道，热力学第二定律不是一个必然的规律，而是统计性的。熵不必总是增加，而是有极大可能增加。

这就是现在一般科普中的解释，它把熵增 – 进而使时间之箭 - 归结统计解释。也就是说，在所有可能的状态中，高熵态出现的概率极高，而低熵态出现的概率极低。所以说，对于一个处在低熵态的系统，它几乎必然向着高熵态演化 - 它几乎必然熵增。

如下图，我们用一个空间来表示一个系统所能出现的所有可能状态 - 这个空间在物理学中被称为“相空间”。那么这个空间中几乎所有的体积都是高熵的，而只有非常非常小的体积对应着低熵（阴影部分）。那么我们就很容易理解熵增的原因了：它不是一定会发生，但是它发生的概率无限接近100%。这就是熵的统计解释。

关于相空间，请参考我的专栏：

我们可以举一个简单类比：在一个台球桌上，有着随机运动的台球（台球桌面类比于整个相空间）。我们在桌子上点一个墨点（墨点类比于非平衡态的相体积）。在某一瞬间，我们发现球恰好在墨点的位置，我们问，这个球未来会朝何处运动？答案不言而喻：它几乎必然向着远离墨点的方向运动（熵增）- 虽然台球的运动可以是可逆的。

一般科普也就止步于此了。但是事情并非那么简单。因为这个解释中，本身隐含了不可逆的前提，也就是在用不可逆的前提来解释不可逆的结果。这个隐藏的前提在哪儿呢？我们不妨引用一下前面出现的句子：

“对于一个处在低熵态的系统，它几乎必然向着高熵态演化 ……”

请注意其中黑体的部分，这就是那个隐含的前提。我们的前提就是系统在初始时刻处于低熵。在这里，我们把开始限制在低熵状态，那么未来的熵当然会更高。这不是物理，而是单纯的逻辑。

我们反过来可以问这样一个问题：

“对于一个处在低熵态的系统，它历史上从何种状态演化而来？”

那么，我们用玻尔兹曼同样的逻辑，就可以说：在所有可能的状态中，高熵态出现的概率极高，而低熵态出现的概率极低。那么现在的低熵态几乎必然是从历史上的高熵态演化而来。回到我们前面那个台球桌的类比。我们知道，当我们发现台球桌上的台球恰好位于墨点的位置，我们知道，它必将向着远离墨点的位置运动。然而同时我们也有同样的信心认为，它必然来自远离墨点的地方，历史上它是向着墨点运动的。

也就是说，同样的统计诠释，给我们了一个完全相反的答案：历史上必然是熵减的！

所以说，熵的统计解释完全不能解释时间之箭的问题。我们等于把这个问题向后推了一步，把”熵为何增加“变成了”我们现在的低熵态是怎么来的？“这种问题了。

对这种问题，我们有两种答案：

第一种，就是我们认为熵增定律是一个普世定律，那么据此回推，我们就必然会达到一个宇宙的起点：一个熵极低的状态。那么，热力学第二定律无外乎说了两件事。第一件就是统计诠释：低熵态几乎不可能出现；而第二件则是初始条件假说（past hypothesis）：宇宙起源于低熵态。既然起点是低熵，那么它向着高熵演化就不言而喻了。至于为何宇宙起源于低熵，热力学并没有做出任何解释，这个问题现在仍然是个迷。当然也有人认为，这不是迷，这连个问题都不算 - 这是一个单纯的事实，仅此而已。物理问题本来就是运动方程和初始条件共同构成、缺一不可的。运动方程说的是物理定律，而初始条件则是独立于运动方程的。用物理定律去解释初始条件，无异于缘木求鱼。

按照这种思路，正是因为宇宙起源于某个极低熵的状态，它才在演化过程中一直熵增。那么宇宙的起点到底是什么状态？熵为何极低？现在这是个宇宙学的热点问题，但是却与本问题无关，所以我不多说了。

第二种，也就是玻尔兹曼的立场，则是全盘认可我们上述的逻辑。没错，现在的低熵态就是在历史上某个时刻从高熵态演化而来的。因为现在是低熵，所以未来我们向着高熵演化。这就是玻尔兹曼大脑的最初源头。

那么，按照这种看法，热力学第二定律是不是就不再普适了呢？对，也不对，玻尔兹曼说，现在的熵增定律虽然只是宇宙演化历史中的一瞬间中的暂时现象，但是它只是一种偏离平衡态的涨落现象，并不违背背后的统计力学原理。

何为涨落呢？我们不妨先用一个简单的例子来说明一下：理想气体的压力。

如图所示，我们都知道压力是大量的气体分子不停地撞击受力面（如活塞）的综合平均。在任一时刻，总有大量的分子在撞击活塞，于是我们就感觉到持续稳定的压力。但是，很容易想象的是，在每一个时刻，撞击在活塞上的分子数目、以及每一个分子的撞击激烈程度都是不同的。只是因为分子的数量实在是太大了，所以这种差异就被平均抹平了。但是它总是在平均值的周围有所波动的。如果我们有非常精确的仪器，我们将会测得活塞的受力总是在微微波动的，而不是完全稳定的 - 只不过这种波动实在是太小，我们感觉不出来而已。这些波动，就是涨落。

如果我们等候足够长的时间，总有某些时刻，所有这些分子恰巧都没撞击在活塞上，在这一刻，活塞感到的受力就会突然消失了 - 这就是一个大的涨落。我们可以想象，越是大的涨落，就越不容易出现，而非常微小的涨落，则总是不停地发生这。

我们还可以想象的是，在只有少量分子的容器里，这种涨落发生的频率就比较高 - 因为少量分子不容易均匀。而在我们的宏观系统中，由于分子数目极多（>10^23个），分子就会很均匀，我们就几乎感觉不到这种涨落。

也就是说，涨落发生的概率受到两种情况的影响：

1. 涨落的“大小”，也就是说偏离平衡态的程度。越大的涨落，发生的概率就越低。
2. 发生涨落的系统的大小，越大的系统，发生涨落的概率就越低。

事实上，这里有一个数学关系，叫做涨落定理（Fluctuation Theorem，FT），我不在这里列出公式了。这个定理表明，涨落发生的概率，是与上述两个因素的指数成反比的。看到“指数”我们就知道，这两个因素对涨落的概率影响堪称恐怖。

我们可以用相空间的图形形象地表示一下这个过程。我们知道，在相空间中，低熵态所占有的体积是非常非常小的。但是，这种非常小的体积却是以一种“分形”的方式均布在整个相空间中的。就像是一碗拉面，一小团面团，拉成面条之后却可以填充到一个大碗里面。

一个系统的演化，就是相空间中的一条轨迹曲线。所以在这个演化过程中，它不可避免地就会不停地穿越那些低熵区域。绝大多数这种低熵区，偏离平衡态非常小，乃至于几乎与平衡态没有区别，但是，极少见地，也会出现一个较大的偏离，这就成了一个宏观上很显著的涨落。（请不要被我这张图误导，为了表示形象，这里把非平衡态的区域放大了，事实上，真的按比例画出来的话，低熵区所占的体积全部加起来也会远远小于一个像素点）。

从这张图上我们就可以看出玻尔兹曼的逻辑了：在宇宙漫长的演化史上，绝大多数时间它是处于平衡态（高熵态）的，并且保持这种平衡态。但是偶尔它会偏离一下。而绝大多数这种涨落都是宏观上不显著的。然而，如果我们认为宇宙的演化时间有无穷长的话，总有一些时刻会发生较大的涨落 - 有时候，涨落大到不可思议，大到产生了我们现在的低熵宇宙。

那么，我们现在这种低熵的宇宙状态，只不过是一次概率极小，但是在无穷无尽的时间中必然发生的一次涨落。在涨落的初期，的确是熵减的，而我们现在正在从涨落中回归平衡态，因而就是熵增的。这就是玻尔兹曼对现在的低熵态来源的解释。

但是我们可以对这个观点进一步分析。

宇宙是极大的，我们现在偏离平衡态是极远的。根据涨落定理，我们这种宇宙出现的概率就是极低极低的 - 远远低于一只猴子随机地用打字机敲出全套莎士比亚全集的概率，甚至远远低于世界上所有的猴子每一只都敲出一套莎翁全集的概率。

相比之下，这样一种情况的概率就高的多：宇宙中仅仅是我们观测到的部分产生了这种涨落，而其余的部分仍然处于平衡态 - 也就是热寂态。这样一来我们就把涨落的范围大大降低了，因而可能性就极大提高了。与部分宇宙的涨落相比，整个宇宙的涨落概率就是小到不可能的。

那么我们沿着这条思路继续走下去，我们把这个涨落的范围进一步缩小，那会不会仅仅是我所感的周边发生了这种涨落呢？比如说，仅仅在地球以及地球的边界发生了这样的涨落，使得我们认为外部宇宙发生了这样的巨变？与地球涨落相比，部分宇宙的涨落概率也是小到不可能的。

那么进而，我们实际上也不需要整个地球的涨落。我们仅仅需要我们一个大脑就可以了。也就是说，宇宙在演化过程中，仅仅是一个非常非常小的范围内涨落出来一个大脑，而其余的宇宙仍然处于热寂的状态。这样的涨落概率就会大大增加。这个涨落出来的大脑有着我们现在全部的意识状态和记忆状态，所以我们会认为宇宙是现在这个样子的，宇宙有这样的规律。但是其实整个宇宙除了我们的大脑之外，全都在热寂之中。我们自以为自己“观察到”的物理规律，其实并不存在，我们只是被我们这个随机涨落出来的大脑给骗了。这样一个大脑虽然也及其复杂，产生的概率很小很小，但是相比于整个宇宙的复杂结构，发生一个小小的大脑范围的涨落，其概率仍然是大到不可思议。

随着这根逻辑链条穷究下去，我们会发现，如果我们有理由认为现在的低熵宇宙状态是随机涨落的结果，那么显然我们有更多更多更多更多的理由认为，我们现在的宇宙，仅仅存在一个一个泡在无边热寂的“汤”中、随机涨落出来的大脑 - 一个有着对“宇宙”的如此这般认识状态和记忆状态的大脑，而大脑外部的宇宙其实并非如此，我们记忆中的历史也不是真的发生过，我们只是被这个大脑的记忆状态告知它发生过。 - 这就是玻尔兹曼大脑。

那么我们就面临着一种比较尴尬的情况：所有关于玻尔兹曼大脑的推理过程，都是基于统计力学原理展开的。也就是说，如果统计力学原理是正确的，并且没有past hypothesis的话，我们现在基本上就可以肯定自己只是一个大脑，有着我们对我们所认为真实的宇宙规律的认识，但是这些宇宙规律却是假的！

也就是说，我们从物理定律出发，最终推出了极大概率上物理定律是假的。这就发生了逻辑上的难以自洽。因而，玻尔兹曼大脑的推断实际上是很难立住脚的 - 当然，如果我们较真，我们并不能否认现在整个宇宙就是一个巨大的涨落这种假设，只不过这种假设成立的概率是很低很低的。