纸会不会被压碎？ 第1页

这个问题太有意思了。我们见过被压碎的混凝土，见过被压碎的石头，为什么没怎么见过被压碎的纸呢？我想了半天，想了一个可能的原因。

首先明确一点，我这里说的「压碎」是工程学上人为规定的概念。拿混凝土举例，怎么样算压碎？混凝土被「压碎」，在美国等于压应变达到 0.003，在中国等于压应变达到 0.0033，在新西兰等于压应变达到 0.004，在欧洲等于……如果混凝土压应变为 0.0031，在中国和新西兰它还没碎，在美国它已经碎了。脱离这样的人为定义，只讨论文字意义上的「压碎」是没有多少价值的。否则，直接把它丢到黑洞里，一下子压成一个点……

好的，明确了这一点之后，让我们先从兰州拉面说起吧。估计大家都见过拉面，一根面条，越拉越细。绝大多数材料都是这样的，三维空间中的三个方向，一个方向受拉，另两个方向的尺寸会变小。

比如这是一团拉面，我们向两边拉它。本来长度为20，现在被拉长到了24；本来宽度为10，现在被拉细到了9.4。长度方向增加的百分比是多少呢？24减去20等于4，4除以20等于0.2。宽度方向减少的百分比呢？10减去9.4再除以10等于0.06。这个0.2和0.06就叫做这两个方向的应变，这两者的比值叫做泊松比，也就是0.06除以0.2等于0.3。泊松比是材料的性质，对于某种材料，泊松比是一个定值。

不仅仅是受拉时这样，受压也同样如此。直观的印象，与拉面越拉越细类似，很多东西会越压越胖。如果长度被压缩到16，那么宽度会增加到10.6。两个方向的应变同样是0.2和0.06，同样遵循着0.3的泊松比。

现在，问题来了。有没有跟拉面相反的材料？有没有「越拉越粗」的材料？换言之，有没有泊松比是负数的材料？

如果某个材料的泊松比是负0.3，那就会是上图这种情况。拉它的时候，不仅长度变长了，宽度也变宽了；压它的时候，不仅长度变小了，宽度也变小了。

真的有这种材料么？怎么会有材料越拉越粗呢？

这种泊松比是负值的材料叫做 auxetic 材料。虽然看起来很不可思议很罕见，但我们身边就有这样的材料。没错，就是——纸！

大部分材料，可以简单理解成左边这种「小方盒」，就像压橡皮泥一样，越压越扁。而纸这样的 auxetic 材料，可以理解成右边这种「小马扎」，不是被压扁，而是被压「折叠」了。

回到卡车碾压东西的现场，如果是一块泊松比为正值的材料，那么会被越压越扁平。就像我们包饺子的时候压面皮一样，越压越大。

如果碾压的是一张纸，泊松比为负值，那反而会越压越小。也就是说，如果用这种材料包饺子，压面皮的时候不会越擀越大，反而会越擀越小。

换句话说，普通材料受压的时候，材料倾向于远离受压的地方，材料的局部密度会降低。而 auxetic 材料刚好相反，材料会自动聚集到受压的地方，局部密度反而会升高。

那位看官说了，这种材料有什么实际用处呢？想一想，某种材料受压的时候密度会自动升高，受压的局部会自动变结实。哪里最需要这种特性呢？

防弹衣！没错，auxetic 纤维材料已经被应用到了军事防弹防爆、医疗绷带等领域。

所以呢，回到问题本身。用卡车压纸，纸会越压越小，越压越「结实」。想要压碎一张纸，没有想象中那么简单。

补充：

材料应变的尺度：我这里画的图、举的例子都是为了形象的说明，事实上的大多数材料可能达到的应变比这要小的多。比如我们第一个例子里的轴向应变是0.2，而事实上，混凝土的极限压应变是0.003，钢材的屈服拉应变大约是0.00207。这些绝对不是肉眼可以观测的，所以，不要期望一张纸一压，然后肉眼一看就能看出它变小了。

泊松比的定义和范围：泊松比的定义是，所以可正可负。有些人说泊松比等于这个比值的绝对值，那可能是自动认为所有材料的泊松比都是正的。各向同性均匀材料的泊松比上限是0.5，因为考虑材料单轴受压，体积变化为。如果泊松比等于0.5，压缩后的体积刚好等于压缩前的体积；如果泊松比大于0.5，那压缩后的体积反而会更大，所以泊松比不会大于0.5。

三维材料的六个泊松比：不同方向的泊松比可以是不一样的，x 方向的拉伸造成 y 方向的收缩，与 y 方向的拉伸造成 x 方向的收缩可能不一样，同样，跟 z 方向的拉伸在 y 方向的收缩也不一样。所以共有六个泊松比，分别是xy、yx、xz、zx、yz、zy。有的材料，这六个泊松比都一样，还有的材料，可能这六个各不相同。比如我们举的第一个例子里，拉压短边的泊松比是0.3，如果我们拉压长边，泊松比可能就不是0.3，而是另外一个值了。

纸的泊松比是多少？xz 方向，硬纸板-2.0，复写纸-0.2，牛皮纸-3.0，新闻纸-3.8。yz 方向，硬纸板-1.2，复写纸+0.5，牛皮纸-0.9，新闻纸-0.4。反过来的 zx 和 zy 方向，无实验数据，所以我的回答只是可能的推测，并不一定正确。为什么只有 xz、yz 方向的实验，而没有 zx、zy 方向的实验呢？因为纸可以用来做包装纸、纸袋子，不能轻易被拉坏，所以研究纸的平面内拉伸是有意义的。至于平面外受压，把纸平放到地上，然后玩命的压，好像没有什么实际的意义。

纸平面内受拉的时候真的会变厚吗？真的。对于「呵呵，我就不评论了」「怎么可能」之类的评论，我只能说，您有相反的证据您可以列出来。至少，我的依据是，1965年就有人做过实验。130微米厚的牛皮纸，被拉断的时候厚度增加了12微米；50微米厚的硫酸纸，被拉断的时候厚度增加了2微米。

啧啧啧...

对了，负泊松比的材料都有个特点哦，因为上面说的这种特殊的折叠结构，所以强度都比较低哦......硬度也不行哦～～

再补充：

到最后的最后，纸会被压碎吗？

答案是：我也不知道。因为好像还没有人做到过把纸压碎。通常用这种 压溃试验仪 做的 Flat Crush Test测试，通俗理解就是平板压碎，不会用来测试普通的复写纸、打印纸、新闻纸、牛皮纸，因为你测试了这个抗压强度也没有什么实际用途。这种 FCT 实验主要是用来测试做纸箱子的硬纸板的。

Niclas Stenberg et al. 1999年的论文 Measuring the stress-strain properties of paperboard in the thickness direction 以及这篇2002年的博士论文都提到了纸的 z 方向受压实验，Stenberg 认为纸的平面外负泊松比的影响并不大，对于 z 方向的拉压强度，可以忽略负泊松比的影响。Stenberg 给出的纸 z 方向受压的应力应变曲线是这样的：

右边这个 Cg 曲线是把一张纸用胶水粘在大铁块上压，然后用另一个大铁块压；左边的 Cn 曲线是没涂胶水直接放在两个大铁块中间压。

而我们熟知的混凝土、砖头等材料的受压应力应变曲线是这样的：

对比一下这两条曲线，我们不难发现，两者有着很大的区别，一个向下弯，一个向上弯，类似一个是上弦月，一个是下弦月。

左边混凝土的受压应力应变关系，最终应力到达极值（1点），应变继续延伸，也就是说，你一直用力压混凝土，混凝土慢慢被压扁，到达某个极值点以后，应力增加不上去了，应变却会继续变大。也就是说，不用再增加力气，混凝土也会继续一直变扁（事实上不会再继续变扁了，因为这时候已经压碎掉了，也就是左图中1点左边改成了虚线所表示的意思）。

而右边纸的应力应变关系，则是最终应变趋于稳定，应力是一直增加的趋势。也就是说，应变不怎么增加，但是应力可以继续变大。你一直用力压纸，纸慢慢被压扁，当纸被压扁到一定程度之后，你再怎么加大力度、加大力度、加大力度，纸几乎不会再变薄，应变几乎不会再增加。

我不知道这条应力应变曲线的尽头是什么样的，因为还没有过实验数据。但按照这个趋势，我可以推测，纸的压应变存在一个上限，持续增加应力，可能也很难突破这个上限。如果我们把「压碎」定义为达到某个压应变的值的话，那可能很难最终达到这一点。

那我们死命压一张纸，到底什么时候会把这张纸「压碎」呢？我们开头也说了，「压碎」是一个人为规定的工程概念。纸什么时候算「压碎」，同样需要人为的按照应力应变准则进行定义。最终破坏的界限，取决于双向应力的边界曲面和屈服曲面，具体的可以参照 Stenberg 论文中的相关分析。还是我开始的结论：想要压碎一张纸，没有想象中那么简单。

Reference

1. Auxetics
   
2. http://www. ipst.gatech.edu/meeting /2012/2012_presentations/05-Verma%20--%20A%20Review%20of%20Poisson's%20Ratio%20of%20Paper.pdf
   
3. http:// esc.u-strasbg.fr/docs/2 010/lectures/AUXETIC-METAMATERIALS_FIN.pdf
   
4. Negative Poisson's ratio
   
5. auxetix - homepage
6. http://www. tappi.org/Downloads/Tes t-Methods/UNTITLED-0104T825pdf.aspx
   
7. http:// kth.diva-portal.org/sma sh/get/diva2:9223/FULLTEXT01
   
8. Niclas Stenberg, Sören Östlund and Christer Fellers (1999). Measuring the stress-strain properties of paperboard in the thickness direction. Presented at Tappi International Paper Physics Conference in San Diego.
9. Out-of-plane Poisson’s ratios of Paper and Paperboard, Nordic Pulp and Paper Research Journal (2002)
   
10. Thickness Variations of Paper on Stretching, Olov E. Ohrn, Svensk papperstidning, 1965, 68(5), 141-149

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