有没有一些有意思的悖论，没意思也行，但要是悖论？ 第1页

罗素悖论(理发师悖论)。这个悖论，引起了第三次数学危机，深刻地推动了数学发展。

村里有一个理发师宣称：他给且只给村里不给自己理发的人理发。那么他给不给自己理发？

数学表述是：对于集合 ,是否有 ?

学过逻辑的人都能看出这个问题隐藏的两难性。如果理发师给自己理发，那么理发师就不属于“不给自己理发”的人，从而不应该给自己理发；如果理发师不给自己理发，那么理发师就属于“不给自己理发”的人，从而应该给自己理发。

如果要解决问题，也许会这样说：理发师不能这样规定，这个问题不存在。事实上问题的症结就在于此。

对应到数学上是什么呢？答案是： 不是集合。

大家也许不解：为什么就不是集合？明明是用集合的描述法来表示的。然而数学就是这样。

集合，不是可以随便定义的。

1.朴素集合论

朴素集合论是由天才数学家康托尔(Cantor,1845-1918)建立的一种集合论。为什么叫“朴素”呢？因为它还没有完全公理化，定理的证明是用自然语言写的。(数学是可以完全脱离语言，用有限的符号来表述的；只是这样十分晦涩)更重要的是，集合和元素作为原始的未定义概念，没有给予足够的限制。然而，朴素集合论在当时已经是超前之举。

如何超前呢？

超前就在于，除了高中生都耳熟能详的那一部分外，康托尔的理论处理了很多当时还说不清楚的问题，尤其是“无限”问题。举个栗子，什么叫“无限集”？许多人可能不理解为什么这是问题。无限集，不就是有无限个元素的集合吗？可是“无限”又是什么意思？这个问题曾经有很多争论，有一些数学家甚至倾向于认为，无限集不存在。康托尔不这样想。他对无限集的定义是：

一个能与自己的真子集建立一一对应的集合叫做无限集。

当然现在写的这个定义还有问题，比如，什么叫“一一对应”。但是这确实是用严格方法研究无限集的开始。有限集合都有元素个数，康托尔定义了无限集的“元素个数”(势)，并发现，不同集合代表的“无穷大”还可以有大小关系。比如，整数与偶数集合，甚至有理数集合是等势的，但是他们的势都小于实数集。

总的来说，康托尔的集合论使数学在抽象化的道路上前进了一大步，并带来了数理逻辑的快速发展。一股形式化的浪潮冲刷了整个数学领域，从算术，实数理论到几何学，再到...一切都是一片光明。似乎一切数学理论都可以稳固地建立在集合论的基础上。

然而，如前所说，康托尔没有对集合做出足够的限制。在朴素集合论里，对于任意性质 ，存在集合 使得 当且仅当 满足性质 。(这样的集合记作 ，所谓的“描述法”)这个就是万恶之源，使得罗素有空子可钻。康托尔解决了很多难题，却没有看到这个十分基本但致命的问题。所以，数学还需要进一步地完善。

2.第三次数学危机与悖论的解决

德国著名逻辑学家弗雷格(Frege,1848-1925)在他的关于集合的基础理论著作完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作末尾加上这一问题，并写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”戴德金(Dedekind,1831-1916)原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威尔(Brouwer,1881-1966)也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。

历史总是惊人地相似，当初人们以为物理学已经完备时，发现了光速不随参考系改变问题和黑体辐射问题。

事实上，没有了严密的集合论，数学大厦将轰然崩塌。并不是说1+1从此不等于2，而是数学的结论不再有坚实的基础。没有了集合论，剩下的数学已经很少了。所以，称之为“数学危机”丝毫不为过。

但是数学家们不会轻易放弃一个这么好的理论。大数学家希尔伯特(Hilbert,1862-1943)曾说：“没有人能够把我们从康托尔创造的的伊甸园里赶出来。”所以，理论有问题就需要修正。经过探索，出现了几套不同的公理系统以避免此类悖论的产生。其中一个称为ZFC公理系统，比较有代表性。

满足容积公理、分离公理、对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理、正则公理、选择公理的一切东西叫做集合。这里就不列出所有公理了，有兴趣的可以搜索“ZFC公理系统”。这些公理限制了集合的范围，使得罗素悖论中所述的集合不存在。(描述法的使用受到限制)

然而，这些举措只是限制了数学的研究范围。多么弱的公理可以保证罗素悖论不存在？是不是现有公理还能构造出一个悖论？这些都还是未知数。所以，数学家在数理逻辑与集合论的道路上可能还要永远地探索下去。