如何从数学上确定手性？ 第1页

数学问题里也会遇到“手性”，不知道数学书上的手性算不算题主说的“从数学上确定手性”

我见过的数学书上，定义类似“手性”内容的方法也就两种，一种是和物理书上说的一样的：不具有空间反演不变的性质，或者简单地说经过实操作（旋转或平移）不能和自身的镜像重合^[1]；另一种是像题主说的，利用右手系的性质。

第一种的情况很多，比如出现在多面体理论，染色问题中的“手性异构”现象，一些书上是这么定义的。

定义：

如果存在一个反转定向（orientation-reversing）的等距变换（isometry） ，使得 ，那么P 就称为无手性的；如果不存在，那么P 就 称为有手性的。

解释：这个看起来很高级，但就是高级版本的“经过实操作不能和自身的镜像重合”。只需要知道等距变换和反转定向两个词的意思就明白了。

三维空间中的等距变换可以定义成“保持曲面上任意曲线的长度不变的变换”。这个也有高级写法：对于内积空间V， ，若 ，有 ，则称 为等距变换。

很明显，三维空间中的等距变换一定可以写成平移、旋转和反射三种变换的复合，很容易猜到其中含有奇数个反射便叫做反转定向，偶数个反射叫做保持定向（orientation-preserving）。

也可以通过矩阵来定义，举个二维的例子（三维的旋转矩阵视觉上太复杂）：

把矩阵乘出来就能看出， 对应镜像，四个三角函数对应旋转，tx，ty对应平移。除了上面这样看 是+1还是-1来定义，还可以通过这个矩阵左上角这个2×2行列式的正负来定义。

当然，上面这个定义有些太窄了，也就晶体或者甲烷的衍生物这种能用。对于大分子就不适用了，因为大分子是“软的”，会有各种构像。上面的定义拓展到流形中就是“拓扑手性”：

A closed, connected, orientable manifold in one of the categories TOP, PL or DIFF is called chiral if it does not admit an orientation-reversing automorphism in the respective category and amphicheiral if it does.
（机翻）一个封闭的，连通的，可定向的流形，在TOP，PL或DIFF中的一个范畴，如果它在相应的范畴中不允许定向反转自同构，则称为手性流形，如果它允许定向反转自同构，则称为双向流形。

这里要解释一下“可定向”的概念，知道了这个概念，拓扑中的“定向反转”就好理解了。

而且定义起来比前面的还要简明，“可定向”的流形“定向反转”就是“小圆圈旋转方向”在变换后相反了，和前一种定义相互对应。注意这种手性和生物、化学里的手性有区别。

第二种比如微分几何曲线论中的挠率：

这个看起来更高级，其实就是安培法则里螺线管左旋右旋的“数学翻译”版本，本身也属于古典微分几何，不是特别抽象。

这里的挠率和弗莱纳坐标系（Frenet–Serret frame）相关，见上图：

• T 是单位切向量；
• N 是单位法向量 T对弧长参数的微分单位化得到的向量；
• B 是 T和 N的外积。

由此定义曲率 和挠率 ，d/ds是对弧长的微分。

根据定义，曲率为0 是直线，挠率为0 曲线在平面上。挠率是 T和 N的外积随曲线的变化率，按挠率的正负定义左旋右旋就是题主说的方法。

因此我们可以定义：

对于一条空间曲线段P (s),s ∈ (a ,b),如果在点s ０ ∈ (a ,b),挠率τ(s₀)＞ ０ ,则称曲线在s₀是右旋的;如果在点s₀∈ (a ,b)挠率τ(s₀)＜０，则称曲线在s₀是左旋的。如果对开区间(a ,b)内的每点都是左旋的,则称曲线是左旋的。^[2]

以上三种可以被称为“几何手性”、“拓扑手性”和“曲线手性”，生物或化学中的手性介于前两者之间（化学键旋转受限，不像绳结那样“灵活”，而拓扑结构上也区分不了类似胺膦锍的情况）。

至于为什么“手型”会出现在数学书上。

第一种“几何手性”比如组合数学中的 pólya定理中的经典问题^[3]：对一个正四面体的四个顶点用四种颜色着色，有多少中不同的方法？

12和系数指1个恒等，8个C₃（4个C₃¹+4个C₃²），3个C₂。

硬算的话（X₄）4种，（ X₃Y）12种，（X₂Y₂）6种，（X₂YZ）12种，所以（XYZW）有2种，类似“手性碳”那种情况。

至于拓扑手性，这是和早期对的元素差异的探索相关。当年开尔文提出原子就是以太上的结，为了构造像元素周期表一样的表，他将各种结分类，形成了绳结问题。后来以太结的理论被证明是错的，不过绳结问题流传了下来。

其中的经典非手性比如下面的8字结。

手性绳结比如三叶结，这个都快被玩坏了。

曲线手型的例子就太多了，比如电学常见的螺线管，生物大分子，植物的蔓里都会出现，伊藤润二的漫画里还有“漩涡爱好者”。

甚至影响了化学书，类似螺苯的化合物化学上有专门的MP命名或delta- lambda命名，但好多书就直接说左手螺旋右手螺旋的，也可能是安培定则太深入人心了。

还有这种：

用手比划一下就知道为什么是左手螺旋和右手螺旋了。

p.s.: 这个是当年几个朋友里为了嘲讽有化学里手性碳定义收集的，主题大概是“数理化生语言风格的比较”，看完上面这些定义突然来个“碳接四个不同基团”冲击力真的很大，当然那种给出“所有的手性分子可被归于下列五个点群中的一个: Cn、Dn、T、O或I”之类说法的化学资料，奇葩程度也不遑多让。（范特霍夫和勒贝尔是知道对称性缺失导致手性的，也不知道是怎么就传着传着变成手性碳了。）为了看懂一些内容我花时间去听的微分几何的网课，也不知道当时为什么如此讨厌手性碳这种理论。

参考

1. ^ 化学书上的等价说法是“分子中没有Sn就有手性”
2. ^ 林爱津, 李建平, 侯虎,等. 手性的数学模型及应用. 大学数学, 2017, 05(v.33;No.193):104-109.
3. ^ 高中有机化学爱考的同分异构体数目问题更多出现在大学的离散、图论和组合数学教材里，有机无机讲的反而少