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理想凸透镜是什么形状? 第1页

  

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如果该透镜不考虑色散、反射和不平行于光轴的光线,只考虑让平行于光轴的光线的聚焦,而且材料折射率大于1,那么一个理想的形状是双叶双曲面(的其中一叶)和一平面的包围形状(不止这一种理想形状)。

下面简单推导一下:

以焦点为原点,透镜主光轴为x轴建立坐标系,透镜在x轴正方向到原点距离为d,厚度为t,折射率为n,透镜右侧为一平面,左侧为待求曲面的xoy平面截线。

根据费马原理,透镜曲线左侧上一点(x,y)有:

整理得:

这显然是一个双曲线方程,由透镜对光轴的旋转对称性,可知该透镜的左侧是一个双叶双曲面的一叶。

以上计算基于右侧为平面的假设,实际上两侧的曲面形状是相互约束的,有无数组满足条件的曲面,有兴趣的话可以根据左侧为平面来计算右侧曲面的形状,看看有什么发现。

另外值得注意的是,如果透镜材料的折射率小于1,那么透镜的形状就变成了椭球面凹透镜。


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几何关系

如图,设

由几何关系(延长法线使用外角定理),

在 内,满足

变量关系

由光的折射定律

于是有

以及斜率的几何意义(法线斜率与切线斜率互为负倒数)

列方程

将数据代入到 式可列出方程:

化简并对该方程进行因式分解:

的解即为所求.

解方程

请教了大神 @Hcheng ,方程可以化为

令 代入上式,得

解得

于是

其中各常数为

结论

透镜曲线为双曲线的一支. 特别地,当 时为椭圆凹透镜的情况.




  

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