理想凸透镜是什么形状？ 第1页

如果该透镜不考虑色散、反射和不平行于光轴的光线，只考虑让平行于光轴的光线的聚焦，而且材料折射率大于1，那么一个理想的形状是双叶双曲面（的其中一叶）和一平面的包围形状（不止这一种理想形状)。

下面简单推导一下：

以焦点为原点，透镜主光轴为x轴建立坐标系，透镜在x轴正方向到原点距离为d，厚度为t，折射率为n,透镜右侧为一平面，左侧为待求曲面的xoy平面截线。

根据费马原理，透镜曲线左侧上一点(x,y)有：

整理得：

这显然是一个双曲线方程，由透镜对光轴的旋转对称性，可知该透镜的左侧是一个双叶双曲面的一叶。

以上计算基于右侧为平面的假设，实际上两侧的曲面形状是相互约束的，有无数组满足条件的曲面，有兴趣的话可以根据左侧为平面来计算右侧曲面的形状，看看有什么发现。

另外值得注意的是，如果透镜材料的折射率小于1，那么透镜的形状就变成了椭球面凹透镜。

几何关系

如图，设

由几何关系（延长法线使用外角定理），

在 内，满足

变量关系

由光的折射定律

于是有

以及斜率的几何意义（法线斜率与切线斜率互为负倒数）

列方程

将数据代入到 式可列出方程：

设

化简并对该方程进行因式分解：

故

的解即为所求.

解方程

请教了大神 @Hcheng ，方程可以化为

令 代入上式，得

解得

于是

其中各常数为

结论

透镜曲线为双曲线的一支. 特别地，当 时为椭圆凹透镜的情况.