照亮一个球面至少需要几个点光源？ 第1页

给一个代数一点的方法。点光源能照亮球面上某个点的条件是，点到光源连线形成的向量与该点的法向量夹角小于90°，也就是向量内积大于0。不难发现，由于法向量与球心到球面点的连线是同向的，因而前面的内积严格小于球心到光源连线与法向量的内积，而只要球的半径足够小，两者的差距可以任意小。这样，我们只需要研究球心到光源连线的向量，与任意球面法向量的内积即可，如果该点可以照亮，则至少有一个光源对应向量，与这个法向量的内积为正。

设n维空间中有m个点光源，这m个点光源对应向量按行向量组合，可以构成一个m×n的矩阵，如果它乘以任意向量得到的结果，都至少有一个坐标为正，则可以照亮整个球面。下面证明至少m=n+1才能符合前面的条件。

若m<n，则矩阵一定无法列满秩，一定存在一个向量，右乘矩阵得到0向量，一定无法被照亮。

若m=n，如果矩阵不满秩，跟前面的情况一样；如果矩阵满秩，则矩阵可逆，那么A^(-1) * (-1, -1, ..., -1)^T这个向量不满足条件，因而无法全部照亮。

任取一个n维的满秩矩阵A，补充一行(-1, -1, ..., -1) * A，则当A与某个向量的乘积各个分量都为负时，最后一行与这个向量的内积为正，也就满足了条件。

把光源放球内部。