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这个极限怎么写? 第1页

  

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一、这可能是最简单做法

这个问题做法不少,但最简单的莫过于直接利用如下定理,聪明的读者将会发现,这个引理与Lebesgue控制收敛定理(dominated convergence theorem)极其相似,事实上,这几乎就是它的离散型版本。这定理是说:

设 对每一个 都收敛,即 且有界,即 其中 与 无关。若 收敛,则

这个定理的价值在于,允许在一定条件下交换求和与取极限的次序。如果利用它来求解当前问题,则只需命 容易验证定理适用条件均已齐备:

于是依定理即得

二、另外一种门槛更低的做法

这里我补充一种门槛更低的做法,只需要用到序列上、下极限的一些最基本的知识。

首先,选定某个 并让 这就将有

命 中的 就有

显然 对一切 成立,于是命其中的 就有

另一方面,依常见不等式 可以导出 如此就有 命 中的 也应成立

综合 就是

这清楚地表明了


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注意到

立即有




  

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