怎样理解广义相对论中的张量有关的这套符号体系？ 第1页

作为一个数学专业的，相对论我是不懂的，但是我可以用更简单的知识(线性代数)说明白什么是张量，为什么它非常重要，以及在几何学中的应用。

先从向量开始，向量和线性空间的引入对于数学和物理来说都是意义深远的。首先设 是n维实向量空间， 是一个向量，再设 是一组基底，那么可以假设 ，这里 都是实数，但有一点值得注意，向量 并不是非要用给定的基底 和一组数 去描述，如果没有给定基底，或者给定了两组基底，我们怎么去描述这个向量呢，后面这个问题是容易回答的，假设 还有一组基底 且 ，设在新基底下 (这里和后面都默认使用Einstein求和约定，只是为了记号的简便)，那么 ，从而 ，写成矩阵的形式就是 。这说明对于线性空间 的向量 ，在不同基底下的系数是有固定的变换规律的，我们称之为反协变的。

现在来研究 上的线性函数，它们的全体记为 ，先定义 使得 ，再定义 ，那么 称之为 的对偶基.并且和上面类似，对任意 ，都可以写成 的线性组合，即 其中 .自然也要考虑坐标变换问题，设 是 的对偶基，再设 ，那么 ，从而我们得到了线性函数的系数变化规律 ，这和 中的向量的系数的变化规律显然是不同的，我们称之为协变的。

上述 虽然在给定了基底的情况下可以看成 中的一个点，但是当基底变化，这种"看成"也会有相应的变化，所以两者本质上是不一样的，对于线性代数的初学者来说，常常不会在意这种细微的差别，而张量的概念就来自于这种差别，上述 中的元都是最简单的张量，但是形如 的n元实数组却不是一个张量，因为它不具有上述变化规律而仅仅代表n个实数。

为什么要引入张量的概念呢，因为我们要定义一种不依赖于坐标的量，这样在进行坐标变换的时候这种量就不会发生变化，或者说这种量本身完全不依赖于坐标(基底)，而引入基底只是为了计算它。

但是还有很多重要的张量，比如线性代数中所说的二次型，即 上的双线性函数，它们的全体记为 ,显然这是一个实线性空间，引入什么基底才能描述它呢，这就涉及到数学中一个非常重要的概念:张量积。这个概念在线性代数中的定义其实很简单，即对于两个 上的线性函数 定义他们的张量积 为 那么容易看出 ，还有

定理 是 的一组基底

这是因为任何 ，都可以写成 ，其中 仿照上述 的系数变化规律，不难发现如果 ，那么 ，这和 中的元的系数的变化规律有相似也有不同，数学上称之为2阶协变的。类似地，读者可以考虑 中的元，把 中的向量看成 的线性函数，类似地定义两个向量的张量积，用上述方法证明如下定理

定理 是 中的一组基底，设 ，那么 ，称这样的系数变化规律是2阶反协变的。

综合上述结论，我们可以定义一般的张量了，设 （k个相乘）， （l个相乘），那么 (即全体 上的多重线性函数)的向量称为(l,k)阶张量，这个线性空间有基底 其中的元的系数变化规律读者可类似去计算，应当是l个反协变和k个协变的。并且我们容易从指标的位置看出系数是怎么变换的。

为什么要定义一般张量呢，从线性代数的角度，这是研究多重线性函数的基础工具，并且行列式，迹等常见的线性代数的概念都可以用张量的语言来描述；从几何学的角度，微分几何中最基础的概念如度量，曲率等都要用张量描述。

要把张量的概念用到几何学中，出发点应该是向量场，向量场通俗地说是在空间中的每一点给一个向量，且不同点的向量总认为是不一样的。考虑欧式空间 的光滑向量场 ，首先设 是坐标系，则可以记 其中每个 ，模仿向量的写法，可以写成 ，这里 可以理解成沿坐标轴 正方向的单位向量(更严谨的定义见[1])。如果有新坐标 ，坐标变换 都是光滑函数，则有如下基变换 (见[1])，设变换矩阵 ，再设 则 。从这里我们就可看出张量记号的优越性，首先是无歧义，如果把向量场单纯地理解成n个 上的光滑函数 ，则问题在于在每点 如何理解 ，没有说清楚基底的情况下这就不是一个向量，而张量记号则准确无误地表明了基底是什么，在坐标变换的角度上张量记号也更方便记忆和书写。

向量场和向量是有很大区别的，向量场是可以求导的，因为它有光滑性的概念，它的研究也超越了线性代数的范畴。

现在引入微分流形的概念如下(见[1][2])

微分流形 上的向量场定义要稍复杂一些，因为微分流形只有局部坐标，这是为了描述复杂的空间而不得不采取的方法，比如球面 就没有整体定义的坐标函数(需要拓扑知识去证明)。对于微分流形 ，其上的(光滑)向量场 也要先局部定义，任意坐标卡 ，设 (严格定义见[1][2])，其中 ，如果 ，则要求在其上成立 .这其实就是不同坐标下的向量的系数的变换规律。

接下来是黎曼几何最核心的概念，Riemann度量，如果模仿欧式空间对于流形 上的两个向量场 ，在每点 附近取定坐标卡 ，使得 ，定义内积 ，那么如果换了一个 附近的坐标 ，则有 这说明不能照搬欧式度量到一般的流形上，所以要采用张量的语言去定义Riemann度量。先假设基底 的对偶基(逐点去考虑)为 。则可以定义 上的(0,2)型光滑张量场 如下：在局部(每个坐标卡上)，设 ,其中 且是 上的光滑函数.若 ，还要求 于其上成立(在每一点这正是2阶协变张量的变化规律)。则对于两个向量场 ，有 。如果该张量场还满足如下两条:

1、对称性，即对于两个流形上的向量场 有

2、正定性，对于向量场 , 在 上每一点 的值都大于等于0，当且仅当 时

则称 是流形 上的一个Riemann度量，在每点它都是一个2阶协变张量。每个流形都有黎曼度量，见[2].如果不假设2、成立而替换为如下条件

3、二次型 在每点的正惯性指数为n-1，负惯性指数为1

则称满足1、3、的 为Lorentz度规。

类似地读者可以定义流形上的(k,l)阶张量场，这里简单提一下(见[2])反对称的l阶协变张量场叫作l阶微分形式，在数学上，研究它们可以得到该流形的拓扑信息。

当然求导的方法也能用到张量场的研究上，在微分几何中被叫做联络，见[2]。

当然，想要说清楚广义相对论的基本假设，如上知识是不够的，读者还需要知道联络和配备了度量的流形的测地线概念。见[1][2]

参考文献

[1]梁灿彬.周彬. 微分几何入门与广义相对论

[2]陈省身.陈维桓. 微分几何讲义