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考完了第十二届大学生数学竞赛,你有什么感受? 第1页

  

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瞄了一眼数学类,总体来说似乎不特别难。感觉难点应该是3,4,6题。早知道我也去考一下混个奖了。

第一题解析几何大家都会。

第二题经典积分估计也没啥好说的,,,

第三题这个其实比较卡人。思路是,把方程组改写为

条件等价于 。设 ,则

从而 为正交矩阵。假设两个矩阵相似,那么 ,我们得到

故 。正交矩阵的实特征值都是 ,虚特征值的模长为 。由虚根成对原理,虚特征值为偶数个。设

其中 是上三角形矩阵,实数的对角元为 。由 知 为偶数个[1],故

为偶数(非零对角元,包含 与虚数,为偶数个),矛盾。

[1]设 的特征值为 。由条件

注意到 ,故 。这就得到 的个数为偶数。

第四题是个穿着多项式外衣的组合题,,设根为 ,则题目条件等价于从这些根里面任意拿走一个,剩下的都可以分成两组使得两组数的和相等。

现在把它变成线性代数,设 ,则

其中矩阵 对角元都是零,其他元为 。你计算一下 的结果就会发现它是奇数,所以矩阵可逆,直接得到 完事。(计算方法:写出完全展开式,康康不是零的项有多少,每一项都是 ,个数代表奇偶性。这就是个组合计数的事情)

不知道有没有古典组合方法,,,

第五题迫真高中题,,,

第六题学过Riemann积分的加细那一套应该可以整出来。第一问不多说,设极限为 。第二问办法大概是,假设 是 加一个点的分割,可以证明

具体证明我是这样想的:设分割 的某个区间为 ,加入一个点 。设

设由 作出的铅垂线与 交于 。则

注意到 的纵坐标为

得到结果。

这个结果当然还可以推广到加多个点。所以对任何分割 ,令 表示两个分割叠起来,则

也就是 。令 得 。

把 的位置调换可以得到 ,就得到结果。

细节一定要想清楚,否则会巨大拖时间,,,




  

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