高中讲到的抵抗力稳定性与恢复力稳定性有没有定量的对应物？是否与动力系统有关系？ 第1页

为了简化问题，考虑两个物种的情况，前者（被捕食者）有足够的生存资源，后者（捕食者）仅以前者为食物。

例如：农作物的害虫和它们的天敌；海洋中的小鱼和大鱼。

假设捕食者的数量为 ，被捕食者的数量为

不妨假设 ， 为光滑函数，且 ，

由于被捕食者的生存资源充足，所以在不考虑捕食者的情况下，设其增长率为一个常数 ，即

但是捕食者的存在必然会降低其增长率，设这种增长率的降低与捕食者的数量 成正比，即被捕食者的实际增长率为 ，其中 和 是正常数

同理，捕食者的实际增长率 ，其中 和 是正常数

因此我们得到两个微分方程：

（1）

（2）

消去 ， (3)

分离变量得到，

两侧取积分，得到通积分 （4），其中 为任意常数

从图像的角度，（4）表示在 空间中，曲面 和水平面 的交线在 平面的投影

另一方面，对于（4），从分析的角度可得：

① 定义域 ，

②当 ， 时， ， ，

③ 是下凸的，即 ，

④ 在 ， 时有唯一驻点 ，其中 ， ，即 是在第一象限唯一满足 的点，而且它还是 在第一象限的最小值点

因此，曲线族（4）表示在 平面上一族互不相交的曲线 ，它们有一个公共的中心点

考虑方程（1），即 ，可以得到以下结论：

①当 时， 是 的增函数

②当 时， 是 的减函数

同理，对于方程（2），即 ，可以得到以下结论：

①当 时， 是 的减函数

②当 时， 是 的增函数

这样，可以用箭头在 上标出 ， 随 变化的趋势（如图2）

对于任意一个取值合理的 ，即对于给定初值条件 ，相应的解 沿着闭曲线 作如下的周期性变化：

随着被捕食者 的增减，捕食者 作出“滞后”的增减。具体来说，以 上一点 为初始状态，则随着时间 的增长，在 上的 弧 段， 和 都在增长；但随着捕食者的增多，必然会引起被捕食者的减少，因此在一定时间后（在图2中表示为过了 点后），被捕食者 开始减少，这种减少没有立刻引起捕食者 的减少，事实上在弧 段， 还在增长；然而被捕食者的减少最终还导致了捕食者 的减少，这就是 段的规律；当 少到一定程度（ 点），被捕食者 数量开始回升，直到进入状态 ，开始新一轮循环。

对于不同的初始条件， 在不同的曲线 上运动，因而变化的幅度是不同的，但是反应这两个物种变化的平均值 （5）， （6）是固定的

事实上，设曲线 的周期为 ，则平均值分别是：

，

由方程（1）（2）可得， ，

从 到 积分， ，

由周期性， ，

即得到公式（5）和（6）

现在考虑这个系统的稳定性，对这两个物种同时进行一个外加的捕捉行为，则（1）（2）要加入一个修正量 ，变为： （7）， （8）

当捕捉量不大时，即 ，方程组（7）（8）和方程组（1）（2）描述的是同样的规律

因此，对于（7）（8）对应的 ， 平均值为 （9）， （10）

从（9）（10）可以看出，随着外加捕捉行为的增大，即 增大，捕食者的平均量 将减少，而被捕食者的平均量 将上升。换句话说，小量的外加捕捉行为对原来的捕食者不利。

假设我们考察的两个物种是农作物的害虫和他们的天敌，如果人工施加少量农药，会导致天敌的平均量减少，而害虫的平均量上升；而施加大量的农药，会导致环境的污染。因此生物防治害虫是一种较为理想的方案。

关于方程组（1）（2）还有一个历史故事，在20世纪20年代，意大利生物学家 在研究爱琴海中相互制约的鱼类数量变化时，从统计数字发现，第一次世界大战期间鲨鱼的捕获量所占比例增大了，他无法理解这个现象，便请教数学家 ，后者用上述方法给出了解释：第一次世界大战导致捕鱼业受到影响，即 减少，使得捕食者的平均量 上升，因而在捕获物中鲨鱼的比例增加了。方程（1）（2）也被称为 方程。