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统计力学中系统的微观态数目和能级简并数是什么关系? 第1页

  

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仅限量子的全同系综(比微正则系综要求更严格,所有粒子完全相同,是个trivial的情况,见Tolman,统计力学基本原理),有 。如果热徳布罗意波长远小于容器尺度,则系统的能谱是连续谱,有: 即能量有一个很小的取值范围,系统的状态数多于某特定能量的简并度。

考虑一个简单的例子:一维格气,粒子数N=3,也就是三个格点上的自旋,每个自旋只能向上或向下,每个向上的自旋贡献-1个单位的能量,每个向下的自旋贡献+1个单位的能量。这是一个简单的量子微正则系综的例子。整个系统的总能量只有-3,-1,1,3四种可能。此时如果限制总能为-1,只有如下三种情况:

此时整个系统的能级的简并度为3,微观态总数也为3。

连续谱的情况,还可以参考赵柳,《统计热物理学》(1.68)、(1.69)两式,以及下一章“熵”的讨论。需要注意,这里的能量仍然是指的单粒子能量,且讨论仅限于微正则系综。

而对于其他系综,都没有这么简单的结论。如果考虑正则系综,要指定系综的温度,在某温度下系统的能量可以取到不同的值,相应的总状态数也变多了。


不过看问题的描述,看上去提问题的人混淆了单粒子能级 和系统总能量的区别。统计物理中,考虑的都是多体问题,一摩尔相互作用粒子的基态是不知道的,我们能得到的(或者说我们假装已经知道的)是单个粒子的能级。例如我们无法得知一摩尔氢原子的基态能量,但是我们已知氢原子的能谱:

的时候每个能级的简并度 不为1。例如, 。这时候显然系统的状态数远远大于单粒子能级的简并度。




  

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