如何推出这两个随机变量都是泊松分布？ 第1页
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我按照我分析的顺序写一个答案吧，权且不按正式答案的规范来，以便理解。
对取值为 的离散型随机变量 ，记生成函数 我们把条件紧凑地写出来，即是对 ，有
以下为了方便，记
并约定 [为了防止 退化到 ]。注意，概率的意义保证了 而且 均为连续的函数。同时，上面的方程就整理成了我们喜闻乐见的形式：
其中变量的范围约束是根据级数的收敛域来设置的。现在，固定 而变动 ，就有 再取定 ，得到
带回方程即有
再令 ，有 ，或者重新参数化变成 ！Alas，是我们熟悉的 Cauchy 方程！而且因为连续性，立刻得知这解只能是线性函数！
现在就反推回最初的形式。设 ，那么
进一步回溯得到
那么当前仅当 时其各项符合概率非负的要求。由此， . 检验发现这所有的解都符合要求。Case closed.
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