湍流是个物理问题吗？ 第1页

费曼说，湍流是“经典物理最重要的未解之谜(the most important unsolved problem of classical physics)” 。
朗道说，柯尔莫哥洛夫”是第一个正确理解了湍流小尺度结构的人“。

下文介绍的是关于苏联大数学家柯尔莫哥洛夫在湍流方面的工作——随机场、2/3律、4/5律、关联函数、标度律等的提出或发展背景。这部分的物理味道较浓，让人觉得他是一位统计物理学家。读者可以遇到”自相似“、”关联函数“、”系综平均“、”标度律（scaling）“、“分数布朗运动”等词，文中还提到了柯尔莫哥洛夫与朗道关于2/3律的假设的讨论。

1930年代末和1940年代初，柯尔莫哥洛夫的工作以平稳随机过程理论和各向同性湍流理论为标志，它们孕育的概念、深刻思想和应用前景是非凡的。

柯尔莫哥洛夫在[PS]473页中指出，他“对平稳随机过程的谱理论感兴趣”，源于辛钦和Slutskii 1930年代初的相关研究。柯尔莫哥洛夫的报告“具有连续谱振荡的统计理论”，在1947年苏联科学院大会上给出[K141]，[PS-34]，他在其中强调了Stieltjes积分对平稳振荡过程（包括准周期振荡以及具有连续谱的振荡）的一般表示的深刻意义。

1940年的工作，“Kurven im Hilbertschen Raum, die gegeniiber einer einparametrigen Gruppe von Bewegungen invariant sind” [K110]，[MM-42]以及“维纳螺旋和希尔伯特空间中的其他有趣曲线” [K111]，[MM -43]，讨论了随机过程 的 理论，从协方差函数结构来看，它们具有平稳的增量和平稳的各种子类（包括广义上的平稳过程，维纳过程等）：

（[K110]，[MM-42]中的定理2）；也讨论了过程的谱表示的可能性，柯尔莫哥洛夫给出其表达式（参见[K110],[MM-42]中的定理3）:

如果过程本身是平稳的，也具有平稳的增量，则 ，且该过程的谱表示可从（30）式导出：

该Stieltjes积分相对一随机测度 而言，满足正交条件： 。

Cramér（1942）和 Maruyama（1949）随后也独立得到了这一结果。另可参见 Loéve [116]。

论文[K111]，[MM-43]与[K110]，[MM-42]相邻，讨论了具平稳独立增量的随机过程的某些特殊情况。实际上，柯尔莫戈洛夫认为过程 具自相似性，这意味着对 ，都存在相似变换 ，对于任意 有

。

从而，该随机过程的“结构”函数 可以表示为

其中 和 是实常数，满足不等式 。[现在，协方差函数形如（32）式且均值为0的高斯过程，称为 阶的分数布朗运动。]

值得注意的是，近年来出现了许多应用到其他领域例如统计物理的论文（见西奈[181]、Taqqu和列维[192]），也在研究具自相似的随机过程（关于自相似的背景知识可参见Vervaat [198]）。

接着这些关于平稳增量随机过程的论文随后，是柯尔莫戈洛夫关于平稳（广义上）随机过程的经典著作，其中（如[K110，K111]），他广泛采用了希尔伯特空间技术，这在他1941年的著作标题中有所反映， “希尔伯特空间中的平稳序列” [K116]，[PS-27]。其中，他引入了新的概念（一个平稳序列对另一个的从属性（subordination），正则性（regularity），奇异性（singularity）和最小性（minimality）），这引发了对连续时间向量随机过程的大量后续研究（见[161，162]）。

平稳序列 从属于（subordination）另一个平稳序列 意味着它们是平稳关联的，并且由元素 生成的封闭线性子空间 也包含所有 。 该结果一个令人惊讶的意味是，从属性可能能单靠谱来表达。即， 从属于 ，当且仅当存在函数 使得谱函数 和 的协方差表示

满足

，

其中

。

序列 的奇异性（或说确定性(determinacy)）指的是，空间 与 相重合，其中 是由随机变量 生成的封闭线性空间。

正则性（或叫纯不确定性(pure nondeterminacy)）指空间 是平凡的。

柯尔莫哥洛夫将上述结果应用到圆盘中解析函数的边界性质的分析，并获得他的著名结果：

柯尔莫戈洛夫如下定义序列 的最小性：所有 生成的最小封闭子空间 ，不与所有 生成的最小线性封闭子空间 重合。

柯尔莫哥洛夫证明：

序列 是极小的，当且仅当存在谱密度 ，其在勒贝格测度上几乎处处大于0，并且

若满足这些条件，则

。

紧接着这项工作，是与之密接相关的“平稳随机序列的内插和外推（Interpolation and extrapolation of stationary random sequences）” [K117] [PS-28]，他在论文的前言写到，该工作“给出了在任意精度上，平稳随机序列外推的谱条件，只要具有足够多的观察结果。”

在这项工作中，作者给出了关于外推和内插问题的误差值的第一个结果，并提供了此类问题的精确形式。

柯尔莫戈洛夫的这些结果和维纳 [210]的工作（另见Doob [43]，第十二章）创建了一个全新的随机过程分支，并在各种科学和技术领域中得到了广泛应用。

用 逼近 最小可能误差，柯尔莫戈洛夫记为

，

然后，通过 ，作者得到了用谱项表达的 的显式。他也证明了，若 ，则对所有 ， 趋于0。对正则序列（ regular sequences），当 有限，柯尔莫哥洛夫给出了 的表达式（ [K117], [PS-28])定理2）。

在内插问题中，柯尔莫哥洛夫引入了值

来衡量

内插 的最小可能误差。记 ，作者发现，若积分 ，则 ；若 ，则 （ [K117], [PS-28])定理3）。

对柯尔莫哥洛夫在1947年苏联科学院大会的报告[K141] [PS-34]，AM Yaglom（请参阅其评论[PS]，第491-496页）评价道：“它是平稳随机过程谱理论的首次广为传播的综述，作为随机函数理论的最重要分支之一，直到最近才被发展起来（由柯尔莫哥洛夫本人积极参与），在少数专家范围之外鲜有人熟悉。” （在Yaglom的这篇评论中，读者能找到与平稳过程谱理论有关的详细历史和参考文献；另请参见[161、162、212、43、35]。）

1940年代初期，柯尔莫戈洛夫的工作在湍流理论中的重要性，是难以高估的，它推动了湍流局部结构这一概念及其理论和应用的进一步发展。

柯尔莫哥洛夫回首他在湍流方面的工作（[MM]，第421页）时说：

“我从1930年代后期开始对液体、气体的湍流过程感兴趣。我立即意识到，新发展的多变量随机函数（随机场）理论将成为湍流研究的主要数学工具。此外，很快我就清楚认识到：人们难以发展一种自洽的纯理论框架，这意味着我们需要依赖从实验数据中得出假设。招到能在这样一个理论与实验相结合的交叉领域工作、有才华的学生也很重要。

“我为后者感到幸运：从萨拉托夫大学来莫斯科大学读研的A. M. Obukhov，在我的指导下，写了他的毕业（1939）和博士论文。 几乎同时，M. D. Millionshchikov成为我在莫斯科航空学院的研究生。后来A. S. Monin和Yaglom也成为我的研究生。

“ 1946年，Shmidt建议我担任苏联科学院理论地球物理研究所湍流实验室的负责人。 1949年，该职位转给了Obukhov。我本人并不从事实​​验，但是我与其他研究人员在数据计算和图形模拟方面进行了广泛的合作。”

由于湍流中速度 和压力 的混沌脉动以及其他流体力学特征的存在，使得对湍流单个侧面进行研究几乎是不可能的。这启发了理论创建者雷诺尝试流体的统计描述，他甚至在19世纪末就意识到了这一点。但是，他建议在给定的空间或时间间隔内作平均相当不便，因为难以获得用于平均场的足够简单可靠的公式。

柯尔莫哥洛夫在概率意义上取平均值，即取系综平均。因此，他建议将流体力学特征量的场视为空间和时间坐标的随机函数，这已为当今普遍接受。

柯尔莫哥洛夫对物理学的深刻直觉帮助他区分了哪些定性和定量规律确定了足够大雷诺数的湍流中小尺度脉动（pulsation）的随机性本质（基于作者提出的两个相似性假设）：这些在他1940年的著名论文中得到了清晰阐述，“The local structure of turbulence in incompressible viscous liquid for very large Reynolds’ numbers”，（[K119]，[MM-45]）。

作者引入的假设使人们能够得出重要的定量关系，首要的是著名的“三分之二律”：在流体中相距 处（ 不太大或过小）的两个点的速度差的平方的平均值（均值），与 成正比。

柯尔莫哥洛夫引入的速度场的纵向和横向结构函数 和 已得到大量实验的证实，“三分之二律”（ 以及公式 在相当大的 值范围内得到了验证。 （更多详细资料，请参见[K119]，[MM-45]； [MM]，第421-433页。）

柯尔莫哥洛夫在湍流上的工作[K119]，[MM-45]和[K121]，[MM-46]，在他1961年马赛国际湍流力学学术讨论会的报告中[K306]，[MM-58] ]，以及在[K307]中（与AM Obukhov [141]的论文相邻）得到了进一步发展。 柯尔莫哥洛夫建议用两个更细致的假设来代替他之前（[K119]）的两个相似假设，即，使用归一化的速度差；并提出第三个假设来补充：能量耗散 （在半径 的球面上平均而得）概率分布的对数正态性（logarithmic normality）以及 与 之偏差的的线性性，其中 是所考虑的流长度的特征尺度（characteristic scale）。

这三个假设导致对“三分之二律”的改进 ，其中已考虑到了朗道在评论柯尔莫哥洛夫论文[K119]中提出的观点，即不能忽略随 的增长而引起的能量耗散变化。 （更多详细信息，请参见[MM]第349和428页。）

总结柯尔莫哥洛夫对湍流理论的贡献，可以引用A. M. Obukhov [142]的文章“柯尔莫哥洛夫流及其实验模拟”的最后几行：

”柯尔莫哥洛夫对湍流研究的独到贡献以及他在动力学系统一般理论有关的思想，是研究自然界中最复杂的现象——与各领域知识相关的——湍流的根本参考。 “

译者注：

本文翻译自Shiryaev院士在1989年，为他的老师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）写的长文《Kolmogorov：life and creative activities》，感谢Shiryaev院士允许我翻译他的著作。

1 柯尔莫哥洛夫1941年提出2/3律的论文，史称”K41“，1990s，法国科学院院士、数学物理学家Uriel Frisch专门写了一本专著来讲解这篇论文，Turbulence: the legacy of AN Kolmogorov，引用达到了惊人的8000+。这本书中，作者论证了为什么自然界青睐柯尔莫戈洛夫的2/3律：尺度不变性。我们这部分译文并不详细。在这本书第6章，Frisch讨论了导出2/3律等依据的假设，也强调了柯大师从Stokes-Navier方程导出的4-5律的极端重要性（本译文并没有强调：毕竟对工作的评价因评论者、因时间而变）。

2 网上可以搜到潘玉林博士的一篇文章《流体力学风云录-东邪柯尔莫哥洛夫》，非常有意思。其中，潘老师提到： “2/3 这个数字被无数实验所证实。其中最惊人的当属Carl Gibson教授1991年所测得的星系湍流，其结构函数在近十个数量级的尺度范围内与湍流标度律相符。柯老邪一念之力，竟至于斯。 ”

3 潘玉林老师提到的另一件趣事：梵高的旷世名作“星夜(The Starry Night)”。画中的光影星云结构被认为是湍流涡结构很好的诠释。新近的研究表明：如果将画中每一像素点的亮度看作是湍流场中速度大小的话，由此画所计算出的结构函数与柯老邪的 2/3 律有着近乎完美的相符。

本文源自我的专栏柯尔莫戈洛夫的世界 之

宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫哥洛夫的生平和工作（5）：1940年代，湍流、2/3律、关联函数、标度律。