如果把两个超大质量的黑洞以接近光速相碰撞会产生什么结果? 第1页

这么好的问题下面居然没有一个像样的回答，遂怒答一发。

TLDR：随着（相距无穷远时的）初始速度从零到趋近光速，合并后的黑洞质量以及释放的引力波能量都会趋于无穷大，但两者的比值——引力波的转化效率会从0.1%上升到某个值，而这个值有个约等于29%的理论上限。

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回答之前先贴一个最近的大新闻《嘀嗒嘀嗒：即将合并的双超大质量黑洞》（2022.1.27）

论文报道了一个距离我们12亿光年（红移0.08）、光变周期正在快速缩短的系统，其周期单单在最近的三年观测期间就从一年缩短到了三个月；再结合Hα线的多普勒效应痕迹，高度怀疑该系统为双超大质量黑洞，并且预计合并时间在未来三年之内，最早甚至可能就在三个月之后！如果预言成立，我们即将看到继GW170817双中子星合并之后的第二个“多信使”^[1]引力波事件，甚至可能探测到“引力波记忆效应”^[2]。

值得一提的是论文的作者是中国人的团队，其中一作是中科大的蒋凝老师。注意目前文章还没有被正式接受，但看格式应该是投的Nature没错，能被接受的话估计能很快看到国内媒体报道的大新闻（当然我更期待的是论文预言的大新闻啦）。

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正片：

首先下面大多数回答都没有指出“超大质量黑洞”其实是个天文学专有名词，通常指大于约一百万个太阳质量的黑洞，并且基本上都只栖息在星系的核心（其实应该后句才是定义，而前句是观测结果）。有回答提到LIGO看到的黑洞合并事件，但实际上这些事件100%来源于恒星级黑洞合并，即小于约100个太阳质量（见下图），因此它们相比超大质量黑洞合并的引力波振幅小了20/3个量级，而辐射能量小了4个量级^[3]，两者不可相提并论。

然后是原问题中碰撞的定义。题主的意思似乎应该是面对面碰撞（head-on collision），而不是通常合并事件里的内螺旋（inspiral）碰撞，因为螺旋碰撞时俩黑洞的相对速度显然趋于零（只是角速度趋于无穷大）^[4]。而由于引力波是四极矩辐射，所以质量分布为偶极的对对碰往往只能产生（相对）非常微弱的引力波，比如两个质量相等、初速为零、无自旋的黑洞相撞只会释放系统约0.1%能量的引力波^[5]，留下一个1.999倍质量的黑洞，远没有螺旋碰撞来的壮烈。

尽管对对碰是个相当低效的引力波释放方式，但考虑到星系黑洞万倍于恒星黑洞的质量，释放的能量仍然远高于目前观测到的所有引力波事件，而且自然界中确实存在这样的可能性——星系碰撞嘛，所以这是个相当有研究价值的问题，而且也是数值相对论的benchmark问题之一（见参考综述^[6]）。对于零速无旋的双黑洞碰撞已经有过不少数值相对论模拟，比如Caltech-TAPIR的结果^[7]（下图），这个波形的解析解还专门有个名字叫Zerilli函数^[8]。

那么原问题来了：如果黑洞有初速乃至光速会怎么样呢？首先在质心参考系下，两个黑洞的能量都会boost一个洛伦兹因子 ，而系统能量同样boost到 倍并转化为合并黑洞的质量和引力波能量，所以剩下的黑洞质量以及释放的引力波能量都会随速度趋于光速（ ）而趋于无穷大......这个结果好像也不怎么有趣？

但你如果问两者的比值，也就是引力波的转化效率会随初速如何变化？这则是个相当前沿的数值相对论问题。前面提到了零速时候的转化效率为0.1%，而到2008年的时候Sperhake et al.用数值相对论计算到了0.94倍的光速（对应 ），发现此时的转化效率也从0.1%飙升到了8%左右。

至于这个效率会不会继续上升到100%？答案是否定的，因为霍金早在1971年（以及后来彭罗斯在1974年）给出了结论：两个等质量零自旋黑洞合并的引力波转化效率有个约等于29%的上限。

关于转化效率如何随对撞速度变化的函数形式，Smarr在1977年利用微扰计算给出了所谓的“零频率极限”（Zero-Frequency Limit；ZFL）^[9]

用肉眼洛必达一下可以发现在极端相对论情形下这个函数收敛到 ，一个理论上未确定的极限值。Sperhake et al.利用这个函数外插 的数值相对论数据得到了 。

另外这个问题与“粒子对撞产生黑洞”也有着奇妙的联系，因为在普朗克能标以上的相互作用是引力主导的，此时粒子对撞可以近似为黑洞对撞（或者散射）。比如见：

参考

1. ^ multi-messenger，指引力波还会伴随着电磁波和中微子
2. ^即引力波事件导致的永久性时空畸变，见我之前的回答 https://www.zhihu.com/question/495195036/answer/2195471227
3. ^参考这篇的26和27式 https://arxiv.org/abs/0903.0338
4. ^怎么个趋法参考这篇的120和121式 https://arxiv.org/abs/0903.0338
5. ^ https://arxiv.org/abs/gr-qc/9309016
6. ^ https://arxiv.org/abs/gr-qc/9505042
7. ^ http://www.tapir.caltech.edu/~sperhake/Research/BH_Simulations/head-on.html
8. ^ https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1970PhRvD...2.2141Z/abstract
9. ^ https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1977PhRvD..15.2069S/abstract