数学中有哪些巧合让人眼前一亮？
1. 欧拉恒等式：数学中的“维纳斯”
什么是欧拉恒等式？
欧拉恒等式被誉为“数学中最美的公式”，它将数学中最基本、最重要的五个常数联系在一起：
$$e^{ipi} + 1 = 0$$
其中：
$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.71828，是微积分和指数增长的核心。
$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$，是复数世界的基石。
$pi$ 是圆周率，约等于 3.14159，是几何学和周期性现象的关键。
$1$ 是乘法单位元，是数轴的起点。
$0$ 是加法单位元，是所有数的“归零地”。
为什么它是一个巧合？
这些看似毫不相干的数字，在指数函数、复数、几何和基本算术之间搭建了一座桥梁。更令人惊叹的是，它们通过一个简单的加法运算完美地结合起来，结果恰好是 $0$。这就像是五位来自不同国度、背景各异的杰出人物，在某个时刻奇迹般地相聚，并以一种和谐的方式达成共识。
它为什么让人眼前一亮？
深层联系的揭示： 这个公式揭示了指数函数、三角函数（通过欧拉公式 $e^{ix} = cos x + i sin x$ 可以推导出 $e^{ipi} = cos pi + i sin pi = 1 + 0 = 1$）以及数系的基本元素之间的深刻联系。它表明，看似独立的数学概念实际上是相互交织、密不可分的。
简洁而强大： 一个如此简洁的公式，却包含了如此丰富的信息，并且在物理学（如量子力学、电路分析）和工程学中有着广泛的应用，这本身就是一种巧合的美。
哲学意义： 很多人认为欧拉恒等式带有一定的哲学色彩，它体现了数学的普适性和数学世界中某种“隐藏的秩序”。
2. 帕斯卡三角形的惊人模式
什么是帕斯卡三角形？
帕斯卡三角形是一个由二项式系数组成的三角形数列。它的构造非常简单：每行的第一个和最后一个数字都是 $1$，而其他数字等于它上方相邻两个数字之和。
```
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
```
其中有哪些巧合？
这个三角形中隐藏着令人眼花缭乱的模式，许多看似不相关的数学概念都可以在这里找到痕迹：
自然数和指数： 对角线上的数字分别是自然数 $1, 2, 3, 4, dots$。向右偏移一格的对角线上的数字是三角形数 $1, 3, 6, 10, dots$（第 $n$ 个三角形数是 $n(n+1)/2$）。再往右是四面体数等等。每一行的和是 $2$ 的幂次方 ($1, 2, 4, 8, 16, dots$)。
斐波那契数列： 如果将帕斯卡三角形的斜线上的数字相加，你会得到斐波那契数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, dots$。
素数与整除性： 如果一行（从第 0 行开始）的第一个数字是素数 $p$，那么该行（除去两端的 $1$）的所有数字都能被 $p$ 整除。例如，第 $5$ 行是 $1, 5, 10, 10, 5, 1$，所有的 $5, 10, 10, 5$ 都能被 $5$ 整除。第 $7$ 行是 $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$，所有的 $7, 21, 35$ 都能被 $7$ 整除。
立方体对角线： 如果你尝试将帕斯卡三角形扩展到三维（构成一个“帕斯卡四面体”），你会发现立方体的对角线上的数字与四面体数相关。
为什么它让人眼前一亮？
简单规则下的复杂性： 一个如此简单的生成规则，竟然能孕育出如此丰富和多样的数学模式，这本身就是一种惊奇。
跨领域联系： 它将组合数学（二项式系数）、数论（整除性）、数列（斐波那契数列）等多个数学分支巧妙地联系起来。
可视化和直观性： 帕斯卡三角形的结构直观易懂，即使没有深厚的数学背景，也能从中发现乐趣和规律。
3. π 的一些不可思议的出现
π 的核心作用： 我们都知道 $pi$ 与圆的周长和面积有关。但令人惊讶的是，它也出现在许多看起来与圆完全无关的领域。
巧合案例：
巴塞尔问题（Basel Problem）： 这个著名的数学问题由欧拉解决，它询问所有正整数平方的倒数之和是多少：
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + dots = frac{pi^2}{6}$$
这个结果实在是太出人意料了！没有人能预料到，一个简单的求和级数，竟然与圆周率的平方有着如此直接的联系。
随机投针（Buffon's Needle Problem）： 如果你画一组平行的线，然后随机地将一根长度等于平行线之间距离的针投掷在上面，那么针跨过一条线的概率是 $2/pi$。通过进行大量的实验，你可以估算出 $pi$ 的值。这种通过随机事件和几何概率来估算 $pi$ 的方式，同样令人匪夷所思。
正态分布（高斯积分）： 高斯积分（也称为概率积分）计算了标准正态分布的总概率，其结果也是一个包含 $pi$ 的表达式：
$$int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$$
微积分和概率论中的核心概念也与 $pi$ 紧密相连。
为什么它让人眼前一亮？
普遍性： $pi$ 的出现表明它不仅仅是一个几何常数，而是宇宙中某种更普遍的量的体现。它的身影出现在概率、统计、微积分甚至随机现象中，显示出数学的统一性。
意外性： 从抽象的级数和概率实验中得到 $pi$，这种联系远非直观，因此显得格外迷人。
4. 黄金分割比 ($phi$) 的神奇属性
什么是黄金分割比？
黄金分割比（$phi$）约等于 $1.61803$。它定义为将一条线段分成两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整体与较长部分之比。即 $frac{a+b}{a} = frac{a}{b} = phi$。它有一个代数表达式：$phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$。
其中有哪些巧合？
与斐波那契数列的关系： 斐波那契数列的相邻两项之比，随着项数的增加，会越来越接近黄金分割比。例如：$1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3 approx 1.667, 8/5=1.6, 13/8=1.625, dots$。这个联系在帕斯卡三角形中也体现出来。
自相似性： 黄金分割比的数学表达式本身就具有一种“自相似”的性质：$phi = 1 + frac{1}{phi}$。你可以无限地代入，永远会得到 $phi$。
在自然界和艺术中的出现： 黄金分割比在自然界（如鹦鹉螺的壳的螺旋、向日葵的种子排列、甚至人类面部的比例）和艺术、建筑（如帕特农神庙、达芬奇的作品）中反复出现，虽然有些是人为的解读，但其普遍性依然令人着迷。
与π和e的联系： 虽然不那么直接，但也有一些更复杂的公式将 $phi$ 与 $pi$ 和 $e$ 联系起来，例如通过一些级数或积分。
为什么它让人眼前一亮？
美学与数学的统一： 黄金分割比将数学比例的美感与自然界和人类创造中的和谐比例联系起来，让人们觉得数学是美的来源。
简洁的递归关系： 一个简单的递归关系（如斐波那契数列）能够产生一个具有如此深远意义的比例，这让人惊叹。
跨领域的普遍性： 从数学定义到自然现象，再到艺术创作，黄金分割比的触角伸得很广，显示了数学在描述世界方面的强大力量。
5. 哥德巴赫猜想（至今未被证明的巧合）
什么是哥德巴赫猜想？
哥德巴赫猜想是数论中最著名的猜想之一，它陈述为：“任何一个大于 $2$ 的偶数都可以表示成两个素数之和。”
例如：
$4 = 2 + 2$
$6 = 3 + 3$
$8 = 3 + 5$
$10 = 3 + 7 = 5 + 5$
$12 = 5 + 7$
$100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53$
为什么它是一个“巧合”的猜想？
虽然至今未被证明，但无数的计算表明，所有大于 $2$ 的偶数都满足这个条件。这本身就构成了一个非常强烈的模式或“巧合”。人们观察到的现实（通过计算）似乎遵循一个尚未被数学证明的简单规则。
为什么它让人眼前一亮？
简单陈述下的深邃： 如此简单的陈述，竟然成为了数学家们攻克了数百年仍未完全解决的难题，这本身就极具吸引力。
素数分布的神秘： 这个猜想触及了素数分布的根本奥秘。素数看起来是随机分布的，但哥德巴赫猜想暗示了它们之间存在一种隐藏的、规律性的联系。
数学的未竟之地： 它提醒我们，即使在看似简单和熟悉的领域，数学仍然有广阔的未探索空间，充满了令人兴奋的挑战。
总结
这些数学巧合之所以让人眼前一亮，是因为它们：
揭示了隐藏的联系： 将看似不相关的概念、数字或现象联系起来，展现了数学世界的统一性和和谐。
展现了简洁的力量： 通过简单的规则或公式，可以产生极其复杂和深刻的结果。
体现了普适性： 数学规律常常超越了具体的领域，在自然界、物理学、甚至艺术中都有体现。
激发了好奇心和探索欲： 这些巧合往往是新的研究方向的起点，推动着数学的不断发展。
数学的魅力，很大程度上就体现在这些不期而遇的惊喜和深邃的联系之中。它们是数字的舞蹈，是逻辑的奇迹，是人类智慧对宇宙规律的探索过程中留下的璀璨星辰。
网友意见
（多图预警）
2017.02.28
很荣幸这篇回答被收入了知乎日报。感谢日报：）
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我想讲一个故事。这个故事我已经想讲很多年了。
故事的开头，先从几个（数学竞赛党们）耳熟能详的定理说起。
我们都知道，每个三角形都有外接圆和内切圆。它们的圆心，分别称为外心和内心。外心是三角形三条中垂线的交点，而内心是三条内角平分线的交点。这也许是平面几何中，最简单、也最广为人知的巧合。
（不要吐槽配色……随手画的）
然而，对于四边形来说，这个性质一般来说就不对了。绝大多数四边形，既没有外接圆，也没有内切圆。
过三个顶点的圆可以不过第四个顶点，和三条边相切的圆也可以不和第四条边相切。
不过总有一些比较幸运的四边形，它们有的有外接圆，有的有内切圆。这些幸运儿们也有着一般的四边形所不具备的优良性质。
比如说，假如一个四边形有内切圆的话，那么它的对角线、对边上的切点的连线四线共点。
这是一个漂亮的巧合。而这个定理的名字，叫做牛顿定理。不错，就是那个发现了万有引力的牛顿。
现在让我们的目光转向更为复杂的图形，六边形。
既然大多数四边形都没有外接圆和内切圆，那大多数的六边形就更没有了。不过，我们只关注那些幸运儿们。它们的身上，也有着不同寻常的巧合。
比如说，对于有外接圆的六边形来说，将它的三组相对的边分别延长相交，所得的三个交点共线。
这里，相对的边这样解释：将六条边顺时针编号为1,2,3,4,5,6，那么编号为1和4,2和5,3和6的三组边分别称作相对的边。严格地说，这里需要每组相对的边都不平行，这样才有交点。
这个定理也十分有名，被称作帕斯卡定理。 这里的帕斯卡，也就是大家都认识的那个帕斯卡。
对于有内切圆的六边形来说，有一个更为简洁优雅的巧合：三条主对角线一定相交于一点。
这个定理相对来说较为小众一些，它叫做布里安桑(Brianchon)定理。
注意这个定理和牛顿定理不同，因为对边的切点连线一般不会共点。
到这里为止，数竞党们大概都十分熟悉。下面的才是正题。
如果说有内切圆或外接圆的多边形是幸运儿的话，那么下面所要提到的双心多边形，则可以说是集万千宠爱于一身。
双心多边形，顾名思义，就是既有外心，又有内心的多边形。换句话说，它们既有外接圆，又有内切圆。
在高中的时候，我做过一道竞赛题。它是1989年的IMO预选题，题目很简洁，也很漂亮。
还记得牛顿定理中四条线所交汇于的那个点吗？这道题要求证明，假如牛顿定理中的四边形是双心四边形，那么这个四线相汇的点也在内心和外心的连线上。
换句话说，就是双心四边形两条对角线、两条对边切点连线、两个圆心的连线这五条线相交于同一点。
这道题看似复杂，其实并不难。假如知道和配极相关的基本结论的话，证明几乎只要三行字。
2011年10月初的一天，当时高三的我看到了上面这道题目。我很快就做了出来。然而，面对如此漂亮的结论，很难不让人浮想联翩：如果把这道题中的四边形换成六边形，会怎么样呢？会不会从五线共点，变成七线共点？
我的直觉告诉我，这个结论对于六边形很可能是错的。因为对于有内切圆的四边形来说，牛顿定理就保证了四线共点，加上一个外接圆的条件，结论只是多一条线（圆心连线）经过这个点。
而对于有内切圆的六边形来说，Brianchon定理只能保证三线共点，而加上一个外接圆的条件，居然要证明七线共点，也就是多四条线经过这个点。这怎么看都不像是对的。
然而我还是将信将疑地打开了几何画板。 由于我不知道怎么用尺规作出双心六边形，所以只好近似作图，花了好久才画了一个相对精准的图。画完图的一刹那，我就惊呆了：
这特么居然是对的！面对如此漂亮，还是自己猜到的结论，我当即决定试着证证看。
事后看来，这大概是我十年竞赛生涯中做过的最难的两三个几何题之一。不过好在对于六边形来说，有帕斯卡和布里安桑先生们的保佑，问题还不算难得太夸张。尽管费了将近两小时，我还是把它证出来了。
证完之后还没顾得上得意，又一个邪恶的念头从我脑子里冒了出来：既然这个巧合对四边形六边形都成立，会不会对八边形也是成立的呢？
虽然我很希望它是对的，但是冷静下来一想，我还是觉得它怎么都不像对的。因为对于双心六边形来说，Brianchon保证一个三线共点，Pascal加上配极又保证一个三线共点，下面只要证明这两个点是同一个，还在圆心连线上就可以了（这也是我的证明思路）。但是到了八边形，Pascal和Brianchon都没法保佑我了，这鬼东西如果是对的谁能证得出来？
然而抱着将信将疑的态度，我还是决定画个图。
……
……
……
……
……
……
是的，和你们想的一样，我又被打脸了。这玩意还真特么就是对的！
这时候我已经在风中凌乱了。我实在是没法想象这鬼东西能怎么证明…………然后又一个可怕的念头闪现了出来…………这破玩意该不会对所有2n边形都成立吧？
我当即决定画个图。既然我都肯定证不出来了，干脆搞个大新闻，直接翻个倍，画16边形吧。
后来的事情你们应该也猜到了…………半小时之后画完图，我看到的画面是这样的：
我感觉整个人都斯巴达了。
我相信自己一定发现了一个不得了的东西，就拿着这东西去问竞赛圈一个有名的老师。他告诉我，以前在一个数学论坛上有人提到过这个结论，据说（未经证实，我猜很有可能不完全对）某个国家队的大神（不说具体是谁了）也发现过这个结论，还给了一个对于一般情况的物理（黑人问号脸）证明。具体是什么他也不清楚。
尽管没法自己证明这个定理，但我还是深深地被这个结论的壮观与美丽震撼到了。我告诉自己，一定要拿到数学联赛的一等奖，然后保送去北大的数院继续学数学。
然而我并没有如愿。
一周之后的联赛，我只用了三分钟就做出了平面几何大题。尽管其他发挥不太理想，我还是顺利获得了保送。在保送生面试中，北大的招生老师问我，想学什么专业？我毫不犹豫地回答数学。
然后他问：还有别的吗？
我想，他大概是觉得我的联赛分数还不够高吧。所以最后我来到了北大，但没有去成数院，一年之后又阴差阳错地决定不转系，从此远离了真正的数学。
故事还没有结束。一年多前一次偶然的机会，我从知友 @rainbow zyop 那里知道了这个定理的来历。
这个定理被称为彭赛列(Poncelet)定理，是数学家彭赛列在1813年法俄战争中，在俄国萨拉托夫的战俘营中发现的（这是有多么闲的蛋疼才能证出这么诡异的定理……）。在彭赛列发现这个定理的两百年后，2014年9月的美国数学月刊上，两位来自苏黎世理工大学的数学家发表了一篇题为《彭赛列定理的一个简单证明》的论文，给出了这个定理的一个初等证明。 不过，这个“简单”的证明长达12页。（虽然我知道12页的初等证明对于这个问题来说应该已经算短了……）
有兴趣的读者可以参考http://user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/pdf/poncelet.pdf 。
我想，这大概算是我见过的数学中最美丽的巧合吧。时隔五年后的今天，我还能想起那个十月的下午，发现这个神奇的结论时激动的心情。我真的很怀念当年参加数学竞赛的日子，那种单纯地喜欢数学之美的时光。
最后我想用罗素的一句话结束这个回答。
欧氏几何如同初恋般美好。
（多图，流量党慎入！）
谢邀，我来讲一个四年前的故事。
初三的某节数学课上，我突发奇想：
在圆周上的n个点两两连线，最多可以把圆分成几份？
（不要问我为什么会突然想到这个问题……）
于是我就拿出纸和笔开始画起来——
一个点显然连不了任何直线，所以整个圆还是1份；
两个点之间可以连一条线，这样圆就被分成了2份；
三个点可以连成一个三角形，圆被分成了4份；
四个点两两相连把圆分成了8份。
啊，这个规律似乎已经很明显了，1、2、4、8，那么下一个肯定是16嘛！
果不其然，五个点两两连线，圆被分成了16份。
于是，我觉得自己已经解决了这个问题，直到……我决定再加一个点。
为什么是31份？？？？
我又数了一遍，还是31份，并且在圆内也没有出现三线共点的情况……
这是什么情况？？？？
于是我又加了一个点：
七个点，57份。
啊，这下跟2的幂彻底没有关系了。
那规律到底是啥呢？
在与几个朋友一起讨论了数个小时之后，我们找到了答案。
为了分析这个问题，我们不妨先好好审视一下其中的一条直线，看看它是怎样把圆分割开的：
以上图中突出显示的这条线为例，假设它是从左往右画上去的，我们重现一下画图的过程：
从左端点开始，慢慢向右画，每当它碰到一根其他的直线段时，它就把某一块区域彻底地分成了两份，于是总份数就多了一；而当它最后抵达圆周右侧上的点时，总份数又多了一。
也就是说，圆内部的每一个交点都使得总份数增加了一；除此之外，每一根直线段最后抵达圆周时，总份数也增加了一。
所以，总份数应该是 1 +『圆内部的交点数量』+『直线段的数量』。
为什么会有一个1？因为圆本身最开始就有一份啊。
我们先来求直线段的数量——这个很简单，由于n个点中每两个点之间都可以连一条直线段，所以这就相当于是在求『n个点中选2个点有几种选法』，也就是.
那圆内部的交点数量怎么求呢？
注意，虽然每个交点都是由两条直线段相交而成的，但我们并不能把这个问题简化为『m条直线段中选2条直线段有几种选法』，因为并不是每两条直线段都相交的。
那怎么办？
（再往下继续看之前，大家可以自己先想一想=w=）
（提示：对角线）
啥意思？
再放一张图来提示一下：
好了我要说答案了：
我们可以把圆内部的每个交点看成是某个圆内接四边形的对角线交点，于是在n个点中，任意四个点的组合都对应了圆内部的某个交点。
所以求圆内部的交点数相当于是求『n个点中选4个点有几种选法』，也就是.
于是我们最终的公式是：
啊。问题解决了……
吗？
等等，我还没回答题主的问题呢。所以说这有啥『巧合』？
没什么巧合。至少当我在初三那年找到了上述解答之后，我觉得没什么巧合，问题已经解决了……
直到半个月前我看到了这个视频：
A Curious Pattern Indeed我真想狠狠扇自己的脸！我当年竟然没有多问一句：
为什么当n比较小的时候，份数恰好是2的幂？
而且，当n等于10时：
256份！又是2的幂！
为什么？？真的只是巧了吗？？？
我非常赞同
@郁林成森在回答中所说的：
数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。
所以说这到底是为什么呢？
原因跟这个东西有关：
这不就是杨辉（帕斯卡）三角形么？除了最左与最右的1以外，每个数都是由其左上与右上的两个数相加得到的。这我早就知道了，可是跟这题有啥关系？
啊，说得很对，杨辉三角形的构造方法确实很简单，不过……让我们算一算每一行的和：
咦！为什么刚好是2的幂呢？
我们可以换一个角度来看杨辉三角形的构造方法：
每一个数被复制了两份，分别加进了左下角与右下角的两个数中。
所以下一行的和自然是上一行的两倍，而由于第一行的和是1，所以每一行的和就都是2的幂啦！
哦原来是这样，好有道理！不过这跟分圆有啥关系啊？
啊，这是因为，杨辉三角形还有另外一种形式：
我去！这是为啥？？
啊，这其实只需要证明就好了：
如果我们要从n个苹果里选k个苹果，那么我们有种选法；而假设n个苹果中有一个是坏苹果，那么这种选法中，选到坏苹果的有种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k-1个），没选到坏苹果的有种（要在除去坏苹果的n-1个苹果中选k个），所以.
啊，当我把杨辉三角形写成这种形式之后，之前分圆的公式与2的幂的关系就很紧密了！
由于，所以实际上n个点情形的公式就是杨辉三角形中第n行第0、2、4列的和。（注意，我们是从0开始数的！）
比如，当n=5时，份数就是第5行第0、2、4列的和：
写成之前的形式就是这样：
由于每个数都是左上和右上两个数的和，所以这三个数的和其实就是上一行的和：
而我们之前已经说过，杨辉三角形每一行的和都是2的幂，所以当n=5时，份数是2的幂。
当n更小的时候，情况类似。
而当n=6的时候，问题来了：
写成原形式：
而此时，它们的和就不是上一行的和了：
少了最右边的一。
这就是为什么n=6时，结果是31份。
而当n=10时：
这三个数刚好是上一行的一半：
而2的幂的一半也是2的幂，所以n=10时，份数256就是2的幂啦。
这就解释了我们之前的『巧合』=w=
顺带说一句，杨辉三角形其实水很深，我们甚至可以在杨辉三角形中找到斐波那契数列，不过这里我就不细说了。
这篇回答的配图来自于
Circle Division Solution，不过我初三时的推导方法要比视频中的简洁得多。视频里用了欧拉公式，麻烦了不少，不过也挺有趣的。
那么就这样=w=
果真学习不好会被知乎大神们鄙视。的确，这个是你想明白了就没什么亮眼的东西，但你乍一看是不是觉得还挺好玩，哈哈。主要看没人提Pandigital的事，就放了一个答案在这，权当抛砖引玉。
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下面这个Pandigital Formula应该可以算是让人眼前一亮：
这个算式的左边是数学常数e，就是我们熟知的2.71828...。算式的右边则是一个Pandigital Formula，一个使用了 1-9 十进制数字的算式。[1]
这个近似有多准确呢？直至小数点后18457734525360901453873570位它和数学常数e都是一样的! [2]
这个算式由Richard Sabey发现于2004年（一个年轻的算式）[3]
类似的Pandigital Formula还有很多，也都很有趣，大家可以google一下:)
Informal Simple References:
[1]
Pandigital number[2]
e Approximations[3]
Math Magic
log2(3) ≈ 19/12
这个式子意味着(2/3 * 4/3)^6 ≈ 0.5，于是用三分损益法能生出十二律（并且计算一下就会发现最终是均匀的）
以及一个稍差一点的
ln2 ≈ 0.693, 于是有了72/70法则，刚好2/3/4/5/6/7/8/9/10/12都能整除
音乐中为什么有7个音，为什么有升降号，为什么有和弦，都源自于数学中的巧合。
用五度相生律计算，五度比值为2/3，假如c1为1，那g1就是1.5，d2就是2.25，a2就是3.375，e3就是5.0625，再移低两个八度除以4，就是1.265625，所以小字一组CEG大三和弦为1、1.265625、1.5，按照五度相生律中的E有一点不协和。
但是按照纯律计算，大三度比值为4/5，假如c1为1，e1为1.25，g1为1.5，这个大三和弦听起来就非常协和了。
还有平均律，是以2开根号12次方为比值的，都是无理数，假如c1为1，e1约为1.2599，g1约为1.4983，感觉是不是极度不协和？确实是的，但是平均律方便移调，实际上现在的钢琴都用平均律。
其实各音频率差都非常小，以至于耳朵不敏感的人都听不出来。
所以三种律法的巧合导致12音体系的存在，七个白键五个黑键，其他无论怎么创造多少音的体系都不会有这么巧合现象存在了，比如为什么没有11音体系或13音体系，或者程序员喜欢的数字8音16音32音体系呢？
*********补充********
好多人没理解到巧合的含义，好像以为12音体系是人工创造的就就不存在巧合，我的意思是通过三种律法创造出的音恰好都是在有12个音时频率高度重合，而不是两两之间各自有重合的音，假如前两个律法在有10个音时重合，后两个律法在有12音时重合，那可能至今也没有一个合适的律法，还有平均律为什么开12次方就恰好能和其他两个律法高度重合而不是开其他次方？如果开50次方才能重合的话岂不是有50个音？
说个和计算机科学有关的例子.
如果是熟悉组合数学的话, 那么对代数数据类型一定不会感到陌生, 代数数据类型和组合集合几乎有相同的结构. 在代数数据类型与求导之间有个非常"巧合"与微妙的关系(不过准确来说数学不应该有巧合)
这里先简单介绍一下代数数据类型:
可以在类型(数据结构)和代数之间构造一个可逆映射(同构), 这就是为什么称为代数数据类型, 可以采用代数方式对类型进行运算.
类型可以定义为所有可接受值的集合
空类型(Void): 不接受任何值, 映射至自然数0
单位类型(Unit): 只接受一种可能值, 映射至自然数1
在类型上定义加法与乘法
加法:
乘法: (笛卡尔乘积)
可以证明类型上的加法与乘法具有代数加法与乘法相同性质(交换律, 结合律, 分配律)
并且空类型为加法单位元, 单位类型为乘法单位元.
接下来可以运用上面元素与运算构建新类型:
二元类型(布尔型, Bool):
接受两种可能值(True, False)
可映射至自然数2
整数型(Int):
接受0-2^31-1
可映射至自然数2^31
组(Pair):
接受两个相同类型构成的二元列表
将TypeX映射至代数x, 那么组类型为x^2
列表(List):
接受多个相同类型构成的列表
一个列表可以为空列表, 包含0个元素, 为Unit, 或者一个元素(列表首)后面跟着剩余列表. 这个为列表的递归定义. 对应的代数形式:
可以解出
进行泰勒展开得到
正好对应于长度为i的列表, 如上为二元列表.
二叉树(Tree):
一颗树可以为空树, 包含0个节点, 为Unit, 或者一个元素(树根)下为左子树与右子树. 这个为二叉树的递归定义. 对应的代数形式:
可以解出
进行泰勒展开得到
正好对应于总节点数为i的二叉树, 系数表示所有可能树的结构的数目[1].
接下来是最奇妙的"巧合"
如果对类型进行求导会发生什么
对一个有限类型集合(Unit, Bool, Int,...)进行求导
对组进行求导
对列表进行求导
对二叉树进行求导
求导产生了一个新的类型, 这个类型正好是原类型中从中挖去一个元素留下一个洞(Unit)的类型(One-Hole Contexts)
这种类型在函数式编程语言里非常有用, 对该类型乘元素类型补全, 将得到与原类型结构相同并同时拥有局部性的类型, 参考Haskell的Zippers
对于一个有限类型集合
挖去一个元素后该类型即为空, 即是0
对于组
挖去一个元素有两种可能 or , 即是2x
对于列表
挖去元素后列表断开, 剩下左半列表与右半列表, , 即是L(x)^2
对于二叉树
挖去元素后列表断开, 剩下以该节点为树根的左右子树和从树根到该节点的路径上的每一个节点与其非路径节点的子树构成的列表, 路径上的每一个节点的非路径节点子树有两种可能(左或右子树)[2]
即为:T(x)^2*L(2xT(x))
T(x)^2为该节点下的左右子树
L(2xT(x))为一个列表, 记录从树根到该节点的路径, 列表里的每一个元素类型为2xT(x)
2xT(x), x为路径上的一个节点, T(x)为该节点相连的非路径节点的子树, 2表示该非路径节点的子树应为左子树或右子树.
同时可以证明的是[2], 求导的基本性质与链式法则对于类型同样适用.
对于一个代数式进行求导有明确的分析意义. 但对于一个类型进行求导的直观意义就非常微妙了, 得到的是带有洞的新类型. 这之间的联系也许是"巧合", 也许揭示了类型与分析之间存在更为深刻的关联.
参考资料:
[1] Analytic Combinatorics, Flajolet and Sedgewick
[2] The Derivative of a Regular Type is its Type of One-Hole Contexts, Conor McBride
不邀怒答，来来来……首先请题主明白一点：数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。
1.Euler公式：如果是一个有个顶点，条边和个面的连通平面图，那么
上面的这个被称为的Euler示性数，于是就有更加牛逼的Gauss-Bonnet-陈公式：若是的一个紧的定向曲面，是高斯曲率，是Euler示性数，则
说个有意思的应用，对于极大多数有机物（就是说它的结构简式是可平面的），如果记为它的不饱和度，为其结构简式平面化后的面数，则
2.勾股定理：记为一直角三角形的三边长，为斜边，有
更进一步，我们有勾股定理的三维推广：若三棱锥的三条棱两两垂直，记为三个侧面和一个底面的面积，有.证明很简单，先将底面对每个侧面做投影，再将每个侧面对底面做投影，算两次就行了。
3.素数定理：记为不大于的素数个数，有
第一个关于素数分布规律的重大结果，永远的经典。在假定黎曼猜想的成立的前提下，有如下结果
4.调和级数：记，有
当然可以把上述估计式的误差项写出来，但实在没意义，还丧失了美感。更进一步，我们有：记，其中为第个素数，则 .美不胜收，美不胜收！从上面这个估计式可以毫不费力的证明素数的倒数和是发散的，进而显然素数有无穷多。
5.黎曼猜想与调和级数：同上定义，则黎曼猜想等价于如下不等式
惊艳！等价性由Jeff Lagarias证明，很难想像黎曼猜想这个世界上最困难高深的命题竟然与这个几乎完全初等的不等式等价！！如果要评选最美的数学巧合，我投它一票。
6.共点与共线：（Menelaus定理）中，点分别在边上，则共线等价于
（Ceva定理）中，点分别在边上，则共点等价于
难道我大Menelaus和大Ceva不美吗？？站在射影几何的高度上来看，Menelaus定理和Ceva定理是对偶命题，其中一个正确则另一个也正确。于是由对偶原则我们可以发现下面两组等价的共点、共线问题：
1）（Desargue定理）平面上有两个三角形、，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.
（Desargue逆定理）平面上有两个三角形、，如果对应边或其延长线相交的三个交点共线，则它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点.
Desargue定理的对偶命题即是其逆命题，因而两者是等价的，换句话说Desargue定理是自对偶的.
2）（Pascal定理）如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线.
（Brianchon定理）如果一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三条对角线共点.
Pascal定理是Pappus定理的推广（两条直线可以看作为一条圆锥曲线），其对偶命题就是Brianchon定理，因而两者也是等价的。
7.共点与共圆：借助反演变换，我们可以发现共点与共圆的等价性.
不过反演中心的一条直线过反演中心的圆，于是就有不过反演中心的三点共线此三点的反演点与反演中心四点共圆.
这个定理也是相当惊艳，因此导出的下面两个等价命题更是其惊艳的应用：
（Sylvester定理）若平面上的一个有限点集满足，对于任意的，存在使得共线，则中所有点共线. （苏联竞赛题）若平面上的一个有限点集满足，对于任意的都存在另一定点使得四点共圆，则中所有点共圆.
8.Euler公式：
初看此定理难道没有一种“此题只应天上有”的感觉吗？更进一步，Euler证明了如下定理：
其中是Bernoulli数，前几个是
还有类似的定理：
9.Euler线定理：任意三角形中，重心，垂心，外心，九点圆圆心四点共线，且，换句话讲这四个点构成调和点列.
用向量可以毫不费力地证明Euler线定理.
10.自然数幂的和：
高票回答提到了，这其实是下面这个更一般定理的推论：
其中是Bernoulli数，是Bernoulli多项式.
这里稍微一提Bernoulli多项式：设是复数，满足下列方程的多项式称为第个Bernoulli多项式
特别地，为第个Bernoulli数.
11.Fermat小定理：设是任意素数，则对任意整数有.特别地，若，则.
很漂亮，很有用的定理，更进一步Euler对其有如下推广：记为不大于且与互素的数的个数，则对任意整数有，为素数时即为Fermat小定理.
特别提一句，对Euler函数有这么一个美丽的结果：
有不少证法，比较简单的一个是先证明对素数的幂成立，在证明若有
这应该没啥难度.
12.二次互反律：设为两个不同的奇素数，则
其中是Legendre符号.
怎能不提我大二次互反律，这可能是除勾股定理外证明最多的定理了，其重要性不言而喻，简直就是打开了二次剩余理论的大门啊。二次互反律相当深刻地揭示了方程与之间的联系，而且形式又如此简单，当是数学中最美妙的几个定理之一了。
13.代数基本定理：每个复系数非常数多项式在复数域内至少有一个根.
最最有名的定理，当然可以加强成次复系数多项式在复数域内有且仅有个复根。稍弱一点，我们可用数学归纳法证明：次实系数多项式多项式至多有个实根。值得一提的是，如果你注意到同余“”本质上 跟等号没有区别，就会发现这跟数论中的Lagrange定理是等价的：
（Lagrange定理）次同余方程至多有个根.
怎么样？是不是有种神清气爽的感觉？
14.不等式：各种不等式虽然算不上巧合但是不美吗？
（Cauchy不等式），则 （加权均值不等式）若，则 (Schur不等式）对任意的及， （Murihead定理）对于任意的及，若，，则
不等式简直美呆了……多年经验来看，Schur不等式和Murihead定理都比较精密，应用起来也相对暴力一些。
15.Hall定理：设二部图的两部分分别为，，中一组无公共点的边，一端恰好组成中的点的充分必要条件是中的任意个点至少与中的个点相邻.
Hall定理又被称为完美匹配定理，最最常用的故事大概就是说：有个男生向个女生表白，已知任意个男生至少喜欢个女生，则存在一种分配使得所有男生都能与自己喜欢的女生牵手。“虐狗定理”……七夕快乐：）
16.Cayley定理：阶完全图有棵生成树（顶点不同但同构的算作不同的生成树）
超级漂亮的结论，有好几种神奇的证明方法（隐隐约约记得貌似有线性代数的？？），我们有如下强得多的结论：（Matrix-Tree定理）记分别为图的度数矩阵和邻接矩阵，我们称矩阵为图的Kirchhoff矩阵（也称Laplace矩阵），则的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵的任意阶代数余子式的绝对值.但是要从Matrix-Tree定理中直接得到Cayley定理也不是那么简单，很难。
17.Turan定理：若个顶点的图有条边，且中不含三角形，则.
等号是可以取得的，作为习题自己构造去……（提示：考虑二部图）
Turan定理揭示了这么一个原理：当一个图的边数足够多时，这个图会出现相当多的特定结构。
更进一步，Turan证明了：若阶图不含阶完全图，记，则的边数.这个等号也是能取到的，构造也是考虑部图。
18.Kuratowski定理：一个图是可平面的，当且仅当它不含或构型.
所谓可平面的，即指一个图可以画在平面上且不存在相交的边。由Kuratowski定理可以看出，最简单的不可平面图就是和了：
这是相当厉害的定理，给出了一个图是否可平面化的判定标准。前面说过，几乎所有有机物的结构简式都是可平面的，这里就能说清楚了：什么有机物能既含或又能稳定存在？？不多吧，反正烃和卤代烃不行。
19.Ramanujan的逆天公式
说起数学之美，怎能不提Ramanujan的各种反人类的公式呢？随便举几例，你们感受下：
（这个级数收敛极快，取第一项就能精确到小数点后8位）
如果，则
如果，，则
如果且，则
膜拜吧，人类！！无以言表，五体投地，伏地膜……
长注：这里要说一下，题主提的Euler虚指数公式多数情况下讲并不是定理。Euler的这个公式最先是Euler通过极不严格的变换求和顺序从Taylor展开中得到的，Euler并未说清楚它的严格性；再一点，当时并未定义什么是虚指数以及涉及复数的无穷级数敛散性，因此Euler公式多半是定义了什么是虚指数，而非一个关于虚指数的结果，也就是说它是个定义而非定理；第三点，Euler的“证明”说明了这么定义虚指数是合理的，即不会出现矛盾，从这个方面看它还是有积极的作用的。
修改补充：前面说得有点问题，在单元函数的复分析中，首先是定义的对数函数，再将指数函数定义成的反函数，这跟实分析中的先定义（即）再反过头来定义指数函数差不多。
记函数，定义其构成的积分路径上的积分为
然后定义对数函数，利用上面的定义是可以算出（记），接下来定义指数函数：
定义：如果的任何一个值等于，就称是的反函数，并记为.
确实可以从这个式子中算出Euler公式，但毕竟定义不同是不是？？（傲娇脸）上面这个定义是Hardy的《A Course of Pure Mathematics（纯数学教程）》给出的，并不需要Euler公式；我记得北大陈天权老师的《数学分析讲义》中是使用无穷级数定义的三角函数和自然对数，是不是就要用它来说明定义的合理性了呢？？
上学时，数学竞赛获得优胜，主办方额外送了本书《Proofs Without Words》，里面有很多脑洞大开的巧合：
证明：
步骤再详细点：
证明：
证明：
证明：
...
证明
进阶一点，三角函数：
证明：
证明：
证明：
证明：
证明：
如果感兴趣，可以在网上搜 Proofs Without Words，共两本。
附下载链接（从俄罗斯的找到的，所以速度较慢）：
第一本：
http:// golibgen.io/view.php? id=858654第二本：
http:// golibgen.io/view.php? id=858655当然，还是支持正版：
第一本：
https://www. amazon.com/Proofs-witho ut-Words-Exercises-Classroom/dp/0883857006/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-1&keywords=proofs+without+words第二本：
https://www. amazon.com/Proofs-Witho ut-Words-Exercises-Classroom/dp/0883857219/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-3&keywords=proofs+without+words额。。。啥时候又出了第三本了。。。
https://www. amazon.com/Proofs-Witho ut-Words-III-Exercises/dp/0883857901/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-2&keywords=proofs+without+words
神奇的把结合在了一起.
可以用Mathematica验证下...
NIntegrate[E^(I Pi x)x^x (1-x)^(1-x),{x,0,1},WorkingPrecision->40]-I Pi E /24.0 取围道C:
我乎支持的TeX命令有点少,连LaTeX这个命令都报错.....
另外γ估计乘不进去了...带γ的只有多对数函数Li或者调和函数Hn...这个系列和指数E^x,x^x不兼容的...
很多答主都是玩数学竞赛的，我作为一个曾经的物竞党也来讲个有意思的经历吧。
记得那年我高二，觉得竞赛很有意思，弄了点书自己看，自娱自乐，觉得挺好玩。
由于起步很晚，所以当时看了一点高数，懂一点微分，会一点级数展开，就开始对着物理书瞎折腾，刚好看到弹簧那部分，照着最基本的模型列了一个微分方程：
列完之后懵逼了，当时还不知道啥叫微分方程，也不会解，愣了一会儿
想了想普物里面经常整些几阶近似开啥的，自己也只会这个，于是就开干：
妈的，直接设
然后往方程里一扔：
我当时也是没见过世面，看到自己整出来这一坨，又懵逼了
咋办呢，都走到这一步了，干脆一不做二不休，继续折腾！
反正k和m都是常数，直接
令
于是稍微好一点了：
然后忽略掉方程两边相同的部分，得到一个等式：
一看，只要知道了，那么等等都有了
有了的话，也没问题！
但是我们这里也不造是啥，咋办呢
管他的，令
嘿嘿，这下好算了
经过一番折腾，得出来一坨东西
我一看，惊了！立马想到了
可惜不对……
但灵光一闪，又想到了三角函数：
我心里惊呼一声，卧槽！不会是巧合吧？！
然后多列了几项验证了一下，发现不是巧合……
于是经过修修补补，得到方程
解为：
这还没完，刚才的那个展开式和长得太可疑了吧
但直接把扔进方程里面是不对的，于是修修补补，瞎折腾半天，发现！
是满足方程的！！！
（后来才发现还漏了一项........）
等等，我怎么感觉这两个解这么奇怪：
一个是
另一个是
啥？！三角函数和指数函数是同一个方程的解？！
后面的就简单了
我把直接展开，长这个样子：
直接把奇数项拿出来，就等于cosx
而偶数项，经过观察，实际上就等于sinx乘上一个虚数i
所以……
我当时整个人都疯了，这尼玛是啥？！我算错了？！我特么怎么整了个这个东西出来？
于是花了一下午反复地计算，折腾了好久发现应该不是幻觉，也没弄错……
直到后来某一天，我看到一个东西叫欧拉公式……
谢邀
前一阵刚好听别人讲了一个神奇到不科学的代数式:
即：
当时瞬间觉得自己代数都白学了，竟然还有这么美的结论不知道
谢谢大家的赞，刚刚更新完，新鲜出炉！
几何篇
1. 圆锥问题
3D空间中一个圆锥体，用一个平面和圆锥体的锥面相交（不经过圆锥顶点），当交截线是闭合曲线的时候，会形成一个横截面。“显然”，当平面和圆锥底面平行的时候，这个交截线是一个圆。不平行的时候，交截线会是什么图形呢？
从上图看很像椭圆啊？可镜头是以透视方式去观察的，在3D空间中的透视效果如何还原成空间中本来的形状，这个需要我们有一定的空间想象能力。算了， 我们还是把镜头调整一下，让我们的视线和平面垂直，看一下横截面是什么形状吧。
好标准的一个椭圆啊！有这么巧合的事情吗？还是这个平面倾斜的角度恰巧形成一个椭圆？椭圆和圆锥体他们有什么关系啊？
我们首先来看一下椭圆是怎么形成的？
高中的时候我们学过，椭圆有2个焦点，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是一个常数。那这个性质和圆锥到底有什么关系呢？
如果大家还有印象的话，椭圆，抛物线和双曲线统称为“圆锥曲线”，难道就是因为平面和圆锥面相交会形成椭圆，我们就把它归为圆锥曲线的一种吗？不同倾斜角度的平面和圆锥体相交，是不是会形成不同的曲线？
不卖关子了，数学上确实可以证明，上述交截线就是一个椭圆。
有很多证明方法，但都免不了复杂的数学推导，过程繁琐。我这里再介绍一种”显然“的方法。不用动笔，跟着我的思路走，结果也会慢慢浮现。
我们首先在圆锥体里面塞两个小球，一个球在平面上面，一个球在平面下面。假设这两个球可以逐渐变大并且维持球体的形状。我们先看上面这个红球。
红球不断的变大，当达到最大的时候，红球会有什么特征呢？
卡在里面一动不动，和平面相切于一点，同时会和圆锥面相切与一个圆处（如下图黑色圆圈）。
同理，下面的蓝球也和平面相切与另外一点，并且也会和圆锥面相切与另外一个圆处（也如下图黑色圆圈）。
如上图，两个球会和横截面形成两个切点。
这时候我们我们回顾一下上面椭圆的性质，
椭圆上任意一点到两个焦点的距离和是一个常数。
这两个切点是不是焦点呢？如果是，我们怎么将距离和转化为常数呢？看下图
椭圆上任意一点 ，到与小球的切点 的距离分别是 ，我们现在的目标是看看能不能将 转化为常数。
在这之前，先看另一个问题。
初中我们都学习过，在平面中，圆外一点C向圆做切线，则两个切线长度相等（切线长定理），用全等三角形很容易证明，如下图。
同样的结论对于三维也是适用的。
3D空间中，球外一点A，分别向球做切线，则切线长度同样相等。
将切线长定理扩展到三维以后，我们再回头看看上面的题，是不是很容易证明了。
为了看起来方便，将上面的图重新copy一遍。
点在圆锥面上，圆锥顶点 连接圆锥底面圆上任意一点，我们叫做圆锥的母线。
这里，我们让母线经过 点，于是母线会分别和上下两个圆形（两个小球和圆锥面相切所形成的）相交于 。由于母线和两个小球相切，所以 分别于蓝色和红色小球相切。
同时， 在横截面上，这个横截面又同时与上下两个球相切， 又是和两个小球的切点。所以 和 同时与蓝色小球相切， 和 同时与红色小球相切。”显然“
，
于是
而 在横截面确定下来以后，无论 点如何变化，的间距是固定的。
交截线上任意一点到 的距离是常数，所以交截线是椭圆，而切点 恰好是椭圆的焦点。
证毕。
不用高深的数学知识和复杂的推导，初中生就可以理解其中的美妙，这就是数学之美吧~这种灵感只能是上帝赐予的~
我们再证明平面几何的时候，经常会用到”辅助线“，这里面我想把这两个小球叫做三维空间的”辅助球“，希望这个证明能让不喜欢数学的人爱上数学。
2. 三圆问题
任意三个圆 ，两两相交，如下图。会形成三条公共弦。这三条公共弦会有什么神奇的特征呢？
我们来看一下
咦？好像 3条公共弦相交于1点啊？是不是巧合？我们再做一个图试试。
还是相交于一点啊？
运用归纳法，是不是三个圆两两相交，公共弦是不是一定相交于一点啊？
总算找到一个反例，三条公共弦平行。那是不是只要不平行，三条公共弦一定相交于一点呢？
常规的证明我们就不介绍了（三线共点经常会用反证法，也可以用解析几何的方式证明）。这里我们介绍一种“显然”的方法，不用动笔，只需要跟着我的思路，结果就慢慢浮现。
我们看看提高一个维度会发生什么？
当我们把二维上的圆形提高一维变成三维空间中的球体，每个圆形的半径作为球体的半径。因为三点确定一个平面，所以3个球体的球心形成一个平面，正好是三个球体的“赤道面” - Plane。而这个“赤道面”会和3个球体形成一个截面，这个截面就是题目中的3个圆。
那我们在看看在三维空间中，这3个球体有什么特性？
从图中可以看出，每两个球体也会相交形成一段圆弧， （这里只考虑了在球体外的部分，实际上球体内还有相交的圆弧）。在“赤道面”镜面对称也会各有一段一样的圆弧。
从图中显然可以看出，这三个球体一定会有2个公共交点 ，一个是 ，另外一个和“赤道面”镜面对称的 。
“显然”，这三段圆弧在“赤道面”的投影就是题目中的公共弦（球体内的圆弧一起考虑进去），而 在“赤道面”的投影 就是这3个公共弦的交点。所以，交点有且仅有一个。
证毕！
其实我想把这种证明方法称作“降维打击”。
做了这个多图，累死我了。如果觉得不错，麻烦点个赞~
代数篇
斐波那契数列大家都知道，
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 ........
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
可大家或许不知道，斐波那契数列又称“黄金分割”数列。前一项与后一项的比值越来越接近于黄金分割数 。
是巧合还是我们仅仅做了几个数的归纳，并没有实际的理论支持呢？
我们试着来证明一下
证毕。
奇妙的是，不仅仅斐波那契数列和黄金分割率有关，
这两个极限也和“黄金分割数”有关，大家可以尝试证明，结果和 有什么关系？
这是数学的巧合还是大自然蕴藏的数学之美？我一直认为上帝是一个高超的数学家和设计师。
后续更新数论篇........
以上证明仅仅提供另外一种巧妙的思路，仅对开拓思维有帮助。严谨的数学证明显然不能用“显然”二字。
最后，数学思维能不能作为我们生活中分析问题，解决问题的底层工具呢？让我们避免生活中的非理性，成为生活的解题高手。请参见我的另一篇回答（很长）
码了这么多图和公式，还请留个赞吧~
椭圆中有几个非常神奇的定理：
1.Marden定理
设 p(z) 是一个复数域上的三次多项式， z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三个根，它们在复平面上不共线。那么，在这个复平面上存在唯一的椭圆，使得它与三角形 z1z2z3 的各边都相切，并且都切于各边的中点处。并且，这个椭圆的两个焦点是 p'(z) 的两根。
读完这个结论以后，你一定会被数学之美深深地打动。这个结论出现在了 Morris Marden 于 1945 年发表的一篇论文里，因而被 Dan Kalman 称为 Marden 定理。 Marden 本人则认为，这个结论最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年发现并证明的。下面我们简单地来证明一下这个结论，证明过程出自 Dan Kalman 在 2008 年发表的获奖论文
An Elementary Proof of Marden’s Theorem以上转自Matrix67的博客，这里并不是打算重复Matrix67对证明过程的叙述，对证明感兴趣的可以前往他的博客：
数学之美：Marden定理椭圆的魅力之旅才刚刚开始
首先模拟一个场景:
是域上的多项式，
将多项式的三个根在复平面用点表示出来，并作出与三边中点相切的椭圆，即得下图：
这时候如果将三个顶点与切点相连的话
看出什么问题没？三角形的重心与椭圆的中心重合了！
别急，这只是开始
关于三角形重心有个定理，重心把中线分为1:2的两段，那么如果以G为位似中心，将椭圆放大为两倍会发生什么呢？
接下来是见证奇迹的时刻
天呐，竟然成了的外接椭圆
这个椭圆的身份似乎不简单
回想起1826年的那一天，传说在这一天，有一个来自瑞士的一个几何大师Jacob Steiner见人们整日没精打采，便提出了两个有趣的问题：
在无数个外接椭圆中，哪个椭圆的面积最小？
在无数个内接椭圆中，哪个椭圆的面积最大？
后人为了纪念这事，将最小面积的外接椭圆命名为：外接Steiner 椭圆，最大面积的内切椭圆命名为：内切Steiner 椭圆.
没错，上面的两个椭圆就是的外接Steiner 椭圆和内切Steiner 椭圆.
2.接下来要说的是另一个故事
椭圆中有无数个内接三角形，什么时候周长取得最大值呢？
想想也不简单，直接上结论：
当椭圆的内接三角形为光反射三角形时，三角形周长取得最大值
何为光反射三角形？
一束光从B飞向A，在A点被椭圆挡住了，过点A作椭圆的切线，然后作出法线，这时候按光的反射定律，反射角等于入射角
同理，光从A到C，再从C到B，按照同样的规律飞行
椭圆，光，三角形就这样幸福美满的生活在一起了.
然后有一天三角形怀孕了，生出了一个宝宝
根据生物的隔代遗传，这个宝宝和它的奶奶有着同样的眼睛，人们习惯叫它焦点
偏个题，与数学有关的巧合。
1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 还只有 22 岁。那个时候，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。不过当时，Erdős 只有 20 岁。
在一次数学聚会上，一位叫做 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。
众人大呼精彩。之后，Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。 Erdős 把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。
对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。Esther Klein 的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。
当 n = 5 时，八个点是不够的。下图就是八个不含凸五边形的点。
利用一些稍显复杂的方法可以证明，任意九个点都包含一个凸五边形，因此 f(5) 等于 9 。
2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17 。对于更大的 n ， f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。
不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。
—————————————转载
一个幸福的结局| Matrix67: The Aha MomentsMatrix67: The Aha Moments
想到一个
一个高为a半径为z的pizza的体积为pizza
(ಡωಡ)
非原创
小时候，知道一次函数是一根直线，二次函数是抛物线，于是我就想知道三次函数，四次函数是什么样的呢？当时的我选择百度一下图片(当然图片是我刚刚百度的)：
哇这三次函数"勾"了两次！再看看四次函数吧：
哇勾了三次，是不是 次函数就要"勾" 次呢？
哇这六次函数不就"勾"了五次吗？于是感觉发现了新天地.
后来发现关联栏里面有一个叫三角函数的东西，于是点击，查看：
卧槽，这不就是"勾"了无数次的一个 次函数吗？于是我选择直接百度“函数”的图片：
我就想，是不是所有平滑曲线函数都可以用一个 次函数代替呢？
后来初中末期时候，因为酷爱数学，所以自学一些东西，才知道了结果，就是大名鼎鼎的 展开( 余项).
【Th】设函数 在 处 阶可导，则当 时，有：
事实上可以写成 级数 这果然是一个 次函数嘛啧啧啧.
于是我就入了数学（分析）这个大坑而无法自拔...
再更新(2019/8/6)：
事实上我所谓的“勾”大家应该都看出来了，是多项式函数的极值点，下面我们找出这种函数，以下全是爆算，推荐大家别看.
假设这个函数为 ,也就是说 的根为 个两两不相同的实根，也就是说 可以表示为 ，其中 都有 .事实上显然 .则积分得 :
事实上
则因为 ，代入得到：
只要 可以表达出这样的形式就可以勾那么多次了!
再更新(2019/8/7):
为了让式子更加好看，我们引入初等对称多项式 ( 元)：
记 ，则函数可以表达为：
这么一个好看的式子.
这个题目都出来那么久了，现在答应该没人看得到了吧。那就随便说两句。
那是我学抽代的时候，偶然发现的——
其中，，是Möbius函数，的意思是与互素。
这个Möbius函数是什么呢？
首先，
当存在平方因子时，
当是素数或奇数个不同素数之积时，
当是偶数个不同素数之积时，
也就是说，所有的n次本原单位根之和就是对应的关于n的Möbius函数。
就感觉吧，等式左边那么多的三角，而且还有虚数。加起来竟然就是0和正负1那么简单，很神奇。
不知道算不算巧合：
John Conway曾悬赏1000美元，求证如下问题：
将一个自然数做质因数分解，写成通常的指数形式，底数按从小到大排列。比如：
，然后把分解的结果的指数部分“放平”，并去掉乘号，得到2235，对2235同样操作：
，“放平去乘号”，得35149。35149是一个质数，因此35149继续如此操作，会得到自身。因此有这个过程：
Conway试了很多合数，似乎如此变换最终都能终结在一个质数上。他悬赏1000美元，给任何人证明或推翻此结论。
2017年，James Davis(好像是一个大学生），发现：
(把它放平看看)
从而推翻了Conway的猜想，并领走了1000美元！
其实我觉得符合令人惊讶，又有一点巧合的意味的，是图论中的平面性。
平面性的定义是，图可以画在一个平面上保证没有任何边相交。
有一些数学基础的人马上就会发现，这是一个用简单的数学很难描述的拓扑学问题。
但是最后一个图不平面当且仅当：
对于一个图，可以通过
1. 取 subgraph（明显 subgraph 不平面，则 graph 不平面）
2. 擦掉一个 degree 2 的点 v，并将两个链接 v 的点连接起来（明显这样的操作不会改变图的平面性）
得到一个 K_5 或者 K_3,3
真的是令人惊叹
这个分式方程的一个解是：
把这个分式方程旋转180°：
对应的解旋转180°：
也成立。
个人认为完全四边形是欧式几何中最神奇也是巧合最多的图形啦ヾ(*´∇`)ﾉ
首先是完全四边形的定义:(其实直接看图就很好理解233)
我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形。
显然图中有四个三角形：ΔACE、ΔABD、ΔCDF、ΔBEF
巧合如下:
1.完全四边形中四个三角形的外接圆共点，此点称为密克点
↑个人感觉这是最美妙的一条性质了
三圆共点就很不容易居然有四圆共点！！！！
2.完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。
3.完全四边形三条对角线(上图中的AC.BD.EF)的中点共线，这条线也叫做牛顿线(到处都有牛顿233)。牛顿线和垂心线垂直
还有好多性质就不一一列举啦⊙﹏⊙总之这个图形真的好厉害www
那必须是我大切聚点！
如图，三条连接三角形的三个旁心和内切圆在三个旁心对应边切点的直线共点，这一点称为切聚点，编号X(57)
切聚点具有哪些性质呢？
切聚点和三角形的一系列伪圆——伪内切圆、伪外接圆、伪旁切圆等等密切相关，且看：
与三角形两边相切同时与三角形外接圆内切的三个圆称为三角形的伪内切圆。三个伪内切圆的根心为内心和切聚点的中点。
你可能会问：这个和切聚点本身有啥关系啊？别急，下面有请切聚点出场。做出三个圆两两的公切线，连接公切线的交点和对应顶点，奇迹发生了——它们共点于切聚点。
再是伪外接圆。伪外接圆的定义：过三角形的两个顶点且和内切圆内切的圆。这次更加简单粗暴：三个伪外接圆的根心正是切聚点。
我们把伪内切圆中的“与三角形外接圆内切”改为“外切”，就得到了伪旁切圆。这次，我们再作出三个圆两两的公切线，把公切线的交点和对应顶点连接，你猜它们共点于什么？答对了，还是切聚点：
而且，过外心和内心的直线上本来就逆天地有很多与伪圆相关的点：
切聚点(X(57))，上面描述了
伪内切圆和外接圆切点与对应顶点连线，三线共点于X(56)，为Nagel点的等角共轭，也是内切圆和外接圆的外位似中心
伪旁切圆和外接圆切点与对应顶点连线，三线共点于X(55)，为Gergonne点的等角共轭，也是内切圆和外接圆的内位似中心
三个伪内切圆根心，编号X(999)，为内心和切聚点连线中点
三个伪内切圆外公切线交点与对应伪内切圆圆心连线，三线共点于X(9819)
三个伪旁切圆外公切线交点与对应伪旁切圆圆心连线，三线共点于X(7991)
以及，三个伪旁切圆根心，编号X(6244)，为X(999)关于外心的对称点
也就是说，切聚点和12线共点和8点共线有关……
啊对了，切聚点还在重心和Gergonne的连线上……
Schifller点（X(21)）
△ABC的内心为I，则△ABI，△BCI，△ACI，△ABC四个三角形的欧拉线四线共点，这个点被称为Schiffler点（或X(21)）。
Morley定理
任意三角形的三个角的六条角三等分线中，相邻两条的交点组成一个等边三角形。
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