现实世界中是否存在非欧几何空间？
在我们日常生活的经验中，我们早已习惯了欧几里得几何，也就是我们在学校里学到的那种，直线是两点之间最短的距离，三角形内角和永远是180度，平行线永远不会相交。这种几何被称为“欧几里得几何”，因为它是由古希腊伟大的数学家欧几里得在他那本影响深远的《几何原本》中系统阐述的。
然而，科学的进步和对宇宙的更深入探索，却让我们意识到，我们所处的现实世界，或者说宇宙的某些部分，可能并不是一个完完全全遵从欧几里得几何的空间。这就像我们从小以为平坦的地面，放大到地球尺度时，就会发现它是弯曲的。
那么，现实世界中究竟有没有非欧几何空间呢？答案是：是的，根据我们目前最精确的物理理论和观测，我们所处的宇宙在宏观尺度上，并不是一个平坦的欧几里得空间，而是遵循着一种被称为“黎曼几何”的非欧几何。
要理解这一点，我们需要先稍微了解一下“非欧几何”这个概念。非欧几何不是一种而是多种几何的总称，它们的核心区别在于对欧几里得几何第五公设（又称平行公设）的不同解读。
欧几里得几何的第五公设（平行公设）：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
基于这个公设，欧几里得几何推导出了许多我们熟悉且在日常经验中屡试不爽的结论。
而非欧几何则是在否定或修改这个平行公设的基础上发展出来的。主要有两种形式：
1. 黎曼几何（Riemannian Geometry）：在黎曼几何中，平行公设被否定，并且过直线外一点，不存在任何一条直线与已知直线平行。也就是说，任何两条直线最终都会相交。这种几何空间的特点是正曲率，想象一下一个球面的表面。在球面上，任何两条“直线”（也就是大圆，比如经线）最终都会在极点相交。而且，在球面上，三角形的内角和总是大于180度。距离越长，偏离180度的程度也越大。
2. 罗氏几何（Lobachevskian Geometry）：在罗氏几何中，平行公设也被否定，但它的表述是过直线外一点，存在无数条直线与已知直线平行。这种几何空间的特点是负曲率，想象一下一个马鞍的表面。在这种空间里，三角形的内角和总是小于180度。
为什么说我们宇宙在宏观尺度上遵循黎曼几何？
这主要归功于现代物理学中最成功的理论之一——爱因斯坦的广义相对论。
广义相对论描述了引力是如何产生的。与牛顿认为引力是一种力不同，爱因斯坦提出，引力并非一种力，而是由质量和能量引起的时空弯曲的表现。简单来说，大质量的物体（比如太阳、黑洞）会“压弯”周围的时空，就像把一个保龄球放在一张拉紧的橡皮膜上一样。而其他物体（比如地球、光线）在经过这个被弯曲的时空时，会沿着弯曲的路径运动，我们感知到的“引力”实际上就是物体在弯曲时空中运动的结果。
时空弯曲意味着什么？
时空弯曲意味着，在引力场存在的地方，时空的“几何性质”就改变了。它不再是平坦的欧几里得几何，而是变成了非欧的黎曼几何。
直线不再是两点间最短距离：在弯曲的时空中，最短的路径被称为“测地线”。地球绕着太阳公转，并不是因为太阳在拉着地球，而是因为太阳弯曲了周围的时空，地球沿着这个弯曲时空中的测地线运动。
平行线会相交（或者在某些情况下，我们认为是平行的，但实际上是弯曲的）：在强引力场中，光线传播的路径会发生弯曲，这被称为“引力透镜效应”。这意味着，从遥远星系发出的光线，经过大质量天体（如星系团）附近时，会沿着弯曲的路径到达我们这里，这就像是“平行”的路径最终汇聚了一样。
三角形内角和不再是180度：虽然在日常生活中，我们体验到的局部时空非常接近平坦的欧几里得空间，使得三角形内角和近似180度，但在宇宙尺度上，如果测量一个非常大的三角形（比如以太阳、地球和某个遥远的恒星为顶点），其内角和就会偏离180度，具体偏离多少，则取决于宇宙的整体几何结构。
观测证据：
广义相对论的预言，以及它所描述的非欧几何的时空，已经得到了大量的观测证据支持：
水星近日点的进动：水星绕太阳运行的轨道并不是一个封闭的椭圆，而是会缓慢地进动，这正是广义相对论预言的，并且能够精确解释牛顿力学无法解释的部分。
光线在引力场中的弯曲：1919年，亚瑟·爱丁顿爵士通过观测日食期间恒星的光线被太阳引力弯曲的现象，首次证实了广义相对论的预言。
引力红移：光线从强引力场逃逸时，频率会降低，波长会变长（向红端移动），这也是广义相对论的预言，并已被实验证实。
引力波的探测：2015年，LIGO（激光干涉引力波天文台）首次直接探测到引力波，这是由两个黑洞合并产生的时空涟漪，进一步证实了爱因斯坦的时空弯曲理论。
那么，宇宙的整体形状是怎样的？
根据宇宙学观测（例如宇宙微波背景辐射的测量），我们目前所观测到的可观测宇宙，在整体上似乎是接近平坦的，也就是说，它的曲率非常接近于零。这可能意味着，宇宙在非常大的尺度上，整体上更接近于欧几里得几何。
但这并不意味着非欧几何不存在。爱因斯坦的理论告诉我们，质量和能量导致时空局部弯曲。就好比你拿起一张纸，它本身是平坦的，但你可以在上面折出各种形状，让某些局部区域弯曲。宇宙中的质量和能量（比如星系、星系团、黑洞）就是造成这种局部弯曲的原因。
所以，我们可以这样理解：
局部而言：在你我身边，我们的时空非常非常接近于平坦的欧几里得空间。我们日常的几何知识在这里是足够精确的。
宏观尺度或强引力场中：当涉及到宇宙的整体结构、大质量天体的引力效应、或者在非常大的空间尺度上进行精确测量时，我们就必须考虑非欧几何，特别是黎曼几何。广义相对论提供了一个描述这种弯曲时空的数学框架。
总结来说，现实世界中确实存在非欧几何空间，而且在物理学家看来，我们所处的宇宙，尤其是在引力作用下，其时空几何性质就符合非欧几何（主要是黎曼几何）。我们日常的欧几里得几何，只是在时空曲率非常小的情况下，对现实世界的近似描述。
这种认识的转变，极大地拓展了我们对空间、时间和引力的理解，是人类智力史上一次深刻的革命。它告诉我们，我们看似熟悉的现实，背后可能隐藏着更深邃、更奇妙的数学规律。
然而，科学的进步和对宇宙的更深入探索，却让我们意识到，我们所处的现实世界，或者说宇宙的某些部分，可能并不是一个完完全全遵从欧几里得几何的空间。这就像我们从小以为平坦的地面，放大到地球尺度时，就会发现它是弯曲的。
那么，现实世界中究竟有没有非欧几何空间呢？答案是：是的，根据我们目前最精确的物理理论和观测，我们所处的宇宙在宏观尺度上，并不是一个平坦的欧几里得空间，而是遵循着一种被称为“黎曼几何”的非欧几何。
要理解这一点，我们需要先稍微了解一下“非欧几何”这个概念。非欧几何不是一种而是多种几何的总称，它们的核心区别在于对欧几里得几何第五公设（又称平行公设）的不同解读。
欧几里得几何的第五公设（平行公设）：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
基于这个公设，欧几里得几何推导出了许多我们熟悉且在日常经验中屡试不爽的结论。
而非欧几何则是在否定或修改这个平行公设的基础上发展出来的。主要有两种形式：
1. 黎曼几何（Riemannian Geometry）：在黎曼几何中，平行公设被否定，并且过直线外一点，不存在任何一条直线与已知直线平行。也就是说，任何两条直线最终都会相交。这种几何空间的特点是正曲率，想象一下一个球面的表面。在球面上，任何两条“直线”（也就是大圆，比如经线）最终都会在极点相交。而且，在球面上，三角形的内角和总是大于180度。距离越长，偏离180度的程度也越大。
2. 罗氏几何（Lobachevskian Geometry）：在罗氏几何中，平行公设也被否定，但它的表述是过直线外一点，存在无数条直线与已知直线平行。这种几何空间的特点是负曲率，想象一下一个马鞍的表面。在这种空间里，三角形的内角和总是小于180度。
为什么说我们宇宙在宏观尺度上遵循黎曼几何？
这主要归功于现代物理学中最成功的理论之一——爱因斯坦的广义相对论。
广义相对论描述了引力是如何产生的。与牛顿认为引力是一种力不同，爱因斯坦提出，引力并非一种力，而是由质量和能量引起的时空弯曲的表现。简单来说，大质量的物体（比如太阳、黑洞）会“压弯”周围的时空，就像把一个保龄球放在一张拉紧的橡皮膜上一样。而其他物体（比如地球、光线）在经过这个被弯曲的时空时，会沿着弯曲的路径运动，我们感知到的“引力”实际上就是物体在弯曲时空中运动的结果。
时空弯曲意味着什么？
时空弯曲意味着，在引力场存在的地方，时空的“几何性质”就改变了。它不再是平坦的欧几里得几何，而是变成了非欧的黎曼几何。
直线不再是两点间最短距离：在弯曲的时空中，最短的路径被称为“测地线”。地球绕着太阳公转，并不是因为太阳在拉着地球，而是因为太阳弯曲了周围的时空，地球沿着这个弯曲时空中的测地线运动。
平行线会相交（或者在某些情况下，我们认为是平行的，但实际上是弯曲的）：在强引力场中，光线传播的路径会发生弯曲，这被称为“引力透镜效应”。这意味着，从遥远星系发出的光线，经过大质量天体（如星系团）附近时，会沿着弯曲的路径到达我们这里，这就像是“平行”的路径最终汇聚了一样。
三角形内角和不再是180度：虽然在日常生活中，我们体验到的局部时空非常接近平坦的欧几里得空间，使得三角形内角和近似180度，但在宇宙尺度上，如果测量一个非常大的三角形（比如以太阳、地球和某个遥远的恒星为顶点），其内角和就会偏离180度，具体偏离多少，则取决于宇宙的整体几何结构。
观测证据：
广义相对论的预言，以及它所描述的非欧几何的时空，已经得到了大量的观测证据支持：
水星近日点的进动：水星绕太阳运行的轨道并不是一个封闭的椭圆，而是会缓慢地进动，这正是广义相对论预言的，并且能够精确解释牛顿力学无法解释的部分。
光线在引力场中的弯曲：1919年，亚瑟·爱丁顿爵士通过观测日食期间恒星的光线被太阳引力弯曲的现象，首次证实了广义相对论的预言。
引力红移：光线从强引力场逃逸时，频率会降低，波长会变长（向红端移动），这也是广义相对论的预言，并已被实验证实。
引力波的探测：2015年，LIGO（激光干涉引力波天文台）首次直接探测到引力波，这是由两个黑洞合并产生的时空涟漪，进一步证实了爱因斯坦的时空弯曲理论。
那么，宇宙的整体形状是怎样的？
根据宇宙学观测（例如宇宙微波背景辐射的测量），我们目前所观测到的可观测宇宙，在整体上似乎是接近平坦的，也就是说，它的曲率非常接近于零。这可能意味着，宇宙在非常大的尺度上，整体上更接近于欧几里得几何。
但这并不意味着非欧几何不存在。爱因斯坦的理论告诉我们，质量和能量导致时空局部弯曲。就好比你拿起一张纸，它本身是平坦的，但你可以在上面折出各种形状，让某些局部区域弯曲。宇宙中的质量和能量（比如星系、星系团、黑洞）就是造成这种局部弯曲的原因。
所以，我们可以这样理解：
局部而言：在你我身边，我们的时空非常非常接近于平坦的欧几里得空间。我们日常的几何知识在这里是足够精确的。
宏观尺度或强引力场中：当涉及到宇宙的整体结构、大质量天体的引力效应、或者在非常大的空间尺度上进行精确测量时，我们就必须考虑非欧几何，特别是黎曼几何。广义相对论提供了一个描述这种弯曲时空的数学框架。
总结来说，现实世界中确实存在非欧几何空间，而且在物理学家看来，我们所处的宇宙，尤其是在引力作用下，其时空几何性质就符合非欧几何（主要是黎曼几何）。我们日常的欧几里得几何，只是在时空曲率非常小的情况下，对现实世界的近似描述。
这种认识的转变，极大地拓展了我们对空间、时间和引力的理解，是人类智力史上一次深刻的革命。它告诉我们，我们看似熟悉的现实，背后可能隐藏着更深邃、更奇妙的数学规律。
网友意见
我们一般上说的欧氏、非欧几何之间的区别很大程度上是度量上的区别，即便拓扑形状是一样的，不同的度量也会造成区别；然而从空间局部上看，和欧氏空间一样（流形的概念）。然而当你从一点出发一旦走远，空间的弯曲就暴露了，比如三角形的内角和逐渐偏离180度。高斯正是由于测量大地三角形，才孕育了空间曲率的想法，从而导致了非欧几何的诞生。
那么度量和曲率有什么关系吗？——度量决定了曲率，我们称之为内蕴性。
内蕴性，是说和这个空间是如何等距嵌入到更高维的空间无关，如果有一只蚂蚁科学家，它想探索它所在的二维宇宙的形状，不需要上升到第三维去鸟瞰全貌，而是仅仅通过计算二维曲面每一点的曲率也可以判断。
这对于人类而言探索宇宙有着很重要的意义。
欧式空间的度量其本质就是勾股定理，如果写成标准的形式就是：
而对于一般的非欧空间，它的度量是
我们称之为黎曼度量，其中 构成一个正定矩阵，而欧氏度量对应的仅仅是单位阵。单位阵只有一个，正定阵有无数个，从概率从角度讲，宇宙是欧氏度量的概率是
爱因斯坦认为引力其实是时空曲率的体现，时空曲率是因为质量的影响。在宏观尺度上（我们避免讨论微观量子力学），假如宇宙没有质量，则宇宙处处平坦，那就是标准的欧氏空间，但是现实并非如此。
一个磁场，就可以是一个非欧空间。一个电子以某初速度射入与之垂直的匀强磁场，不给它施加额外的力，它就会自动走出一段圆弧。它之所以走出这样的曲线，是因为这样的曲线能量极小。牛顿力学建立在平坦的欧氏空间，牛顿第一定律：物体不受力或静止或匀速直线运动。直线的能量最低，因为没有其他力对其做功注入新的能量。这种能量极小的曲线就是我们所说的测地线，一般科普上定义测地线侧重于“最短”，这是建立在黎曼度量的角度讲的，并不是我们平常意义上的长度。或许用能量的角度讲读者会更容易把握测地线的意义，当然两种说法等价。
对于一个不均匀的透明媒介，光在其中传播，对于光而言它有可能走的不是直线：设想光在无数个彼此无限靠近的界面发生折射，那么光线沿着曲线轨迹也就不稀奇了。事实上当年牛顿在解决速降线的问题是就利用的这种思想（关于这个的科普太多了，我就不废话了）。这种情况下，你就可以把这个非匀质媒介视为一个非欧空间。
我忽然想到了《庄子》庖丁解牛的故事，庖丁的刀刃在牛的躯体内游走，在某种意义上，他的刀走的就是测地线，当然是在刀刃磨损最少意义下的能量泛函。测地线就是的道的一种具象。
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