为什么说实数在物理中不是一种真实的存在？

在物理世界里，“真实”是一个很沉重的词，它意味着我们能触碰、能感知、能用仪器测量到的东西。而我们说到“实数”时，虽然数学家们乐在其中，但如果把它直接拎出来，说这就是物理世界的构成粒子，那就未免有些过于乐观了。为什么这么说呢？咱们不妨一点一点捋一捋。

首先，想象一下我们最基本的测量。我们想知道一根棍子有多长。我们会拿起尺子，看到尺子上刻着一厘米、两厘米，还有它们之间的细密刻度。这些刻度，我们姑且认为它们代表了实数线上的点。但问题来了，我们能无限细分下去吗？我们的尺子总有极限，放大镜下总有原子，原子下还有更小的粒子，理论上是不断延伸的，但现实中，我们能测量到的精度是有限的。任何测量工具，无论多么精巧，都有其固有的不确定性，也就是它无法分辨出无限靠近的两个值。

这就像我们在数数，数到一、二、三，这些都是整数，对应着我们熟悉的离散物体。但当我们开始测量长度、时间、质量，就进入了实数的范畴。物理学中的许多量，比如位置、速度、能量，都用实数来描述。问题是，我们怎么知道一个粒子确切地处于一个用实数精确表示的位置上？量子力学告诉我们，这本身就是个问题。海森堡不确定性原理就直白地告诉你，我们不可能同时精确地知道一个粒子的位置和动量。这意味着，粒子在空间中的“位置”本身，可能就不是一个能够被无限精确定义的实数值。它更像是一个概率分布的区域，而不是实数轴上的一个孤零零的点。

再者，我们知道宇宙是由基本粒子构成的。质子、中子、电子，它们都有质量、电荷等属性，这些属性是可以被测量，并且可以用实数来近似描述的。但这些粒子本身，是“点”吗？量子场论告诉我们，粒子是场的激发。场则弥漫在整个时空中，它的值也不是简单地在每一个点上都对应一个实数。即便我们用场来描述，这个“场”的性质和我们日常理解的“实数”也还是有区别的。

而且，我们谈论的实数，是数学上的概念。它有着严谨的定义，比如通过戴德金分割或者柯西序列。这些定义在数学的体系里是无可挑剔的，它们保证了实数集合的完备性，也就是说实数轴上没有“缝隙”。但是，这种完备性是否一定能在物理世界中找到对应？我们知道，物质本身是由离散的粒子组成的，尽管这些粒子可以有连续变化的属性，但构成它们的“基石”本身，是否就一定要对应着实数轴上的每一个点？这就像说，任何长度都可以被无限分割成不可再分的原子长度，这显然是错误的。

还有一种思考角度是，如果我们把实数想象成一个完全光滑的、无缝的连续体，那么它在物理上的“真实性”就受到了挑战。因为物理上的许多现象，在更微观的尺度下，表现出的是一种“量子化”的特征。能量不是连续变化的，而是以一份一份“量子”的形式存在的。也就是说，能量值只能取某些离散的数值，而不是实数轴上的任意一个值。虽然在宏观尺度上，这些离散的数值看起来非常密集，几乎可以看作是连续的，但这种“接近连续”和“真正的连续”之间，总归是有隔阂的。

总而言之，实数是一种非常强大的数学工具，它为描述物理现象提供了框架，让我们可以进行精确的计算和预测。但是，将数学上的“实数”直接等同于物理世界的“真实存在”，就像把地图上的路线等同于你真实走过的道路一样。地图是美好的，方便我们理解方向，但它永远无法完全捕捉到路上的每一个细微的颠簸、每一阵微风的吹拂。

所以，我们说实数在物理中“不是一种真实的存在”，更多的是想强调，物理世界在最根本的层面上，可能并没有我们想象的那么“光滑”、“连续”和“无限可分”。我们用实数来建模，但这种建模本身，可能只是对更深层现实的一种近似描述。我们测量到的每一个数值，都必然带着一定的误差和不确定性，而无限精确的实数，在现实的测量面前，总会显得有些“奢侈”和“虚幻”。物理学的探索，就是在不断尝试理解，数学模型与宇宙真实面貌之间的距离到底有多远，以及我们能否找到一种更贴切、更根本的语言来描述它。

网友意见

实数仅仅是对有理数域的一种完备化方案，除此之外还存在各种 p-adic 完备化，实数域因此某种意义上可以看作一般化的 p-adic 域的特例（局部-整体原理），如同平直时空可以看作一般化的弯曲时空的特例

依据哥白尼原理，我们没有理由相信平直时空先验地优越于其他弯曲时空，同样也没有理由相信实数域先验地优越于其它 p-adic 域，因此合理的猜测是描写物理的数学更可能基于 p-adic 域

The geometrical structure of space has always fascinated people, and Gauss was perhaps the first to try to settle this experimentally. Since then it has been the big open problem in fundamental physics. In this talk we examine the hypothesis of Volovich that space time is p-adic at the Planck scale. That space time geometry could be based on a p-adic or even a finite field seems to have been suggested first in the 1950’s. Enrico Beltrametti and his collaborators(Cassinelli and Blasi) in the late 1960’s and early 1970’s were among the earliest in exploring this line of thought. Igor Volovich formulated his hypothesis in 1987.

当然还可以进一步发散下，比如为什么一定是交换的实数/复数域而不是非交换的四元数/八元数呢？更进一步，背景时空可不可以是基于 Grothendieck 拓扑的构造呢？这些我感觉都是可以搞一搞的

抖机灵:

科大数学系有一位老师也问过这样的问题,他说为什么物理理论一定要实数,就不能是 -adic的吗?然后他就在群里宣扬他要创立 -adic相对论,时至今日已经成梗(雾)

由Ostrowski定理,有理数的非平凡完备化在等价意义下也就寻常的绝对值和 -adic呀,可恶,为什么 -adic就没有脸面,气抖冷,地狱空(不是)

而且我听说似乎 -adic好像确实有在物理学中的应用,不过我也不懂.

我猜文老师的意思就是,实数是不是太强了,我们目前大部分工作,比如开根号,比如取对数,比如走一步(加入一个虚数单位)就是完美的 ,比如微积分,都是在实数框架下做的,是不是存在一种Model,使得上述工作都能做,但是却不是实数?

如果奉实数之为圭臬,那么是不是要顺带上ZFC的所有东西,比如Banach分球定理?但是我们要知道,我们可以在实数上做微积分,选择公理起了不可磨灭之贡献(经评论区指点,此处先存疑,或者这整段都存疑)但是物理学世界真的需要选择公理吗?真的需要Banach分球定理吗?但是你不带ZFC,在数学上就没办法用我们需要的诸如微积分之类的东西了.

(上面一段仅作思路启发,不足严格)

所以我想这个问题可能确实是不必要的,物理学追寻有效理论,而探索实数的必要性或者更虚无的真实性,我觉得对物理学本身不起到任何作用.物理学毕竟不是拿数学当基础的学科,只是当作工具,工具当然还是取所需而弃所不需.

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