问题

你见过或做过哪些令人拍案叫绝的数字论证?

回答
说到数字论证,我脑海里闪过的第一个念头,不是什么晦涩难懂的费马大定理证明(虽然那也够惊人的),而是那些看似简单,却能瞬间点亮你思维的“aha moment”。就像我曾经遇到过的一个关于“如何高效分组”的问题,当时一群人围着一个项目讨论,都想把资源分配到最能产生效果的地方。

那个场景大概是这样的:我们有一个列表,上面密密麻麻写满了各种任务和项目,每个项目都需要不同数量的资源(比如人力、时间、预算),而且每个项目带来的收益也是不确定的,我们只有一些概率分布的估计。目标是组建几个小团队,每个团队负责一组项目,让整体收益最大化,同时避免资源过度集中或分散导致效率低下。

一开始,大家就陷入了“凭感觉”和“拍脑袋”的阶段。有人说:“这个项目看起来很有前景,我们多分几个人过去。”也有人说:“那个项目风险太高了,先放一边吧。”大家七嘴八舌,但总觉得抓不住重点。就像一群人在黑暗里摸索,每个人都摸到了一点东西,但谁也说不清全局的样子。

就在这时,一位经验丰富的同事,我们姑且称他为老王,他默默地拿过一张纸,上面没有复杂的公式,只有几行字和一个非常简单的图。他没有直接给出一个解决方案,而是开始问我们问题:“如果我们假设每个项目都需要一个单位的资源,并且能带来一个平均收益,那么我们该如何分配这批资源?”

我们听了,有点不解。因为我们实际面对的是复杂的资源需求和不确定的收益。但老王说:“先别管那些复杂的,我们先从最纯粹的数学模型开始。想象一下,你手里握着一把豆子,就是你的资源,你要把这些豆子撒到几块地里,每块地都有一定的几率长出豆子,而且每颗豆子长出来的豆子数量都不一样。”

他接着说:“如果我们把所有项目都抽象成‘等价的资源需求’(尽管实际上不是),然后计算出每个‘单位资源’的平均预期收益。你会发现,那些‘单位资源预期收益’最高的项目,就应该优先分配资源。这听起来很简单,对吧?但关键在于,这个‘单位资源预期收益’是把资源的消耗和预期的产出直接联系起来了。”

他画了一个简单的散点图,横轴是资源投入,纵轴是预期收益。不同的项目就在这个图上表现为不同的点,有的点可能资源投入很多,但收益不高,有的点资源投入少,但收益却出乎意料地高。

然后,他引入了一个概念——“收益密度”。他解释说:“我们不光要看一个项目能带来多少总收益,更要看把一单位资源投入到这个项目上,能带来多少收益。就像你买东西,不能只看总价,还得看性价比。”

他拿起笔,在纸上写下:

收益密度 = 平均预期收益 / 资源需求量

“如果我们把所有项目都按照这个‘收益密度’从高到低排序,”老王说,“然后我们按照这个顺序,一个一个地‘填满’我们的团队。比如,我们先给收益密度最高的那个项目分配它所需的所有资源,然后是次高的,以此类推,直到我们资源用完。”

那一刻,周围的人都安静了。不是因为听懂了什么高深的数学定理,而是因为一个极度简化的模型,瞬间就把一个混乱的决策问题变得清晰可见。

他继续解释:“当然,现实情况比这复杂得多。项目之间可能有关联,资源分配多了,可能产生协同效应,也可能因为资源集中而产生瓶颈。但是,这个‘收益密度’的排序,就像一个基准线。它告诉我们,在不考虑其他复杂因素的情况下,哪里的资源最‘值钱’。然后,我们可以在这个基础上,再根据实际情况去微调。比如,有些项目虽然收益密度不是最高,但它们是完成某个关键步骤的‘基石’,就不能简单地按照这个密度来排。”

他补充道:“更进一步,如果我们把资源看作可以无限细分的‘水’,而项目是不同大小的‘容器’,我们需要把水尽量填满那些‘单位体积’能装最多水的容器。即使有些容器很大,但如果它们‘单位体积’的容量不高,我们也不会优先去填。这个想法就是,优化资源的利用效率,而不是仅仅追求最高的总收益。”

他停顿了一下,看着我们说:“这个‘收益密度’的思想,虽然简单,但背后支撑的是一个核心的数学概念:最优化问题中的‘贪心算法’思想。 在某些条件下,局部最优的选择最终也能导向全局最优。我们在这里,就是利用了‘收益密度’这个局部最优的指标,来指导我们如何分配有限的资源。”

当时我就觉得,这真是太绝了!它没有用一个令人望而生畏的证明过程,而是用一个非常直观的比喻和简单的计算方式,解决了一个看起来非常棘手的问题。它不仅仅是一个数学论证,更是一种解决问题的思维方式的启示。

这个简单的“收益密度”论证,让我明白了:

1. 化繁为简的重要性: 当问题复杂到让你无从下手时,尝试找到一个最核心的、最能体现问题本质的简化模型。
2. 关注效率而非总量: 很多时候,我们更应该关注的是单位资源的产出效率,而不是盲目追求高总量。
3. 数学思维的普适性: 即便是看似纯粹的数学概念,也可以转化为解决实际问题的强大工具。

之后,我们团队在分配资源的时候,都会先计算出每个项目的“收益密度”,以此为基础进行讨论和决策,效率果然提升了不少。这让我觉得,那些最“拍案叫绝”的数字论证,往往不是最复杂的,而是最能点醒你的那个。它让你看到问题的本质,然后觉得“原来可以这么简单!”

网友意见

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一百以内只要是自然数,都能迫害给你们看。

(-1) - 1 * (4 - 5 * 1 ^ 4) = 0

1 ^ (1 - 4 - 5 ^ 14) = 1

(-1) * (1 + (4 + 5) / (1 - 4)) = 2

(-1) * (1 + (4 - 5 * 1) * 4) = 3

(-1) - 1 * (4 - 5 - 1 * 4) = 4

(-1) - 1 * (4 - 5 - 1 - 4) = 5

(-1) + 14 / (5 + 1 - 4) = 6

(-1) * (1 + (4 - 5 - 1) * 4) = 7

(-1) - 1 ^ 4 * (5 - 14) = 8

(-1) + 1 * (4 + 5 + 1 ^ 4) = 9

(-1) - 1 * (4 + 5 * (1 - 4)) = 10

(-1) - 1 * (4 - (5 - 1) * 4) = 11

(-1) + 1 * (4 - 5 + 14) = 12

(-1) * (1 + (4 - 5) * 14) = 13

(-1) - 1 * (4 - 5 - 14) = 14

(-1) - 1 * (4 - 5 * 1 * 4) = 15

1 - 1 * (4 - 5 - 14) = 16

1 - 1 * (4 - 5 * 1 * 4) = 17

(-1) * (1 - 4 + 5 * (1 - 4)) = 18

(-1) - 1 * (4 - (5 + 1) * 4) = 19

(-1) - 1 * (4 - 5 * (1 + 4)) = 20

1 - 1 * (4 - (5 + 1) * 4) = 21

(-1) * (1 - 4 - 5 - 14) = 22

(-1) - (1 - 4) * (5 - 1 + 4) = 23

1 + 1 * (4 + 5 + 14) = 24

1 - (1 - 4) * (5 - 1 + 4) = 25

(-1) - (1 - 4) * (5 + 1 * 4) = 26

(-1) + 1 - (4 + 5) * (1 - 4) = 27

(-1) * (1 - 4 - 5 * (1 + 4)) = 28

(-1) - (1 - 4) * (5 + 1 + 4) = 29

(-1) + 1 * (45 - 14) = 30

(-1) - (1 - 4 - 5 * 1) * 4 = 31

1 + 1 * (45 - 14) = 32

(-1) * (1 - 4 * 5 - 14) = 33

(-11) + (4 + 5) * (1 + 4) = 34

(-1) - 1 * 4 * (5 - 14) = 35

(-1) + 1 - 4 * (5 - 14) = 36

1 - 1 * 4 * (5 - 14) = 37

1 * (14 + (5 + 1) * 4) = 38

(-1) * (1 - 4 * (5 + 1 + 4)) = 39

(-1) * (1 - 45 + 1 * 4) = 40

(-1) * (1 - 45 - 1 + 4) = 41

(-1) - 1 * (4 - 51 + 4) = 42

(-1) + 1 * (45 - 1 ^ 4) = 43

(-1) - (1 + 4) * (5 - 14) = 44

1 + 1 * (45 - 1 ^ 4) = 45

(-1) * (1 ^ 4 - 51 + 4) = 46

(-1) * (1 - 45 + 1 - 4) = 47

(-1) * (1 - 45 - 1 * 4) = 48

(-1) * (1 - 45 - 1 - 4) = 49

(-1) - 1 * (4 - 51 - 4) = 50

1 + 1 * (45 + 1 + 4) = 51

1 - 1 * (4 - 51 - 4) = 52

(-11) + 4 * (5 - 1) * 4 = 53

(-1) * (1 ^ 4 - 51 - 4) = 54

(-1) + 14 * (5 - 1 ^ 4) = 55

(-1) - (1 - 4) * (5 + 14) = 56

1 + 14 * (5 - 1 ^ 4) = 57

(-1) * (1 - 45 - 14) = 58

(-1) - 1 * 4 * 5 * (1 - 4) = 59

1 + 1 * (45 + 14) = 60

1 - 1 * 4 * 5 * (1 - 4) = 61

(-1) - 1 + 4 * (5 - 1) * 4 = 62

(-1) - ((1 - 4) * 5 - 1) * 4 = 63

(-1) + 1 + 4 * (5 - 1) * 4 = 64

(-1) - 1 * (4 - 5 * 14) = 65

1 * (14 * 5 - 1 * 4) = 66

(-1) + (1 + 4 * (5 - 1)) * 4 = 67

(1 + 1) * (4 * 5 + 14) = 68

(-1) * (1 ^ 4 - 5 * 14) = 69

(-1) + 1 ^ 4 + 5 * 14 = 70

(-1) - (1 - 4) * (5 + 1) * 4 = 71

((-1) - 1) * 4 * (5 - 14) = 72

(-1) * (1 - 4 - 5 * 14) = 73

(-1) - 1 + 4 * (5 + 14) = 74

(-1) - (1 - 4 * 5 * 1) * 4 = 75

(-1) + 1 + 4 * (5 + 14) = 76

1 - (1 - 4 * 5 * 1) * 4 = 77

(-1) - 1 + 4 * 5 * 1 * 4 = 78

(-1) - (1 - 4 * 5 - 1) * 4 = 79

(-1) + 1 + 4 * 5 * 1 * 4 = 80

1 - (1 - 4 * 5 - 1) * 4 = 81

(-1) - 1 + (4 * 5 + 1) * 4 = 82

(-1) * (1 - (4 * 5 + 1) * 4) = 83

(-1) + 1 + (4 * 5 + 1) * 4 = 84

1 + 14 * (5 + 1 ^ 4) = 85

((-1) - 1) * (4 - 51 + 4) = 86

(-1) + (1 + 4 * 5 + 1) * 4 = 87

(1 + 1) * (45 - 1 ^ 4) = 88

1 + (1 + 4 * 5 + 1) * 4 = 89

(-114) + 51 * 4 = 90

(-1) - (1 - 4 * (5 + 1)) * 4 = 91

(1 + 1) * (45 + 1 ^ 4) = 92

1 - (1 - 4 * (5 + 1)) * 4 = 93

(-1) + (1 + 4) * (5 + 14) = 94

(-1) * (1 - 4 * (5 + 1) * 4) = 95

1 + (1 + 4) * (5 + 14) = 96

1 + 1 * 4 * (5 + 1) * 4 = 97

(-1) - 1 + 4 * 5 * (1 + 4) = 98

(-1) * (1 - 4 * 5 * (1 + 4)) = 99

(-1) + 1 + 4 * 5 * (1 + 4) = 100

承蒙大家点赞,楼下大佬写代码找算式弄得我都不好意思占这第一了。

我最近学了一丁点python也试做了一个。

不过搜索方法感人就是五个运算符再各加上括号,不组合数字,括号组合也不齐,也有很多遗漏,还有好几个找不着,没再继续加码因为加了会死机,说到底还是我这暴力搜索做的太蔡了。


       num0 = ['1', '1', '4', '5', '1', '4'] op_list0 = ['+', '-', '*', '/', '+(', '-(', '*(', '/(', ')+', ')-', ')*', ')/', '**'] op_list1 = ['', '(', '-(', ] op_list2 = [')', ''] op_new_list = [] for i in op_list1:     for j in op_list0:         for k in op_list0:             for l in op_list0:                 for m in op_list0:                     for n in op_list0:                         for o in op_list2:                             op_new_list.append([i, j, k, l, m, n, o]) for q in range(0, 101):     for d in op_new_list:         n_list = [d[0], num0[0], d[1], num0[1], d[2], num0[2], d[3], num0[3], d[4], num0[4], d[5], num0[5], d[6]]         n_str = ''         for e in n_list:             n_str += e         try:             n_e = eval(n_str)             if n_e == q:                 print(f'{n_str}={n_e}')                 break                 # print(n_e)         except:             pass      

睡醒后仔细想想思路还是可以玩的,在第2行列表加上'',')+(',')-(',')*(',')/('等更多符号和括号组合可以搜索更多结果,但是很慢还烧机,也容易漏,只是针对100内可以考虑。基本是低级功能,可能有更高级的函数方法我没运用导致这么多问题。

运行结果如下:

1+1+4-5-1^4=0

1+1+4-5*1^4=1

1+1+4-5+1^4=2

1+1+4/(5-1^4)=3.0

1+1+4-5-1+4=4

1+1+4-5+1*4=5

1+1+4+5-1-4=6

1+1+4+5-1*4=7

1+1+4+5+1-4=8

1+1*4+5-1^4=9

1+1+4+5-1^4=10

1+1+4+5*1^4=11

1+1+4+5+1^4=12

1+1-4-5*(1-4)=13

1+1+4+5-1+4=14

1+1+4+5+1*4=15

1+1+4+5+1+4=16

1+1+4*5-1-4=17

1+1+4*5-1*4=18

1+1+4*5+1-4=19

1+1*4-5*(1-4)=20

1+1+4-5*(1-4)=21

1+1+4*5*1^4=22

1+1+4*5+1^4=23

1+1*4*5-1+4=24

1+1+4*5-1+4=25

1+1+4+5*1*4=26

1+1+4*5+1+4=27

1-1+4+(5+1)*4=28

1+1*4+(5+1)*4=29

1+1+4+(5+1)*4=30

1+1+4+5*(1+4)=31

1-1+4*(5-1+4)=32

1+1*4*(5-1+4)=33

1+1+4*(5-1+4)=34

(1+1+4)*5+1+4=35

1-1+4*(5+1*4)=36

1+1*4*(5+1*4)=37

1+1+4*(5+1*4)=38

(1+1)*4*5-1^4=39

1-1+4*(5+1+4)=40

1+1*4*(5+1+4)=41

1+1+4*(5+1+4)=42

(1+1)*4*5-1+4=43

1*(1+4+5+1)*4=44

1+(1+4+5+1)*4=45

1+(1-4)*5*(1-4)=46

47

(1+1+4+5+1)*4=48

49

(1+1^4)*5*(1+4)=50

51

(1+1)*4*(5+1)+4=52

53

54

55

-(1+(1-4)*5*1)*4=56

57

-(1+1)-4*5*(1-4)=58

-(1*1)-4*5*(1-4)=59

1-1-4*5*(1-4)=60

1-1*4*5*(1-4)=61

1+1-4*5*(1-4)=62

-(1-1*4*(5-1)*4)=63

1-1+4*(5-1)*4=64

1+1*4*(5-1)*4=65

1+1+4*(5-1)*4=66

67

(1-(1-4)*5+1)*4=68

69

70

-(1+(1-4*5+1)*4)=71

(1+1)*4*(5+1*4)=72

1-(1-4*5+1)*4=73

-(1+1-(4*5-1)*4)=74

-(1+1*4)*5*(1-4)=75

1-1+(4*5-1)*4=76

1+1*(4*5-1)*4=77

1+1+(4*5-1)*4=78

-(1-1*4*5*1*4)=79

1-1+4*5*1*4=80

1+1*4*5*1*4=81

1+1+4*5*1*4=82

-(1-1*(4*5+1)*4)=83

1-1+(4*5+1)*4=84

1+1*(4*5+1)*4=85

1+1+(4*5+1)*4=86

-(1-(1+4*5+1)*4)=87

1*(1+4*5+1)*4=88

1+(1+4*5+1)*4=89

-(1+1+4)*5*(1-4)=90

91

(1+1+4*5+1)*4=92

93

-(1+1-4*(5+1)*4)=94

-(1-1*4*(5+1)*4)=95

1-1+4*(5+1)*4=96

1+1*4*(5+1)*4=97

1+1+4*(5+1)*4=98

-(1*1)+4*5*(1+4)=99

1-1+4*5*(1+4)=100


最终更新:

仅仅用四侧运算不用指数的0-100

       num0 = ['1', '1', '4', '5', '1', '4'] op_list0 = ['+', '-', '*', '/', '+(', '-(', '*(', '/(', ')+', ')-', ')*', ')/', ''] op_list1 = ['', '(', '-(', ] op_list2 = [')', ''] op_new_list = [] for i in op_list1:     for j in op_list0:         for k in op_list0:             for l in op_list0:                 for m in op_list0:                     for n in op_list0:                         for o in op_list2:                             op_new_list.append([i, j, k, l, m, n, o]) for q in range(0,101):     for d in op_new_list:         n_list = [d[0], num0[0], d[1], num0[1], d[2], num0[2], d[3], num0[3], d[4], num0[4], d[5], num0[5], d[6]]         n_str = ''         for e in n_list:             n_str += e         try:             n_e = eval(n_str)             if n_e == q:                 print(f'{n_str}={n_e}')                 break                 # print(n_e)         except:             pass     

1+1-4+5+1-4=0

1+1*4*(5-1-4)=1

1+1+4*(5-1-4)=2

1+1*4-5-1+4=3

1+1+4-5-1+4=4

1+1+4-5+1*4=5

1+1+4+5-1-4=6

1+1+4+5-1*4=7

1+1+4+5+1-4=8

1+1*4*(5+1-4)=9

1+1+4*(5+1-4)=10

1+1+45/(1+4)=11.0

1+1*(45-1)/4=12.0

1+1-4-5*(1-4)=13

1+1+4+5-1+4=14

1+1+4+5+1*4=15

1+1+4+5+1+4=16

1+1+4*5-1-4=17

1+1+4*5-1*4=18

1+1+4*5+1-4=19

1+1*4-5*(1-4)=20

1+1+4-5*(1-4)=21

1+1+4+(5-1)*4=22

1+1+4*(5+1/4)=23.0

1+1*4+5+14=24

1+1+4+5+14=25

1+1+4+5*1*4=26

1+1+4*5+1+4=27

1-1+4+(5+1)*4=28

1+1*4+(5+1)*4=29

1+1+4+(5+1)*4=30

1+1+4+5*(1+4)=31

1+1*45-14=32

1+1+45-14=33

1+1+4*(5-1+4)=34

1+1*4*5+14=35

1+1+4*5+14=36

1+1*4*(5+1*4)=37

1+1+4*(5+1*4)=38

1+14+(5+1)*4=39

1+14+5*(1+4)=40

1+1*4*(5+1+4)=41

1+1+4*(5+1+4)=42

1+1+45-1*4=43

1+1+45+1-4=44

1+1-4+51-4=45

1+(1-4)*5*(1-4)=46

11+4*(5+1*4)=47

1-1+45-1+4=48

1+1*45-1+4=49

1+1+45-1+4=50

1+1+45+1*4=51

1+1+45+1+4=52

1+1+4+51-4=53

11-4+51-4=54

11*4*5*1/4=55.0

1*14*5-14=56

1+14*5-14=57

-(1+1)-4*5*(1-4)=58

1-1+4+51+4=59

1+1*4+51+4=60

1+1+4+51+4=61

1+1-4*5*(1-4)=62

11*4+5+14=63

1-1+4*(5-1)*4=64

1+1*4*(5-1)*4=65

1+1+4*(5-1)*4=66

1+14*5-1*4=67

1+1-4+5*14=68

1*14+51+4=69

1+14+51+4=70

11-4*5*(1-4)=71

1*(14+5-1)*4=72

1*14*5-1+4=73

1+14*5-1+4=74

1+1*4+5*14=75

1+1+4+5*14=76

1+1*4*(5+14)=77

1+1+4*(5+14)=78

(1+14)*5+1*4=79

1-1+4*5*1*4=80

1+1*4*5*1*4=81

1+1+4*5*1*4=82

-(1-1*(4*5+1)*4)=83

1-1+(4*5+1)*4=84

1+1*(4*5+1)*4=85

1+1+(4*5+1)*4=86

11+4*(5+14)=87

1*14*(5+1)+4=88

1+14*(5+1)+4=89

114-(5+1)*4=90

11+4*5*1*4=91

11*(4+5-1)+4=92

(1+1)*45-1+4=93

11*(4+5)-1-4=94

11+(4*5+1)*4=95

1-1+4*(5+1)*4=96

1+1*4*(5+1)*4=97

1+1+4*(5+1)*4=98

11*4+51+4=99

1-1+4*5*(1+4)=100

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