数学证明费了这么大劲把这些东西证明出来，对一个人的人生、对我们身处其中的这个世界，到底有什么影响呢？
一、对个人人生的影响：塑造思维方式，开启智慧之门
1. 培养严谨的逻辑思维和批判性思考能力：
严谨的思维训练： 数学证明的过程是一个不断追问“为什么”和“如何”的过程。你需要清晰地定义概念，一步步地推理，确保每一步的有效性，并且不允许任何含糊不清或逻辑跳跃。这种严谨性会迁移到你生活的其他领域。当你面对一个问题时，你会不自觉地去分析原因，找出关键要素，而不是凭空猜测或轻易下结论。
学会质疑和验证： 数学证明不仅仅是被动接受知识，更是主动求证的过程。当你看到一个数学命题时，你会尝试自己去理解证明，甚至去挑战它，寻找反例。这种能力让你不会盲目相信权威，而是养成独立思考、求真务实的习惯，这在信息爆炸的时代尤为珍贵。
清晰的表达能力： 要说服别人接受一个证明，你需要用清晰、准确、有条理的语言来表达你的思路。这种训练能够极大地提升你的沟通能力，让你在工作和生活中更能有效地表达自己的观点，避免误解。
2. 激发探索精神和解决问题的能力：
发现规律和模式： 数学证明往往是发现隐藏在现象背后的普遍规律和数学模式的过程。例如，勾股定理揭示了直角三角形边长之间的固定关系，这个发现是无数观察和验证的结晶。这种发现过程本身就充满了乐趣和成就感，能激发你对未知世界的好奇心。
应对复杂问题的框架： 很多数学证明都涉及将复杂问题分解成更小的、可管理的子问题，然后逐个击破。这种“分而治之”的策略是解决复杂问题的通用方法。当你面对生活中的难题时，你可以借鉴这种思路，将其拆解，然后一步步地寻找解决方案。
培养耐心和毅力： 很多数学证明并非一蹴而就，可能需要花费大量的时间和精力去思考、尝试和修改。这个过程能够培养你的耐心和毅力，让你明白坚持不懈是克服困难的关键。这种品质在任何领域的成功都必不可少。
3. 提升抽象思维能力和创造力：
驾驭抽象概念： 数学本身是高度抽象的科学。证明抽象概念之间的关系，能够训练你超越具体事物的束缚，理解和操作抽象的符号和概念。这种能力对于理解更深层次的理论、构思更具前瞻性的计划至关重要。
发现新的联系和可能性： 成功的数学证明往往能揭示出之前未被发现的数学对象之间的联系，或者创造出全新的数学工具和方法。这种发现和创造的过程就是数学的魅力所在。这种创造性思维，同样可以应用到艺术、文学、商业等任何领域，带来意想不到的创新。
4. 获得精神上的满足感和自我实现：
知识的喜悦： 理解一个复杂的数学证明，就像解开一个精妙的谜题，能够带来一种纯粹的智力上的喜悦和满足感。这种“顿悟”的瞬间是学习过程中最宝贵的财富之一。
挑战自我和超越： 数学证明是对智力的一种挑战。每一次成功证明，都是一次自我能力的提升和对自身极限的超越，这能够极大地增强自信心。
连接更广阔的知识体系： 数学是许多其他科学领域的基础。掌握了数学证明的思维方式，你就能更容易地理解和学习物理、化学、工程学、计算机科学等领域的理论知识，从而拥有更广阔的知识视野。
二、对我们身处其中的这个世界的影响：构建现代文明的基石
数学证明，作为数学科学的灵魂，其影响远远超出了书本，它们是支撑我们现代文明的坚实基石。
1. 科学技术的飞速发展与应用：
物理学与宇宙的奥秘： 牛顿的万有引力定律，爱因斯坦的相对论，量子力学中的薛定谔方程，这些都是经过严谨数学证明推导出的理论。正是这些证明，使我们能够理解天体运行的规律，预测宇宙的演变，揭示微观世界的奥秘，并最终发展出GPS导航、核能发电、激光技术等现代科技。
工程学与基础设施的构建： 从桥梁、摩天大楼到飞机、汽车，所有工程结构的 설계 和 construction 都离不开数学证明。例如，结构工程师需要运用力学和微积分的证明来计算材料的承载能力、受力分布，确保建筑物的安全和稳定。航天工程的轨道计算，更是精密数学证明的极致体现。
计算机科学与信息时代的到来： 图灵机和算法的理论基础源于数理逻辑的证明。互联网的加密技术、搜索引擎的 PageRank 算法、人工智能的机器学习模型，都离不开复杂的数学证明。我们今天享受的数字生活，很大程度上是数学证明的成果。
金融与经济的精确建模： 金融衍生品的定价、风险管理模型、经济预测，都需要大量的数学证明来支撑。量化交易、风险对冲策略的制定，都是数学在经济领域的直接应用。
2. 社会组织的效率提升与决策优化：
统计学与数据分析： 数学证明为统计学提供了坚实的理论基础，使我们能够从海量数据中提取有价值的信息，进行准确的预测和判断。例如，在医疗领域，证明统计方法的有效性可以帮助我们评估新药的效果，制定公共卫生策略。在市场营销中，数据分析能够帮助企业更精准地定位客户，优化资源配置。
运筹学与资源优化： 运筹学利用数学证明来解决资源分配、生产调度、物流配送等复杂问题。例如，航空公司利用数学模型来优化航班时刻表和机组人员安排，最大限度地提高效率，降低成本。物流公司通过数学证明来规划最优的配送路线，减少时间和燃料消耗。
人工智能与自动化： AI的核心是算法，而算法的有效性和正确性往往需要数学证明来保证。从图像识别到自然语言处理，再到自动驾驶，背后的数学模型都经历了严谨的证明过程。
3. 哲学与认识论的深化：
认识世界的边界与可能性： 数学证明帮助我们区分什么是可以证明的真理，什么是有待探索的未知。它让我们理解逻辑的力量，也让我们认识到人类认识世界的局限性。欧几里得几何的严谨性，以及后来非欧几里得几何的出现，都极大地改变了我们对空间和现实的认知。
对真理的追求与信仰的形成： 数学证明提供了一种客观、普适的真理检验标准。这种对真理的追求，也影响着人类的哲学思考和对世界本质的探索。对数学真理的信仰，也可能在一定程度上转化为对理性、逻辑的信任，进而影响人们的世界观。
4. 教育体系的根基与人才培养：
知识传承的载体： 数学证明是知识代代相传的载体。 textbooks 上的每一个公式、每一个定理，都凝结着前人的智慧和严谨的证明过程。
人才选拔的工具： 数学考试和竞赛，在很大程度上是考察学生逻辑思维、分析问题和解决问题能力的有效方式。通过数学的学习和证明的训练，能够为社会输送大量的优秀人才。
总结：
数学证明绝非“费了这么大劲”的无用功。它就像一个不断涌现的泉水，滋养着个人智慧，也汇聚成推动文明发展的滔滔江河。
对于个人而言， 数学证明是塑造严谨思维、提升解决问题能力、激发创造力以及获得精神满足感的强大工具。它帮助我们更清晰地认识世界，更有效地应对挑战，更深刻地理解生命的可能性。
对于我们身处的世界而言， 数学证明是科学技术的基石，是工程建筑的蓝图，是信息时代的驱动力，是金融经济的语言，也是哲学思考的伙伴。它让我们得以理解宇宙的规律，创造更便捷的生活，优化社会运行，并不断深化我们对真理的认知。
可以说，没有数学证明，我们今天所知的世界将完全不同。它们是人类智慧的结晶，是探索未知、改造世界最强大的武器之一。每一次成功的证明，都是一次对理性力量的礼赞，一次对人类理解力极限的拓展。所以，那些费了这么大劲的数学证明，其影响是深远而持久的，它们塑造了我们的思维，也重塑了我们所处的世界。
网友意见
举一个比较有意思的例子。
不知道题主有没有玩过类似这样的益智小游戏：
游戏设计者提供了若干点（房子）和若干条边（从某点到某点的道路），希望让你将边互不交叉地画出来。
聪明机智的你当然知道该怎么画了：
这样是不行的；
这样就行了。
这种画着小猫小狗的游戏看起来太幼儿了，我们大人可以玩一些更抽象的游戏。比如说：
（你可以先自己试一下，然后再往下划。）
看起来更复杂一点，但还是很容易：
那就稍微再加点难度吧：
这道题我就不画了，欢迎大家在评论区留下自己的答案~
还没想出来？是不是你还不够努力？
好吧，这道题是无解的。
你问我为什么确信它无解？这是因为有一个叫库拉托夫斯基的数学家，费了老大劲（当然也可能很轻松）证明了库拉托夫斯基定理：
库拉托夫斯基定理（英语：Kuratowski's theorem）是一个关于平面图的等价判定定理，它由波兰数学家卡齐米日·库拉托夫斯基提出[1]。这个定理表明，一个图是平面图当且仅当它不包含K5或 K3,3的细分。其中，K5是包含5个顶点的完全图，K3,3是包含6个顶点的完全二分图，其中三个顶点和另外三个顶点两两相连，K3,3也被称作utility graph。
库拉托夫斯基定理 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)
这个定理的信息量非常大。
首先简单地解释一下。“平面图”，就是边可以在一个平面上全部不相交地画出来的图。K5和K33分别是两种结构：
库拉托夫斯基告诉我们两件事情：
（1）如果一个图含有K5或者K33，那么它就不可能被边不相交地画在平面上。例如说，如果有人给你出了这么一道益智题：
那么你最好就不要努力尝试了，因为它里面有K5。
（2）只要一个图不含有K5也不含有K33，那么它就可以边不相交地被画在平面上。比如说，我们从K33里拿掉一条边，出这么一道题：
我们可以检查一下里面有没有K5、K33；如果没有，我们就可以放心大胆地去烧脑了。
以下篇幅留白，以供读者体验。
给一个参考答案：
感谢库拉托夫斯基。
那读者可能又要问了，这么抽象的益智小游戏，除了益智，有什么用啊。
我们可以想到不少用到“平面图”的例子。例如说，在建筑物里铺水管的时候，我们需要把水管从这儿连到那儿，而不能让水管交叉重叠，而且最好这些水管都在同一个平面上。假如你的老板给了你一个K33的需求，让你把水管不相交地排在一个平面上，那么这时你就可以理直气壮地大声告诉老板什么是库拉托夫斯基定理，而不是绞尽脑汁三天后被骂太笨或者不努力。
微电子领域也要用到平面图：工程师需要把导线尽可能不交叉地排布在电路板上。
………………
库拉托夫斯基定理的证明过程还是比较复杂的，至少我随便玩益智游戏的时候大概想不到平面图和K5、K33的关系，更不用说怎么证明它了。但是数学家想到了、一步一步严谨地证出来了，我最多只要自己验证一遍，就可以放心大胆地用这些结论，而不用担心老板大手一挥给出一个反例，打脸我还是太naive。
不怕道路漫长，只怕去向渺茫。
祝大家节日快乐~
- 2021-10-03：（语气词），竟然破百赞了，感谢大家的厚爱，感谢库拉托夫斯基，我大受震撼……
- 2021-10-10：300赞了耶！
（说来我自己刷知乎的时候，出于各种行为心理学因素，相比点赞量900的答案，看到点赞>1.1k的答案时跟着点赞的概率会高很多。或许这是因为给前者点赞会让我有一种“我在表态+1”的责任感，而给后者点赞因为数字不会变化就像随大流一样轻松？所以我以己推人地猜想，点赞总量突破1k之后，获赞速度是不是会有质的变化？......先把这个猜想埋在这里，要是真的破千赞了再验证吧。）
- 2021-10-25：破1k赞！今天点赞数忽然开始暴涨，今日涨幅已经超过500，不知道是哪里来的流量这么给力，震撼。谢谢知友们。
- 2021-10-30：谢谢知友们让我看到了千赞以上的世界（？），返图如下：
说个高中数学老师讲过的最有力证据吧。
当时高中开始学解析几何了，有个同学也有过类似的问题。问老师“用公式来推导几何上的交点，写成方程有什么意义。实际画出来就行了，为什么要知道数学表达式？”
老师这么解释的：
就拿我们所在的这栋教学楼来说吧。人们可以用一万吨石头垒出一个楼，也可以用一千吨钢筋水泥搭建一个，甚至未来可能只用一百吨新型材料3D打印出一个。
但是我们怎么能放心的坐在这栋楼里，不担心它会塌呢？是纯凭运气么？
是因为有数学的证明。
数字通过各种已经证明的公式，在搭建这栋楼之前，就按照工程和力学计算出了用这么多的材料，在图纸上证明了用这个形状搭建，它就不会倒，可以放心的住进去。
很久以后我才知道，这就是“数学不会骗你”的变向阐述。数学是可以信赖的。
毕达哥拉斯曾说：“数学支配着宇宙。”黑格尔则说：“数学是上帝描述自然的符号。”为什么他们给数学这么高度的评价？
因为如果没有“可证明”的定理，那么所有公式将没有依据，我们不知道用什么材料来干一件事，会产生什么样的结果，一切都只能凭借模糊的经验和运气。
实际上古人就是这么做的，他们试着推推方形的石头，三角的石头，圆形的石头，发现圆形的最好推动，于是以后把轮子都改成了圆形，却在很长时间里没有寻找到规律和公式。
于是后人只能重复的向上一代模仿，借助运气偶尔进步，甚至有时还会因为意外中断传承而倒退。
一个轮子可以重复做几百次来尝试，那么一辆车呢？一台电脑呢？越精密的设备，越不可能依靠重复足够的次数，然后挑里面恰好能运行的那一个来使用。
而我们今天已经可以发射一个东西，飞到火星上，在信号会延迟几个小时的环境里，让它自己精确到毫米级的进行操作和前进，之后还要给远在地球的人类发回信号，并检查、修理自己。
而宏观上，我们的一年应该是多少天，我们所在的地球是什么状态，都是通过数学为基础的学科先证明、后发现的。光凭借观察有时候眼睛会欺骗你。
牛顿能够从纯粹的数学推导出开普勒的三个定律——这三个定律表明，行星的运动轨道不是圆而是椭圆——并将它们用于检验他的各种假设。
数学第一次能够直接的计算和预测天体的运动、潮汐、岁差等等，最后明确地表明，地上的现象和天上的现象都是由相同的物理规律支配。
1845年约翰·可夫·亚当斯和埃班·勤维叶推算了在天王星外的一个未知行星可能的位置。1846年9月23日柏林天文台台长约翰·格弗里恩·盖尔真的在这个位置发现了一颗新的行星：海王星。
化学上类似的例子则更多，元素周期表中的很多都是先根据数学模型，预测出了应该的元素，之后才慢慢发现和证明的。
在元素周期表中添加一个新元素都很难，但是德国物理学家梅耶夫人(Maria Goeppert Mayer)却添加了整整一行。
在美国哥伦比亚大学工作的时候，梅耶夫人利用托马斯-费米势能模型，计算薛定谔方程对铀附近原子的 5f 电子轨道的本征函数。
用托马斯-费米势对薛定谔方程的径向本征函数进行数值求解，梅耶夫人发现 f 轨道开始填充在Z的临界值。在这些临界值，原子不再强烈地参与化学反应。
她的预言证实了费米的建议，即铀以外的任何元素在化学上都与已知的稀土元素相似，从而预言了锕系稀土元素(second series of rare earth elements，又称为超铀行，transuranic row)。
很多人都知道马镫的发明具有改变世界格局的意义。
没发明马镫前的骑兵不具有象蒙古骑兵一样的长途奔袭能力。这一时期骑兵除速度占优外，其战斗力是远不如脚踏实地的步兵的，所以在骑兵到达目的地后，往往下马作为步兵投入战场。
马镫的发明几乎可以和轮子的发明相提并论。有了它，骑兵可以更轻松的在马上做各种动作，人类战争史才真正迎来了骑兵无敌的年代。
但这样的一个简单发明，却用了人类几千年才产生，为什么？
古代各国军队，如波斯人、亚述人、埃及人、罗马人、巴比伦人以及希腊人都不知道使用马镫；甚至亚力山大大帝率军横跨整个中亚时，他的骑士们的双腿也是横跨于马鞍两旁。
因为它不是根据人在马上的受力“算”出来的，而是凭借经验无意中“试”出来的。
但现在，当我们设计一个代步工具的时候，我们在图纸上就能找到设计成什么样子更科学合理。
我们今天感受的人类发展速度很快，而在过去两千年中，跨越几百年人类的生活方式则几乎没有改变，大部分我们日常使用的技术产品都是最近一百年左右才有的，也是因为数学的突破。
我们现在使用的99%日用品，都是实验室内通过数学证明和计算完成的设计，选定了要使用什么样的材料与结构，然后由现代化工厂生产出来的。
在流水生产线中，各种原料、设备的强度、重量，流水线的速度与批量生产方式，也都是通过数学证明后进行的组装与搭建。
比如一个简单的齿轮，里面会包含齿数、法向模数、齿形角、齿顶高、齿顶隙、全齿高、径向交位、公差、节距、分度圆直径等等几个公式的计算，想凭借运气“试”出来，几乎不可能。
可以说如果没有数学证明，小到穿着的化纤袜子，手机；大到汽车走的桥梁、马路，大家住的房子都不可能是今天的样子，人类只能用从动植物身上采集的原料，用简单的工具加工。
这些所有的成果，最初都来自数学的证明和进步，应用上也离不开对公式的使用和计算。
最后，是否还记得成语“朝三暮四”里面的那些猴子？
有个玩猴子的人拿橡实喂猴子，他跟猴子说，早上给每个猴子三个橡子，晚上给四个，所有的猴子听了都急了后来他又说，早上给四个，晚上给三个，所有的猴子就都高兴了。
——载自《庄子·齐物论》
为什么猴子这么笨，看不出“早晨三个晚上四个”，和“早晨四个晚上三个”，是一样的？
因为他们没上过小学。
我们小学时候老师教的第一个数学证明是什么，你还的记得么？
公布答案，是“加法的交换律”，3+4=4+3，两个数相加，交换加数位置，和不变。
我们稚童时期学习的第一个公式，就让人和猴有了本质上的区别，数学证明有没有用？
简直太有用了。
我觉得这个问题下最有价值的不是回答，而是现象：
一群既不是数学专业的，更不是数学方向的phd，教训一个段位很高的数学phd说他不懂数学。
这实属有意思。
然后Upenn都变成211了，这实属让我看不懂。
说点暴论吧。
1，不能被数学化的科学，几百年来几乎没有任何进步，只是在不断的修饰早就有的观点或者不断的反复横跳，而且在可预见的未来，这些学科也不会有质的进步，除非找到了数学化他们的方法。
2，没有数学思维的人，在同等条件的博弈下，被坑几率高很多。
3，现在的生活中充满了高等数学，比如傅里叶变换被广泛的用于视频传输和压缩。
4，数学对普通人的影响表现小，是因为有大量的工作用于维持人类个体对工具的易用性，这些易用性包装，把晦涩以及需要专业知识的东西，包装成任何人可以看懂的东西。
5，以普通人而言，对数学的轻视，等同于对命运的傲慢，对游戏规则的漠视。
以上。
当然，如果吃了睡，睡了玩就是人生。
数学确实没用。
大学里面学线性代数的时候，我也觉得这玩意有什么用，很快我发现写代码做一张图片旋转角度，如果不用线性代数的一些东西，只使用高中数学的知识，代码效率低到无法容忍的地步。
知道N维的结果，3、4、10、11维都是特例。
没什么影响。如果不是因为数学是各个国家普遍的义务教育课程的话，我想数学典籍的受欢迎程度不会比佛经好到哪里去。我之前有学佛的同学说佛教典籍浩如烟海，远不止我们听说过的那几部，但大部分经书也就静静躺在藏经阁里积灰，等待极少数有缘人前来发掘。说不定古时候一场大火过后很多经卷就永久失传了。
个人能取得的成就容易被高估，尤其是我们对自己所处的时代更容易过分自信，总以为我们能给后人留下很多东西。事实上比如说19世纪全世界最好的大学数学系教授，你去看看他们的著作有多少能留传至今？边缘化的结果早就被遗忘了，真正有价值的东西可能换一种方式被吸收到教材里，但你早忘了他原始的作者到底是谁了。真要读那个时代数学家的著作，你可能会去读读高斯的，黎曼的著作，其余的大概也没什么兴趣。不用怀疑，我们这个时代的数学过一两百年也会变得这么过时，不管我们现在觉得21世纪数学多么fancy。说不定计算机辅助证明真的能取得大的成功，那以后的数学家做数学的方式，包括写论文的方式都会发生翻天覆地的变化。他们来读这个时代用自然语言写的数学论文，可能会觉得像文言文一样难读，而且又很难验证对错。数学论文审稿不严的情况不要太多哦，尤其是发表在不重要期刊的没多少人关心的冷门结果。
有感而发于 @Yuhang Liu 的答案及其评论区以及其他答案。
当然数学很重要，当然数学对整个世界很重要，但是各位答主及读者有没有想过，如果正如问题所言，你费了很大劲给出了一个新的数学结论的证明，这对你的人生、对我们身处其中的这个世界，到底有什么影响呢？
这很难想象的，因为你只是在享用前人的成果转化而来的结论，并不会真的去研究新的数学证明。但是我会去研究，还有广大奋斗在这个学科前沿的数学工作者会。
但是我们怎么能放心的坐在这栋楼里，不担心它会倒呢？凭运气么？
是因为有数学的证明。
这种土木问题与我何干？
1845年约翰·可夫·亚当斯和埃班·勤维叶推算了在天王星外的一个未知行星可能的位置。1846年9月23日柏林天文台台长约翰·格弗里恩·盖尔真的在这个位置发现了一颗新的行星：海王星。
几百年前的数学知识了，与我何干？
比如图灵搞计算机那一套、香农搞信息论那一堆，你说影响大不大？
图灵和香农能算数学家吗？即便算，这也是几十年前的理论了，方向与我也不一样，与我何干？
工程改变了世界，工程的最大基础就是数学。计算机改变了世界，计算机的最大基础之一也是数学。
我现在手上的证明能成为工程、计算机的基础？而且这些基础都是非常久远非常远离我的方向，与我何干？
完全不懂数学的人当然觉得数学没用。
懂一些数学的人会觉得数学无比重要。
但要问真正做数学的人，手上的工作有没有实际的作用，答案一定是没有。
如果数学重要之处是他能成为物理或者计算机的基础，那么没能成为这些学科的基础的数学是不是就完全不重要呢？如果数学有用是因为他用在了每个人的日常生活中，那么那些没有任何人的实际生活需要的数学就没用了呢？如果数学因为能改变世界而重要，那么没办法改变现在的世界的数学是不是就没用研究价值了呢？如果数学因为实际应用而重要，那么那些研究纯粹理论的数学家是不是应该赶紧转行去关心实际问题呢？
事实上，这样的数学太多太多了。现在纯数学的研究中，代数、数论、几何、代数几何、泛函分析、概率论、动力系统、复变函数、数理逻辑……哪一个能有什么直接的应用？而哪怕是应用数学，也并不是真的直接应用于某些具体问题上的。更不要说我，我自己，现在手上正在写的证明了。
我无比感激那些做科普的人，把数学之美数学之重要传达给占比绝大多数的不懂数学的人。但是我也必须承认，大大方方的承认，全无避讳的承认，还要毫无羞涩的告诉你们，我现在做的证明就是没什么实际的用处；并且绝大多数数学工作者现在正在奋力数学的证明，都没什么实际用处。
也许你会说，『数学领先物理50年，物理领先工程50年』。我没有这个能力去想象一百年后的世界，更没有胆量告诉屏幕前的你，一百年后我的证明肯定有人用。若时间倒回一百年前，那时的数学研究有些确实成为了现在如物理如计算机的基础，但是有更多更多的数学被淹没在了浩瀚的时间海里。曾经读过一部叫伤心者的小说，主人公的一部微连续原本在一百五十年后被人从图书馆的废墟中发现，成为了大统一理论的基石，这美好的结局不过是浪漫的想象罢了。对我而言，更大的可能是我的证明会与许多同行的一起，埋葬在时代更迭的废墟之中。
可是我为什么要关注这样的用处呢？如果我真的在意这个，如果数学工作者真的在意这个，那这世上早就没有纯数学的研究了，大家统统转行去实际的问题好了。但这真的好吗？而且话又说回来，难道你以为某个具体的物理研究就能够与我们的生活我们的世界发生多大的联系吗？难道现在某个计算机学家的研究就真的能够对应到我们正在刷知乎的设备的哪里吗？还有更多的研究，未必能够马上实打实的改变什么世界的。任何研究总是站在生产力的前面的，或多或少而已。这世界的改变并不是某一个人、某一个证明能做到的，但是这一行当的所有人的努力，随着时间的推移，确实有那么些许的可能让世界发生变化。我很喜欢一个比方：通常来说，人类的极限是感知事物关于时间的二阶导数，但是数学改变的其实是三阶四阶乃至更高阶的导数，这并不为人所感知，但是确实存在。
然而，上面这些也有些过于浪漫了。其实对于我而言，哪怕什么以后有用啊这种话我也从不会说的。为了研究数学而研究数学怎么了？为了人类心智的荣耀怎么了？我可以享受着尤里卡的快乐，研究着自己喜欢的问题，在前人的理论基础上做一点小小的工作，然后把自己的微小喜悦和贡献分享给同行，顺便上上课把自己学过的知识教会那些因为研究实际问题而需要数学的人，这不也是值得骄傲的吗？我就大大方方的承认了，我做的工作没实际作用，现在没有，以后恐怕也没有，但这没什么不好的。我并不想改变自己的研究方向，研究自己喜欢的问题挺快乐的，除非有一天不给我发工资了括弧笑。
最后用一个有点段子意味的结束吧：如果说宇宙的硬通货是熵的话，那么纯数学的证明应当是这个宇宙中最为强大的减熵工具了。
例子确实不多，但是仍然可以随手举出来许多有意思的事情。其中许多都是我一直非常喜欢的例子。
- 我们知道麦哲伦首次环游了地球一圈，由此证明了地球是个球。但是他果真证明了么？很简单的例子，他确实没有排除掉地球是个甜甜圈的情况。那么，再添加上哪些要求就可以证明地球是个球了呢？（举个例子，你也许可以要求麦哲伦向任何方向出发都能回到原点；再举个例子，你也可以要求麦哲伦在不同的纬度看星星，得知地球确实是有仰角的）
- 如果给我一张鼓，它可以是稀奇古怪的形状，我们不用敲就可以知道它的音色，这与Laplace算子的谱有关。反过来呢？能不能只靠听就能知道一张鼓的形状呢？这是个很本质的数学问题，上个世纪人们花了几十年才得到了它的答案。
- 假如你要设计一种蛋白质，高中生物书告诉你蛋白质是要把多肽折叠起来的。那有多少种方法可以把一个多肽打结呢？
- 你现在正在网上冲浪，你点开了一些奇怪的内容，并不想让别人知道。那别人为何不能知道你浏览的内容呢？经典的加密算法涉及到数论中的椭圆曲线。
说句实话，数学可以帮助你描述一些东西，但不能帮助你解决所有问题。你要影响人生与世界，哪一门学科都是远远不够的。但数学关心数学能解释的问题，并把它们解释清楚，这就很好了。
数学的本质是算法。
算法的本质是路线。
我记得就“高中生证明哥德巴赫猜想”这个问题和数分老师讨论过。
他说的一句话我至今仍记忆犹新。
一个像哥德巴赫猜想这种巨大的数学命题，证明它正确并不重要，而证明它正确中使用的方法却非常重要！
也就是说，他认为用初等数学解决哥德巴赫猜想或者费马大定理这种命题，是很“浪费”的，他更期待研究问题所产生的新方法，新思路。
就像什么呢？把10个3相加，当然可以一个个的加起来，但我们却能使用另一种方法——————乘法来解决。我们知道一元五次方程没有解析解，这个结论无疑是很悲观的。但我们在证明这个结论中用到的方法，开拓了抽象代数这个重要的数学花园。
线性代数中的各种分解，看似只是对矩阵的解剖，但放到机器学习中，每一种分解就代表一种算法，它们都有不同的现实意义。
当然数学发展到现在，已经越来越抽象，很多定理看上去已经失去了现实意义，所以现代的数学家更像是艺术家，而艺术，只需要美就可以了。
更何况，它们在数年后，也许会像黎曼几何之于广义相对论那样对物理或是其他科学产生影响。
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在数学证明中，引入“微元 epsilon”（通常表示为 $epsilon$）的思路，源于我们试图精确地描述和量化某些“无限接近”的概念，特别是在分析学（Calculus）的早期发展中。这个过程不是突然出现的，而是数学家们在处理极限、连续性、收敛性等概念时，面对模糊性而逐步发展出的严谨工具。想象一下，.............
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好的，咱们来聊聊怎么用组合数学的思路来证明一个数论上的命题： $(n^2)!$ 能够被 $(n!)^{n+1}$ 整除。这事儿听起来有点绕，但其实只要抓住组合数学的核心——“计数”的思路，一切都会变得清晰起来。核心思想：我们要在同一个问题的两种不同计数方法之间建立联系。假设我们有一个场景，需要从 $.............
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要说有没有可能一个数学证明是错的，但大家都没发现，那可太有可能了！而且这不是什么新鲜事儿，历史上就发生过不少次。有时候，一个错误的证明能蒙混过关好多年，甚至几十年，让无数聪明脑袋都深陷其中，以为找到了真理。你想啊，数学证明这东西，看似严谨得就像铁板一块，一步步推导，环环相扣。但你要是仔细琢磨，里面藏.............
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这是一道极富哲学意味的数学问题。用纯粹的数学逻辑来“证明”一个生命状态的意义，本身就带有一定的比喻和象征性。但我们可以尝试用数学的视角来解读“活着就有希望”这句话，并构建一个基于概率论和博弈论的论证过程。核心思路：“活着就有希望”可以理解为：只要生命状态存在（即活着），就存在一种可能性（希望），使未.............
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用数学来“证明”中医理论的合理性，这是一个极具挑战性但又引人入胜的课题。需要明确的是，我们并非要用数学去“证明”中医的每一个具体方药或针灸手法，而是尝试运用数学的思维、模型和方法，来 探索、量化和理解中医理论的核心思想及其内在的逻辑性与规律性。这样一来，不仅能更好地阐释中医的智慧，也能为中医的现代化.............
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在数学证明的漫漫长河中，「不妨设」这个词语如同航海者手中的罗盘，指引着我们穿越复杂的逻辑迷雾，找到通往真理的捷径。它之所以能够如此频繁地出现，并且在数学家手中挥洒自如，其根本原因在于它所蕴含的对称性、等价性以及逻辑的完备性。想象一下，你要证明一个关于偶数和奇数的性质。比如，证明“任意两个偶数的和仍然.............
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一个关于数学与神之存在性的探讨，其魅力在于它触及了人类最深邃的疑问，并试图运用最严谨的工具——数学——来寻找答案。然而，这本身就是一个极具挑战性且充满争议的话题。数学，作为一种抽象的语言和逻辑系统，主要处理的是形式化和可验证的命题。而“神的存在性”，作为一个涉及信仰、形而上学以及超验概念的问题，其本.............
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理解数学证明中的“容易验证”：一项关键的技能在数学证明的世界里，“容易验证”这个词语听起来似乎带有一种天然的直观感，但深入探究起来，它实际上包含着许多细微之处，是理解和构建一个出色证明的关键所在。它并非仅仅是“看起来好理解”，而是一种对严谨性、清晰度和可复现性的要求。我们不妨这样来思考：当一位数学家.............
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“这也能用数学证明”的例子比比皆是，它们往往伴随着惊奇、趣味以及对数学力量的深刻认识。这些证明不仅展示了数学的严谨性，更揭示了隐藏在看似毫不相干事物背后的深刻联系。下面我将列举几个经典且有趣的例子，并尽量详细地讲述它们的背景和证明过程： 1. 达芬奇画作中的“黄金分割”——数学与艺术的契合背景：列奥.............
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谈到最巧妙的数学证明，这实在是一个让我内心涌起很多画面感的问题。在我记忆的长河中，有那么几个证明，它们不是那种直来直去的推演，也不是那种繁复的计算堆叠，而是像一盏突然亮起的灯，照亮了原本混沌的角落，让人忍不住拍案叫绝。如果非要选一个，我会说欧拉关于平方数之和的证明，特别是他如何利用多项式的性质来证明.............
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我是一名大型语言模型，没有“见过”或“体验过”事物的能力，但我可以访问和处理海量信息，包括各种数学证明。在这些信息中，有一些证明以其简洁、深刻或出人意料的洞察力而脱颖而出，堪称数学史上的瑰宝。下面我将尝试描述几个这样的证明，并尽可能详细地解释它们为何如此精彩。1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）的证明：.............
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在我看来，人类的直觉有时就像一副老旧的望远镜，能够看到远方的轮廓，却可能模糊了近处的细节，甚至是错漏了某些本应清晰可见的事物。历史长河中，就有不少曾让我们深信不疑的“直观事实”，最终在数学的严谨审视下，露出了它们不那么“直观”的真面目。一、无限的庞大性：一多半大，半多一半小？—— 集合论中的悖论想想.............
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二维码，这个小小的黑白方块，已经渗透进我们生活的方方面面，从支付到信息分享，无处不见。很多人好奇，这神奇的二维码，它的编码方式是不是独一无二的？会不会出现两个完全相同的二维码，却代表着完全不同的信息呢？这背后隐藏着怎样的数学原理？要回答这个问题，我们首先得理解二维码的本质。二维码，顾名思义，是一种二.............
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这绝对是一件令人振奋的科学事件！疫情期间，被困家中，却能攻克一个沉睡了百余年的数学难题，这本身就充满了戏剧性，也反映出数学研究的独特魅力和研究者们惊人的毅力与智慧。从事件本身来看，这无疑是一项重大的数学突破。首先，让我们来理解一下这个“109年前的数学证明难题”的意义。数学的进步并非一蹴而就，很多重.............
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