怎么建立复数与实数的一一对应？
许多人在初次接触到复数时，都会有一个疑问：“复数是不是比实数‘多’？” 确实，复数的形式 $a + bi$ 包含两个实数 $a$ 和 $b$，这让人觉得复数的“数量”似乎比实数要庞大得多。那么，我们能否找到一种方式，将每一个复数都唯一地对应到一个实数，并且每一个实数也唯一地对应到一个复数呢？换句话说，我们能否建立复数集与实数集之间的一一对应关系呢？
答案是：不能，至少不能用我们通常理解的“简单”或“直接”的方式来建立这种一一对应。 尽管我们能够用实数来“描述”一个复数（例如，用有序对 $(a, b)$ 来表示 $a + bi$），但这并不等同于建立一个一一对应，因为它引入了新的结构和概念。
要深入理解这一点，我们需要区分几个重要的概念：
1. 复数集合与实数集合的“大小”——基数 (Cardinality)
在集合论中，我们使用“基数”来衡量集合“大小”。两个集合之间能否建立一一对应，正是判断它们基数是否相等的标准。如果两个集合之间存在一一对应，我们就说它们具有相同的基数。
实数集 ($mathbb{R}$)：实数集是“不可数无穷集”，它的基数是连续统的基数，记作 $mathfrak{c}$。这意味着实数集的“大小”比我们熟悉的自然数集（可数无穷集，基数记作 $aleph_0$）要大得多。我们可以通过康托尔的对角线证明来理解实数集是不可数的。
复数集 ($mathbb{C}$)：一个复数 $a + bi$ 可以用一对实数 $(a, b)$ 来表示。那么，复数集的“大小”是否就相当于两个实数集“大小”的组合呢？在集合论中，两个基数为 $kappa$ 的集合的笛卡尔积（即所有可能的有序对组成的集合）的基数是 $kappa^2$。如果复数集与 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 具有相同的基数，而 $mathbb{R}$ 的基数是 $mathfrak{c}$，那么 $mathbb{C}$ 的基数就是 $mathfrak{c}^2$。
一个非常重要的定理是，对于任何无穷集合 $A$，如果它的基数是 $kappa$，那么笛卡尔积 $A imes A$ 的基数也等于 $kappa$。 也就是说，$kappa^2 = kappa$ 对于无穷基数是成立的。因此，$mathfrak{c}^2 = mathfrak{c}$。
这意味着，从集合论的意义上讲，复数集的基数与实数集的基数是相等的！ 换句话说，确实存在复数集到实数集（反之亦然）的一一对应。
2. “建立一一对应”的含义与挑战
虽然集合论告诉我们复数集和实数集有相同的基数，但当我们说“建立一一对应”时，通常隐含着希望找到一种有意义的、能够保持数学结构的对应。这就像我们谈论自然数和偶数之间的一一对应 ($n leftrightarrow 2n$)，这个对应不仅建立了基数相等，还保持了“顺序”的某些性质。
然而，对于复数集和实数集之间的“简单”或“直观”的一一对应，我们遇到了困难。主要体现在以下几个方面：
a. 基于实数“编码”复数
我们可以用有序对 $(a, b)$ 来表示复数 $a + bi$。这本身就建立了一个从复数集到实数对集合 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 的一一对应。
例如：
复数 $3 + 2i$ 对应实数对 $(3, 2)$。
实数 $5$（可以看作 $5 + 0i$）对应实数对 $(5, 0)$。
问题在于，实数对集合 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 本身不是一个简单的实数。我们还需要一个方法来将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 映射到 $mathbb{R}$。
b. 将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 与 $mathbb{R}$ 建立一一对应（困难与反直觉）
正如前面所说，从集合论的角度看，$mathbb{R} imes mathbb{R}$ 和 $mathbb{R}$ 的基数是相同的，所以存在一一对应。但这些对应往往非常“病态”和难以构造，并且无法保留我们熟悉的实数或复数的代数结构（加法、乘法）或拓扑结构（顺序、距离）。
著名的希尔伯特曲线 (Hilbert Curve) 就是一个例子，它是一个空间填充曲线，能够将二维平面上的点映射到一条一维的线上，而且是连续且充满整个线段的。 这种曲线可以将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 中的点映射到 $mathbb{R}$ 中的点，并且是连续的。理论上，我们可以通过希尔伯特曲线或类似的空间填充曲线来建立一个从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$ 的连续一一对应。
但是，这种对应会面临以下问题：
缺乏代数结构保持性： 如果我们找到一个从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$ 的连续一一对应 $phi: mathbb{C} o mathbb{R}$，那么 $a+bi$ 和 $c+di$ 的和 $(a+c) + (b+d)i$ 对应的实数 $phi((a+c) + (b+d)i)$ 与 $phi(a+bi)$ 和 $phi(c+di)$ 的实数运算（例如加法）极有可能没有简单的关系。也就是说，$phi$ 不保留复数的加法结构。同样，乘法也难以保持。
难以理解和使用： 像希尔伯特曲线这样的构造，其对应的具体数值计算非常复杂，很难直观地理解一个复数 $a+bi$ 究竟对应到哪个实数。例如，复数 $1+i$ 可能对应到一个非常复杂的实数，而实数 $0.5$ 可能对应到复数 $x+yi$ 的某个具体表示。这种对应关系非常抽象，不符合我们通常期望的“建立对应”那样直观和有用的方式。
c. 实数域和复数域的代数结构
实数域 ($mathbb{R}$) 和复数域 ($mathbb{C}$) 不仅仅是集合，它们是具有加法和乘法运算的域。如果我们寻找一个一一对应，通常希望这个对应能够尊重这些代数结构。
伽罗瓦理论 (Galois Theory) 和 域论 (Field Theory) 的观点：从抽象代数的角度来看，实数域和复数域是不同的。复数域 $mathbb{C}$ 是实数域 $mathbb{R}$ 在其代数闭包上的一个扩张，它包含了 $mathbb{R}$ 的所有根，并且具有更丰富的结构（例如，所有的非实数多项式方程在 $mathbb{C}$ 中都有根）。我们无法找到一个保持域结构的同构映射（即既保持加法又保持乘法的映射）从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$，因为它们的结构根本不同。
一个关键点是，如果存在一个保持域结构的同构映射 $phi: mathbb{C} o mathbb{R}$，那么 $phi(i)$ 在实数域 $mathbb{R}$ 中必须满足某个性质。 我们知道 $i^2 = 1$。如果 $phi$ 是一个同构，那么 $phi(i^2) = (phi(i))^2$ 并且 $phi(1) = 1$（因为 $phi$ 必须保持乘法单位元和加法单位元）。所以 $(phi(i))^2 = 1$。然而，在实数域 $mathbb{R}$ 中，任何实数的平方都不能是负数。这就意味着，这样的域同构是不存在的。
3. 总结与类比
所以，我们能否建立复数与实数的一一对应？
从集合论（基数）的角度看：是的。 存在数学上严谨的一一对应，证明了这两个无限集合的“大小”是相同的。
从保持数学结构（如代数运算、顺序、连续性）的角度看：不行。 我们无法找到一个既能将每个复数唯一地映射到一个实数，又能保持复数和实数各自重要的代数和拓扑结构的“好”的映射。
一个类比：
想象一下你有两堆积木：一堆是普通的单色积木（代表实数），另一堆是带有不同颜色和形状标记的积木（代表复数，颜色和标记可以类比实部和虚部）。
集合论的“大小”： 你可以把两堆积木都堆成一样高的塔，或者排成一样长的队伍，从这个意义上说，它们的“数量”相等。
结构保持的“对应”： 如果你想找到一种方式，使得“把一号积木和二号积木放在一起（加法）”在新的表示方式下仍然是“把它们的对应积木放在一起”，并且还能保持颜色和形状的某种“顺序”或“距离感”，那就非常困难了。你可能需要给每一块带标记的积木编一个非常复杂的序号（一个实数），但这就像是给一个三维物体（带标记的积木）赋予一个简单的序号，这个序号本身无法完全体现出原始三维物体所有的丰富信息和结构关系。
我们通常理解的“建立一一对应”是希望找到一种简单、直观且能保持事物内在联系的映射。对于复数和实数，这种“好的”一一对应是不存在的，因为它们在数学结构上存在根本性的差异。 我们之所以能“处理”复数，正是因为它允许我们使用两个实数来描述，并且通过定义一套新的运算规则来处理它们，而不是试图将它们“压缩”成单个实数，那样会丢失信息和结构。
答案是：不能，至少不能用我们通常理解的“简单”或“直接”的方式来建立这种一一对应。 尽管我们能够用实数来“描述”一个复数（例如，用有序对 $(a, b)$ 来表示 $a + bi$），但这并不等同于建立一个一一对应，因为它引入了新的结构和概念。
要深入理解这一点，我们需要区分几个重要的概念：
1. 复数集合与实数集合的“大小”——基数 (Cardinality)
在集合论中，我们使用“基数”来衡量集合“大小”。两个集合之间能否建立一一对应，正是判断它们基数是否相等的标准。如果两个集合之间存在一一对应，我们就说它们具有相同的基数。
实数集 ($mathbb{R}$)：实数集是“不可数无穷集”，它的基数是连续统的基数，记作 $mathfrak{c}$。这意味着实数集的“大小”比我们熟悉的自然数集（可数无穷集，基数记作 $aleph_0$）要大得多。我们可以通过康托尔的对角线证明来理解实数集是不可数的。
复数集 ($mathbb{C}$)：一个复数 $a + bi$ 可以用一对实数 $(a, b)$ 来表示。那么，复数集的“大小”是否就相当于两个实数集“大小”的组合呢？在集合论中，两个基数为 $kappa$ 的集合的笛卡尔积（即所有可能的有序对组成的集合）的基数是 $kappa^2$。如果复数集与 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 具有相同的基数，而 $mathbb{R}$ 的基数是 $mathfrak{c}$，那么 $mathbb{C}$ 的基数就是 $mathfrak{c}^2$。
一个非常重要的定理是，对于任何无穷集合 $A$，如果它的基数是 $kappa$，那么笛卡尔积 $A imes A$ 的基数也等于 $kappa$。 也就是说，$kappa^2 = kappa$ 对于无穷基数是成立的。因此，$mathfrak{c}^2 = mathfrak{c}$。
这意味着，从集合论的意义上讲，复数集的基数与实数集的基数是相等的！ 换句话说，确实存在复数集到实数集（反之亦然）的一一对应。
2. “建立一一对应”的含义与挑战
虽然集合论告诉我们复数集和实数集有相同的基数，但当我们说“建立一一对应”时，通常隐含着希望找到一种有意义的、能够保持数学结构的对应。这就像我们谈论自然数和偶数之间的一一对应 ($n leftrightarrow 2n$)，这个对应不仅建立了基数相等，还保持了“顺序”的某些性质。
然而，对于复数集和实数集之间的“简单”或“直观”的一一对应，我们遇到了困难。主要体现在以下几个方面：
a. 基于实数“编码”复数
我们可以用有序对 $(a, b)$ 来表示复数 $a + bi$。这本身就建立了一个从复数集到实数对集合 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 的一一对应。
例如：
复数 $3 + 2i$ 对应实数对 $(3, 2)$。
实数 $5$（可以看作 $5 + 0i$）对应实数对 $(5, 0)$。
问题在于，实数对集合 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 本身不是一个简单的实数。我们还需要一个方法来将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 映射到 $mathbb{R}$。
b. 将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 与 $mathbb{R}$ 建立一一对应（困难与反直觉）
正如前面所说，从集合论的角度看，$mathbb{R} imes mathbb{R}$ 和 $mathbb{R}$ 的基数是相同的，所以存在一一对应。但这些对应往往非常“病态”和难以构造，并且无法保留我们熟悉的实数或复数的代数结构（加法、乘法）或拓扑结构（顺序、距离）。
著名的希尔伯特曲线 (Hilbert Curve) 就是一个例子，它是一个空间填充曲线，能够将二维平面上的点映射到一条一维的线上，而且是连续且充满整个线段的。 这种曲线可以将 $mathbb{R} imes mathbb{R}$ 中的点映射到 $mathbb{R}$ 中的点，并且是连续的。理论上，我们可以通过希尔伯特曲线或类似的空间填充曲线来建立一个从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$ 的连续一一对应。
但是，这种对应会面临以下问题：
缺乏代数结构保持性： 如果我们找到一个从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$ 的连续一一对应 $phi: mathbb{C} o mathbb{R}$，那么 $a+bi$ 和 $c+di$ 的和 $(a+c) + (b+d)i$ 对应的实数 $phi((a+c) + (b+d)i)$ 与 $phi(a+bi)$ 和 $phi(c+di)$ 的实数运算（例如加法）极有可能没有简单的关系。也就是说，$phi$ 不保留复数的加法结构。同样，乘法也难以保持。
难以理解和使用： 像希尔伯特曲线这样的构造，其对应的具体数值计算非常复杂，很难直观地理解一个复数 $a+bi$ 究竟对应到哪个实数。例如，复数 $1+i$ 可能对应到一个非常复杂的实数，而实数 $0.5$ 可能对应到复数 $x+yi$ 的某个具体表示。这种对应关系非常抽象，不符合我们通常期望的“建立对应”那样直观和有用的方式。
c. 实数域和复数域的代数结构
实数域 ($mathbb{R}$) 和复数域 ($mathbb{C}$) 不仅仅是集合，它们是具有加法和乘法运算的域。如果我们寻找一个一一对应，通常希望这个对应能够尊重这些代数结构。
伽罗瓦理论 (Galois Theory) 和 域论 (Field Theory) 的观点：从抽象代数的角度来看，实数域和复数域是不同的。复数域 $mathbb{C}$ 是实数域 $mathbb{R}$ 在其代数闭包上的一个扩张，它包含了 $mathbb{R}$ 的所有根，并且具有更丰富的结构（例如，所有的非实数多项式方程在 $mathbb{C}$ 中都有根）。我们无法找到一个保持域结构的同构映射（即既保持加法又保持乘法的映射）从 $mathbb{C}$ 到 $mathbb{R}$，因为它们的结构根本不同。
一个关键点是，如果存在一个保持域结构的同构映射 $phi: mathbb{C} o mathbb{R}$，那么 $phi(i)$ 在实数域 $mathbb{R}$ 中必须满足某个性质。 我们知道 $i^2 = 1$。如果 $phi$ 是一个同构，那么 $phi(i^2) = (phi(i))^2$ 并且 $phi(1) = 1$（因为 $phi$ 必须保持乘法单位元和加法单位元）。所以 $(phi(i))^2 = 1$。然而，在实数域 $mathbb{R}$ 中，任何实数的平方都不能是负数。这就意味着，这样的域同构是不存在的。
3. 总结与类比
所以，我们能否建立复数与实数的一一对应？
从集合论（基数）的角度看：是的。 存在数学上严谨的一一对应，证明了这两个无限集合的“大小”是相同的。
从保持数学结构（如代数运算、顺序、连续性）的角度看：不行。 我们无法找到一个既能将每个复数唯一地映射到一个实数，又能保持复数和实数各自重要的代数和拓扑结构的“好”的映射。
一个类比：
想象一下你有两堆积木：一堆是普通的单色积木（代表实数），另一堆是带有不同颜色和形状标记的积木（代表复数，颜色和标记可以类比实部和虚部）。
集合论的“大小”： 你可以把两堆积木都堆成一样高的塔，或者排成一样长的队伍，从这个意义上说，它们的“数量”相等。
结构保持的“对应”： 如果你想找到一种方式，使得“把一号积木和二号积木放在一起（加法）”在新的表示方式下仍然是“把它们的对应积木放在一起”，并且还能保持颜色和形状的某种“顺序”或“距离感”，那就非常困难了。你可能需要给每一块带标记的积木编一个非常复杂的序号（一个实数），但这就像是给一个三维物体（带标记的积木）赋予一个简单的序号，这个序号本身无法完全体现出原始三维物体所有的丰富信息和结构关系。
我们通常理解的“建立一一对应”是希望找到一种简单、直观且能保持事物内在联系的映射。对于复数和实数，这种“好的”一一对应是不存在的，因为它们在数学结构上存在根本性的差异。 我们之所以能“处理”复数，正是因为它允许我们使用两个实数来描述，并且通过定义一套新的运算规则来处理它们，而不是试图将它们“压缩”成单个实数，那样会丢失信息和结构。
网友意见
@予一人 已经提供了一种“横向拉长”的方法，我这里提供另一个“纵向扩展”的方法，仅供参考。
由 可与 对应，只需建立双射函数 即可。
已知实数定义不局限于数位进制，我们可以很容易将一个十进制的实数转化为二进制： ，于是这个数就被展开形如 这样的二进制数字，其中 . 同理也可以转化为四进制、八进制等等，这里我们将用到二进制和四进制。
考虑这样的映射 ，以及其反函数 ， . 容易看出，一个四进制的数字可以通过函数 得到唯一确定的两个数字（用作复数的实部和虚部），两个二进制的数字可以通过函数 得到唯一确定的一个数字，这便建立了一一对应关系。
对任意复数按位循环运用上述函数（比如 就要循环 6 次），故复数 （二进制）可通过函数 将每一位都转化为唯一对应的实数，即 . 同理实数 （四进制）亦可通过其反函数 解出，即 .
这样的函数应该很多，以上仅供参考。
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