为什么我会感觉用数学归纳法证明很low？而用其他证明方法就显得很高大上？
让我试着深入剖析一下为什么会出现这种感觉，并对比一下它与其他证明方法的差异：
数学归纳法的“low”感从何而来？
1. 重复性和机械性： 数学归纳法最核心的步骤是“归纳步骤”，即证明当结论对某个 $k$ 成立时，它也对 $k+1$ 成立。这个过程往往是代数上的“套公式”——把 $k$ 替换成 $k+1$ 然后进行一系列的代数运算。这种重复的、程序化的操作，容易让人产生一种“这是 computadora 都会做的”感觉，缺乏思想的火花和创造力。
举个例子： 证明等差数列求和公式 $1+2+dots+n = frac{n(n+1)}{2}$。归纳步骤就是假设对 $k$ 成立，然后要推导对 $k+1$ 成立。这个过程涉及到 $(1+2+dots+k) + (k+1)$ 的计算，然后代入假设的 $frac{k(k+1)}{2}$ 再化简。这个过程虽然严谨，但如果大量接触，会觉得“哦，又是这样”。
2. 前期投入的“枯燥”： 归纳法的基石是“基础步骤”，即证明结论在最小的那个值上成立。这个步骤有时候也很机械，需要代入具体数值进行验证。一旦基础步骤很复杂或者需要一些巧思才能验证，那么接下来的归纳步骤可能就显得更加“乏味”和“例行公事”。
3. 缺乏“跳跃性”的洞察： 很多“高大上”的证明方法，往往是通过一个绝妙的“点子”或者一个“视角转换”来解决问题。比如构造一个巧妙的例子、引入一个隐藏的对称性、或者将问题映射到一个完全不同的领域。这些证明常常能带来一种“啊哈！”的顿悟感，让人觉得证明者有着非凡的智慧和洞察力。而归纳法，更多的是一种“步步为营”，稳扎稳打的策略，缺乏这种惊喜感。
4. “后验性”的弱势： 很多时候，我们使用归纳法是因为我们已经“猜到了”或者“知道了”这个结论是对的，归纳法只是一个工具来严格证明它。而一些更“高大上”的证明，可能本身就揭示了结论的来源和本质，甚至发现了更普遍的规律。归纳法在某些情况下更像是一个“验证器”，而非“发现器”。
5. 教学和传播中的定位： 在数学教育中，归纳法常常被当作是学生应该掌握的“基本功”，用于培养严谨思维。但它也容易被简化成一种技巧，而忽略了其背后“万物皆可推演”的哲学意味。当一个东西被过度强调为“基础”时，自然就难以显得“特别”了。
为什么其他证明方法显得“高大上”？
对比一下，其他一些证明方法确实更容易给人留下深刻的印象，主要有以下几个原因：
1. “一两句”的精妙： 有些证明，比如利用对称性、利用反证法中的某个绝妙假设、或者某个关键的代数变形，可能只需要几句话就能点明核心。这种“以少胜多”的简洁性，往往蕴含着深邃的思想。
例子： 证明不存在最大的素数。一个经典的证明是构造一个集合，然后利用鸽笼原理或集合论的奇巧思路。
例子： 很多几何证明，可能通过一个辅助线的添加，瞬间将复杂问题化为简单。
2. 思想的“飞跃”和抽象： 很多高阶证明涉及更抽象的概念、更复杂的结构，或者将问题置于一个更广阔的数学框架下。比如利用群论、拓扑学、或者概率论中的某些定理来证明其他领域的结论。这些证明往往需要深厚的数学功底和非凡的抽象能力。
例子： 利用代数基本定理证明多项式的性质。
例子： 利用傅立叶变换分析信号。
3. 创造性的“游戏”： 有些证明更像是数学家们在玩一场精妙的智力游戏。他们会设计巧妙的陷阱、隐藏的信息，然后通过一步步的剥茧抽丝来揭示真相。这种过程充满了探索性和挑战性，容易让人感受到数学的魅力。
4. 普适性和“连接”能力： 一些证明方法（如反证法、构造法、鸽笼原理等）可以应用于各种各样的问题，并且能够将看似无关的问题联系起来。它们展示了数学思想的强大连接性和迁移能力。
总结来说，你觉得数学归纳法“low”，而其他方法“高大上”，很可能是因为：
归纳法显得机械、重复、缺乏“惊喜感”，更像是一个基础的“验证工具”。
其他方法则往往表现出思想的“精妙”、“跳跃”、“抽象”，或者具有强大的“连接”能力，更能体现出数学家的创造力和洞察力。
但这并不意味着数学归纳法不重要。恰恰相反，它是构建数学大厦的基石之一。很多看似“高大上”的定理，最终都需要归纳法来巩固其严谨性。你对“高大上”的追求，其实是对数学更深层思想和更巧妙技巧的渴望，这是非常正常的！当你在掌握了更高级的证明技巧后，或许也能重新审视归纳法，发现它在特定情境下的简洁和优雅。
所以，不是归纳法本身“low”，而是它在你的感知中，没有其他证明方法那样直接地展现出那种“绝妙”和“令人惊叹”的智慧光芒。这更像是一种心理上的感受差异，而不是数学本身价值的判断。
网友意见
天啊 居然有人觉得归纳法low？？？
归纳法明明是最高贵冷艳的方法好吗？
有没有玩过多米诺骨牌啊？
那种扣下第一个牌，后面环环相扣的快感。
简直是命运主宰好不好？
题主觉得数学归纳法简单可能是因为它已经套路化算法化了，不能满足题主的装逼心理。
实际上，
我也这么觉得。
初学微积分的时候
我觉得用黎曼和来算积分简直优雅哭了。
为什么要用牛顿莱布尼兹公式呢？
后来我明白了
所谓：重剑无锋，大巧不工。
能够套路化的，无脑的解决问题。才是最优雅的
归纳法是把问题简单化的好办法啊！low是因为它朴实无华，试图一力破万法，但是你不想用就要一个绝好的脑子啊。
想象一下组合数学没有了归纳法是一种怎样的状况吧。
虽然题主的措辞有点嗯哼，但是一般做题的时候用不用数学归纳法给人的感觉似乎不太一样：
- 用一种偏激的伪特根斯坦的立场来说就是：把握数学命题就是把握数学命题的证明（因此寻找不同的证明才是有意义的事情，因为我们把握的不是“同一个”命题）。数学归纳法的使用把这种把握给切散了，我们没有办法一下子把握整体而只能把握碎片。
- 用一种伪康德的辞藻来说就是：数学证明本应该是综合的，而归纳法的使用将其变成了分析的。
- 用一种发现定理的角度来说就是，数学归纳法只能告诉我们结论是正确的，却没有办法让我们预见这个结论。
大概是这种粗糙的直观。当然这个直观非常粗糙，毕竟数学归纳法某些时候能展现出某种构建性：我们如何一步步地，对于任意的 ，从 构建出 。
因为我见识短浅，所以只能谈谈不那么数学的归纳法。
数学归纳法是一种特定数学结构下不可或缺的产物，只有你在哪里用的问题，而没有你用不用的问题。至少对于某些看上去显然的结论，归纳法能让这个证明更加严谨一些。或者说，对于某些“这他妈也要证”的命题是如此。
比如说，你要用不归纳的错位相加法一揽子证明 的求和公式。首先，你要用数学归纳法证明任意有穷个数字相加是可交换的（应该结合性也要证）。有了这些你才能说 ，求和次序不影响结果。当然你也可以把这个写入公理系统中。（其实无穷级数的问题某种意义上来说可以看成是数学归纳法的极限，对于任意有穷多项能证明的结论，放到无穷上就不行）
重点在于，错位相加之类的操作某种意义上来说也是用数学归纳法证明的：你要怎么说明 能和 对应？对于对应好之后两两相加的和是 n+1 这一点，我只知道 里面第一个等号是为什么，以及第一个为什么和最后一个相等（用交换性），但是省略号怎么办？细拆下去，如果你觉得每个 是显然的，那么请考虑一下，首先你怎么保证 pairing 的时候总是把 这样形式的东西加在一起，而不会对齐错误？这就回到了一开说的问题：怎么保证 能和 以你想要的形式对应？我觉得数学归纳法的作用之一就是处理这些“这他妈也要证”的东西。毕竟因为面对不定的 n，枚举是不行的。剩下能用的工具真没多少。当然，在证明上述能配对成功的时候，我们证明的是对于 i 进行数学归纳法，而 n 作为一个一开始设定下来的，不受约束的变量，其实和归纳没关系，最后的结果算是一揽子证明了对于任意的 n 如何如何。所以排除一开始用归纳法证明结合律交换律之外，其实这里也只用了一次归纳法，和直接用归纳法证明应该是差不多的。
当然这是纯分析（哲学意义上的分析，或者，某些龟毛苏联分析教材？笑）层面上的东西。对于考试做题没什么帮助就是了。
回到开头的直觉中。对于某些自然数的结构，我们能一揽子把握，具体原因我不清楚，可能是因为某种几何类比的思维，比如，斜线式的增长，一正一反两个三角形的斜边斜率一样，因此对得上之类的，所以显然这里有一个一一对应。这种模式或许是自然数最显然的模式。因此当我们利用这种模式的时候，我们没有“负罪感”，也即，大多数人根本意识不到这个地方其实需要用数学归纳法证明。但是有没有可能从根本上不用归纳法？我觉得没可能，我们至多只能把归纳隐藏在“显然”中。我说“隐藏”并不是说不显然，的确很显然，但是如果没有归纳法你就解释不了，你依赖的直觉本质上就是归纳法最简单的形式。说到底，除了归纳法，我们还有多少把握有穷省略号的工具？
不过这都是猜测罢了：对于自然数递归的 pattern，我们有一种典范的把握方式，但是因为自然数通过递归能够创造的 pattern 太多了，我们还能以别的方式来把握一个自然数结构的东西。看不到熟悉的模式让我们感到不开心，所以说我们希望的不是不用归纳法，而是以一种典范的方式使用归纳法，也就是用“看上去最像我们认识的自然数”的视角去看自然数。至于这里的“典范”和“像”是什么意思我也不确定。至少在上面那个证明中算是一种典范的模式。
一般意义上所谓的“必须”使用数学归纳法，一种可能理解是，找不到一种以典范的自然数呈现对象结构的方式。但是是否真的不存在呢？我不知道。我觉得可能会比较难找，或者，因为要把对应的部分整理得最后不需要使用归纳法，以至于实际上我们把握不好这个东西了，但是要给一个只有用非平凡的归纳法才能证明的例子，我一下子也想不到。或者说，这里平凡性的认定过于模糊，会产生扯皮。盲猜用简单的 proposition as types 可以 formalise 这个问题，将其表述为是否存在某个 object 使得某个 diagram commute 形式的问题。比如说，如果用 表示归纳法 ind 作用在细小的证明 p 上，得到的一个关于 A 的的证明对象，也即，非平凡的使用情况，我们现在问的是，是否总是存在一个证明对象 使得 ——或许我 左右两边的东西写反了，或许 ind 不是结合一个证明，而应该作用在一个证明上，因此分别是 ind(p) 和 q ind(1) 之类的东西，但是大体上是这种感觉。当然这里的问题太多了，我一下子也想不清楚就是。
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