大学线性代数怎么求四阶行列式？
大学线性代数中求四阶行列式有多种方法，每种方法都有其适用场景和优缺点。下面将尽量详细地为您介绍这些方法。
什么是四阶行列式？
四阶行列式是一个由 4 行 4 列元素组成的方阵，其值为一个单一的数值。它在向量空间、线性方程组的解、矩阵的逆等方面有着重要的应用。
我们用一个通用的四阶矩阵来表示：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
end{pmatrix}
$$
它的行列式记作 $|A|$ 或 $det(A)$。
方法一：代数余子式展开法（按行或按列展开）
这是最基本也是最常用的求高阶行列式的方法。其核心思想是将一个 n 阶行列式转化为若干个 (n1) 阶行列式。对于四阶行列式，就是将其转化为若干个三阶行列式。
基本原理：
行列式按某一行（或某一列）展开的代数和等于该行（或该列）的每个元素乘以其对应的代数余子式之和。
代数余子式 ($C_{ij}$):
代数余子式 $C_{ij}$ 是指元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，它等于 $(1)^{i+j}$ 乘以元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$。
余子式 ($M_{ij}$):
余子式 $M_{ij}$ 是指将原行列式划去第 i 行和第 j 列后得到的 (n1) 阶子行列式。
展开公式：
按第一行展开：
$$
|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}
$$
其中：
$$
C_{11} = (1)^{1+1} M_{11} = egin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{42} & a_{43} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{12} = (1)^{1+2} M_{12} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{43} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{13} = (1)^{1+3} M_{13} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{14} = (1)^{1+4} M_{14} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} \
a_{41} & a_{42} & a_{43}
end{vmatrix}
$$
按任意一行 $i$ 展开：
$$
|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + a_{i4}C_{i4}
$$
按任意一列 $j$ 展开：
$$
|A| = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + a_{4j}C_{4j}
$$
如何计算三阶行列式：
对于一个三阶行列式：
$$
egin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \
b_{21} & b_{22} & b_{23} \
b_{31} & b_{32} & b_{33}
end{vmatrix}
= b_{11}(b_{22}b_{33} b_{23}b_{32}) b_{12}(b_{21}b_{33} b_{23}b_{31}) + b_{13}(b_{21}b_{32} b_{22}b_{31})
$$
这可以通过萨吕法则（Sarrus' rule）来记忆和计算。
选择哪一行或哪一列展开？
为了简化计算，通常选择含有 最多零元素 的那一行或那一列进行展开。如果一行或一列中只有一个非零元素，则该行列式就只剩下计算一个三阶行列式。
举例说明：
计算行列式：
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
1 & 3 & 2 & 0 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
观察发现，第一行和第三列 都含有两个零元素，我们可以选择其中任意一个进行展开。这里我们选择 第一行 展开：
$$
|A| = 1 cdot C_{11} + 2 cdot C_{12} + 0 cdot C_{13} + 4 cdot C_{14}
$$
现在我们需要计算 $C_{11}$、$C_{12}$ 和 $C_{14}$：
计算 $C_{11}$：
$$
C_{11} = (1)^{1+1} egin{vmatrix}
3 & 2 & 0 \
1 & 5 & 2 \
3 & 0 & 1
end{vmatrix} = 1 cdot (3 cdot 5 cdot 1 + 2 cdot (2) cdot (3) + 0 cdot 1 cdot 0 0 cdot 5 cdot (3) 2 cdot 1 cdot 1 3 cdot (2) cdot 0)
$$
$$
C_{11} = (15 + 12 + 0) (0 + 2 + 0) = 27 2 = 25
$$
计算 $C_{12}$：
$$
C_{12} = (1)^{1+2} egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 5 & 2 \
2 & 0 & 1
end{vmatrix} = 1 cdot ((1) cdot 5 cdot 1 + 2 cdot (2) cdot 2 + 0 cdot 0 cdot 0 0 cdot 5 cdot 2 2 cdot 0 cdot 1 (1) cdot (2) cdot 0)
$$
$$
C_{12} = 1 cdot ((5) + (8) + 0 0 0 0) = 1 cdot (13) = 13
$$
计算 $C_{14}$：
$$
C_{14} = (1)^{1+4} egin{vmatrix}
1 & 3 & 2 \
0 & 1 & 5 \
2 & 3 & 0
end{vmatrix} = 1 cdot ((1) cdot 1 cdot 0 + 3 cdot 5 cdot 2 + 2 cdot 0 cdot (3) 2 cdot 1 cdot 2 3 cdot 0 cdot 0 (1) cdot 5 cdot (3))
$$
$$
C_{14} = 1 cdot (0 + 30 + 0 4 0 15) = 1 cdot (11) = 11
$$
最后将它们代回原式：
$$
|A| = 1 cdot (25) + 2 cdot (13) + 0 cdot C_{13} + 4 cdot (11)
$$
$$
|A| = 25 + 26 + 0 44 = 51 44 = 7
$$
优点： 通用性强，适用于任何方阵。
缺点： 计算量较大，尤其是当矩阵中零元素较少时，需要计算多个三阶行列式。
方法二：行（列）变换化简法
行（列）变换是改变行列式数值但有规律可循的操作，可以用来将四阶行列式化简为更易于计算的形式，例如三角形或对角线矩阵。
基本行（列）变换性质：
1. 交换两行（或两列）： 行列式改变符号（乘以 1）。
2. 用一行的 k 倍加到另一行（或一列的 k 倍加到另一列）： 行列式的值不变。
3. 将某一行（或某一列）的各元素乘以一个数 k： 行列式的值乘以 k。
化简策略：
目标是将行列式中的元素通过行（列）变换转化为 上三角形、下三角形或对角线 的形式。
上三角形矩阵： 主对角线以下的元素全为零。其行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
$$
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}
$$
下三角形矩阵： 主对角线以上的元素全为零。其行列式的值也等于主对角线上元素的乘积。
对角线矩阵： 主对角线以外的元素全为零。其行列式的值也等于主对角线上元素的乘积。
举例说明（使用方法二）：
计算行列式：
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
1 & 3 & 2 & 0 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
我们的目标是利用行变换将第一列的第一行以下元素变为零。
$R_2 leftarrow R_2 + R_1$ (第二行加上第一行)
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
0 & 5 & 2 & 4 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
$R_4 leftarrow R_4 2R_1$ (第四行减去第一行的两倍)
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
0 & 5 & 2 & 4 \
0 & 1 & 5 & 2 \
0 & 7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
现在，第一列的前三个元素已经是零了。我们可以通过按第一列展开，或者继续化简。
如果按第一列展开：
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
5 & 2 & 4 \
1 & 5 & 2 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
现在我们需要计算这个三阶行列式。
我们也可以继续利用行变换化简上面的三阶行列式：
将第二行与第一行交换，并改变符号
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
5 & 2 & 4 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
$R_2 leftarrow R_2 5R_1$
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
0 & 23 & 14 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
$R_3 leftarrow R_3 + 7R_1$
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
0 & 23 & 14 \
0 & 35 & 21
end{vmatrix}
$$
现在，这个三阶行列式已经化为上三角形的一部分（第一列前两个元素为零）。我们可以按第一列展开：
$$
|A| = 1 cdot (1 cdot egin{vmatrix}
23 & 14 \
35 & 21
end{vmatrix})
$$
计算二阶行列式：
$$
egin{vmatrix}
23 & 14 \
35 & 21
end{vmatrix} = (23) cdot (21) 14 cdot 35
= 483 490 = 7
$$
所以：
$$
|A| = 1 cdot (7) = 7
$$
优点： 当矩阵中存在大量可以互相抵消产生零的元素时，此方法可以大大简化计算。特别适合化为三角形矩阵后直接得到结果。
缺点： 如果矩阵中的元素没有明显的关系，进行多次行变换可能会引入新的非零元素，反而增加计算复杂性。需要熟练掌握行变换的性质。
方法三：利用特殊性质（例如对角矩阵、三角矩阵）
如果四阶行列式的矩阵本身就是对角矩阵、上三角矩阵或下三角矩阵，那么计算就非常简单了。
对角矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \
0 & a_{22} & 0 & 0 \
0 & 0 & a_{33} & 0 \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{pmatrix}
implies |A| = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}
$$
上三角矩阵/下三角矩阵： 行列式的值等于主对角线元素的乘积。
如果不是，可以通过行（列）变换将其化为上述形式。
方法四：利用特征值
对于一个方阵 A，其行列式 $|A|$ 等于其所有特征值的乘积。
$$
|A| = lambda_1 lambda_2 lambda_3 lambda_4
$$
其中 $lambda_1, lambda_2, lambda_3, lambda_4$ 是矩阵 A 的四个特征值。
如何求特征值？
特征值是满足特征方程 $|A lambda I| = 0$ 的根，其中 I 是单位矩阵。
对于四阶矩阵，求解 $|A lambda I| = 0$ 是一个关于 $lambda$ 的四次方程。
$$
A lambda I = egin{pmatrix}
a_{11}lambda & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22}lambda & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}lambda & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}lambda
end{pmatrix}
$$
计算这个四阶行列式，会得到一个关于 $lambda$ 的多项式 $p(lambda) = lambda^4 + c_3 lambda^3 + c_2 lambda^2 + c_1 lambda + c_0 = 0$。这个 $c_0$ 项恰好就是 $|A|$。
优点： 如果已经知道或方便求得特征值，这是最直接的方法。
缺点： 求特征值（解四次方程）通常比直接计算行列式要复杂得多，除非矩阵结构非常特殊，例如对角矩阵。在实际应用中，通常是先计算行列式，而不是用特征值去求行列式。
总结与建议：
1. 首选方法： 对于大多数情况，代数余子式展开法 是最直观的。
2. 优化策略： 在使用代数余子式展开法时，务必选择含有 最多零元素 的行或列进行展开，以减少需要计算的三阶行列式的数量。
3. 行（列）变换的优势： 如果矩阵的元素之间存在明显的倍数关系，或者可以通过几次行变换轻易化为 三角形矩阵，那么 行（列）变换化简法 会非常高效。它能将四阶行列式的计算直接转化为主对角线元素的乘积。
4. 特殊矩阵： 如果矩阵已经是对角矩阵或三角矩阵，直接根据定义计算即可。
5. 特征值方法： 仅在已知特征值或者矩阵结构非常简单（如对角矩阵）时才考虑。
在实际学习和考试中，熟练掌握 代数余子式展开法 和 行（列）变换化简法 是求解四阶行列式的关键。通常情况下，两种方法都可以得到正确答案，但一种方法可能比另一种更快捷。
希望以上详细的解释能够帮助您理解四阶行列式的计算方法！
什么是四阶行列式？
四阶行列式是一个由 4 行 4 列元素组成的方阵，其值为一个单一的数值。它在向量空间、线性方程组的解、矩阵的逆等方面有着重要的应用。
我们用一个通用的四阶矩阵来表示：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
end{pmatrix}
$$
它的行列式记作 $|A|$ 或 $det(A)$。
方法一：代数余子式展开法（按行或按列展开）
这是最基本也是最常用的求高阶行列式的方法。其核心思想是将一个 n 阶行列式转化为若干个 (n1) 阶行列式。对于四阶行列式，就是将其转化为若干个三阶行列式。
基本原理：
行列式按某一行（或某一列）展开的代数和等于该行（或该列）的每个元素乘以其对应的代数余子式之和。
代数余子式 ($C_{ij}$):
代数余子式 $C_{ij}$ 是指元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，它等于 $(1)^{i+j}$ 乘以元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$。
余子式 ($M_{ij}$):
余子式 $M_{ij}$ 是指将原行列式划去第 i 行和第 j 列后得到的 (n1) 阶子行列式。
展开公式：
按第一行展开：
$$
|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}
$$
其中：
$$
C_{11} = (1)^{1+1} M_{11} = egin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{42} & a_{43} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{12} = (1)^{1+2} M_{12} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{43} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{13} = (1)^{1+3} M_{13} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{44}
end{vmatrix}
$$
$$
C_{14} = (1)^{1+4} M_{14} = egin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} \
a_{41} & a_{42} & a_{43}
end{vmatrix}
$$
按任意一行 $i$ 展开：
$$
|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + a_{i4}C_{i4}
$$
按任意一列 $j$ 展开：
$$
|A| = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + a_{4j}C_{4j}
$$
如何计算三阶行列式：
对于一个三阶行列式：
$$
egin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \
b_{21} & b_{22} & b_{23} \
b_{31} & b_{32} & b_{33}
end{vmatrix}
= b_{11}(b_{22}b_{33} b_{23}b_{32}) b_{12}(b_{21}b_{33} b_{23}b_{31}) + b_{13}(b_{21}b_{32} b_{22}b_{31})
$$
这可以通过萨吕法则（Sarrus' rule）来记忆和计算。
选择哪一行或哪一列展开？
为了简化计算，通常选择含有 最多零元素 的那一行或那一列进行展开。如果一行或一列中只有一个非零元素，则该行列式就只剩下计算一个三阶行列式。
举例说明：
计算行列式：
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
1 & 3 & 2 & 0 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
观察发现，第一行和第三列 都含有两个零元素，我们可以选择其中任意一个进行展开。这里我们选择 第一行 展开：
$$
|A| = 1 cdot C_{11} + 2 cdot C_{12} + 0 cdot C_{13} + 4 cdot C_{14}
$$
现在我们需要计算 $C_{11}$、$C_{12}$ 和 $C_{14}$：
计算 $C_{11}$：
$$
C_{11} = (1)^{1+1} egin{vmatrix}
3 & 2 & 0 \
1 & 5 & 2 \
3 & 0 & 1
end{vmatrix} = 1 cdot (3 cdot 5 cdot 1 + 2 cdot (2) cdot (3) + 0 cdot 1 cdot 0 0 cdot 5 cdot (3) 2 cdot 1 cdot 1 3 cdot (2) cdot 0)
$$
$$
C_{11} = (15 + 12 + 0) (0 + 2 + 0) = 27 2 = 25
$$
计算 $C_{12}$：
$$
C_{12} = (1)^{1+2} egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 5 & 2 \
2 & 0 & 1
end{vmatrix} = 1 cdot ((1) cdot 5 cdot 1 + 2 cdot (2) cdot 2 + 0 cdot 0 cdot 0 0 cdot 5 cdot 2 2 cdot 0 cdot 1 (1) cdot (2) cdot 0)
$$
$$
C_{12} = 1 cdot ((5) + (8) + 0 0 0 0) = 1 cdot (13) = 13
$$
计算 $C_{14}$：
$$
C_{14} = (1)^{1+4} egin{vmatrix}
1 & 3 & 2 \
0 & 1 & 5 \
2 & 3 & 0
end{vmatrix} = 1 cdot ((1) cdot 1 cdot 0 + 3 cdot 5 cdot 2 + 2 cdot 0 cdot (3) 2 cdot 1 cdot 2 3 cdot 0 cdot 0 (1) cdot 5 cdot (3))
$$
$$
C_{14} = 1 cdot (0 + 30 + 0 4 0 15) = 1 cdot (11) = 11
$$
最后将它们代回原式：
$$
|A| = 1 cdot (25) + 2 cdot (13) + 0 cdot C_{13} + 4 cdot (11)
$$
$$
|A| = 25 + 26 + 0 44 = 51 44 = 7
$$
优点： 通用性强，适用于任何方阵。
缺点： 计算量较大，尤其是当矩阵中零元素较少时，需要计算多个三阶行列式。
方法二：行（列）变换化简法
行（列）变换是改变行列式数值但有规律可循的操作，可以用来将四阶行列式化简为更易于计算的形式，例如三角形或对角线矩阵。
基本行（列）变换性质：
1. 交换两行（或两列）： 行列式改变符号（乘以 1）。
2. 用一行的 k 倍加到另一行（或一列的 k 倍加到另一列）： 行列式的值不变。
3. 将某一行（或某一列）的各元素乘以一个数 k： 行列式的值乘以 k。
化简策略：
目标是将行列式中的元素通过行（列）变换转化为 上三角形、下三角形或对角线 的形式。
上三角形矩阵： 主对角线以下的元素全为零。其行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
$$
egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}
$$
下三角形矩阵： 主对角线以上的元素全为零。其行列式的值也等于主对角线上元素的乘积。
对角线矩阵： 主对角线以外的元素全为零。其行列式的值也等于主对角线上元素的乘积。
举例说明（使用方法二）：
计算行列式：
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
1 & 3 & 2 & 0 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
我们的目标是利用行变换将第一列的第一行以下元素变为零。
$R_2 leftarrow R_2 + R_1$ (第二行加上第一行)
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
0 & 5 & 2 & 4 \
0 & 1 & 5 & 2 \
2 & 3 & 0 & 1
end{vmatrix}
$$
$R_4 leftarrow R_4 2R_1$ (第四行减去第一行的两倍)
$$
|A| = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \
0 & 5 & 2 & 4 \
0 & 1 & 5 & 2 \
0 & 7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
现在，第一列的前三个元素已经是零了。我们可以通过按第一列展开，或者继续化简。
如果按第一列展开：
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
5 & 2 & 4 \
1 & 5 & 2 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
现在我们需要计算这个三阶行列式。
我们也可以继续利用行变换化简上面的三阶行列式：
将第二行与第一行交换，并改变符号
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
5 & 2 & 4 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
$R_2 leftarrow R_2 5R_1$
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
0 & 23 & 14 \
7 & 0 & 7
end{vmatrix}
$$
$R_3 leftarrow R_3 + 7R_1$
$$
|A| = 1 cdot egin{vmatrix}
1 & 5 & 2 \
0 & 23 & 14 \
0 & 35 & 21
end{vmatrix}
$$
现在，这个三阶行列式已经化为上三角形的一部分（第一列前两个元素为零）。我们可以按第一列展开：
$$
|A| = 1 cdot (1 cdot egin{vmatrix}
23 & 14 \
35 & 21
end{vmatrix})
$$
计算二阶行列式：
$$
egin{vmatrix}
23 & 14 \
35 & 21
end{vmatrix} = (23) cdot (21) 14 cdot 35
= 483 490 = 7
$$
所以：
$$
|A| = 1 cdot (7) = 7
$$
优点： 当矩阵中存在大量可以互相抵消产生零的元素时，此方法可以大大简化计算。特别适合化为三角形矩阵后直接得到结果。
缺点： 如果矩阵中的元素没有明显的关系，进行多次行变换可能会引入新的非零元素，反而增加计算复杂性。需要熟练掌握行变换的性质。
方法三：利用特殊性质（例如对角矩阵、三角矩阵）
如果四阶行列式的矩阵本身就是对角矩阵、上三角矩阵或下三角矩阵，那么计算就非常简单了。
对角矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \
0 & a_{22} & 0 & 0 \
0 & 0 & a_{33} & 0 \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{pmatrix}
implies |A| = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}
$$
上三角矩阵/下三角矩阵： 行列式的值等于主对角线元素的乘积。
如果不是，可以通过行（列）变换将其化为上述形式。
方法四：利用特征值
对于一个方阵 A，其行列式 $|A|$ 等于其所有特征值的乘积。
$$
|A| = lambda_1 lambda_2 lambda_3 lambda_4
$$
其中 $lambda_1, lambda_2, lambda_3, lambda_4$ 是矩阵 A 的四个特征值。
如何求特征值？
特征值是满足特征方程 $|A lambda I| = 0$ 的根，其中 I 是单位矩阵。
对于四阶矩阵，求解 $|A lambda I| = 0$ 是一个关于 $lambda$ 的四次方程。
$$
A lambda I = egin{pmatrix}
a_{11}lambda & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22}lambda & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}lambda & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}lambda
end{pmatrix}
$$
计算这个四阶行列式，会得到一个关于 $lambda$ 的多项式 $p(lambda) = lambda^4 + c_3 lambda^3 + c_2 lambda^2 + c_1 lambda + c_0 = 0$。这个 $c_0$ 项恰好就是 $|A|$。
优点： 如果已经知道或方便求得特征值，这是最直接的方法。
缺点： 求特征值（解四次方程）通常比直接计算行列式要复杂得多，除非矩阵结构非常特殊，例如对角矩阵。在实际应用中，通常是先计算行列式，而不是用特征值去求行列式。
总结与建议：
1. 首选方法： 对于大多数情况，代数余子式展开法 是最直观的。
2. 优化策略： 在使用代数余子式展开法时，务必选择含有 最多零元素 的行或列进行展开，以减少需要计算的三阶行列式的数量。
3. 行（列）变换的优势： 如果矩阵的元素之间存在明显的倍数关系，或者可以通过几次行变换轻易化为 三角形矩阵，那么 行（列）变换化简法 会非常高效。它能将四阶行列式的计算直接转化为主对角线元素的乘积。
4. 特殊矩阵： 如果矩阵已经是对角矩阵或三角矩阵，直接根据定义计算即可。
5. 特征值方法： 仅在已知特征值或者矩阵结构非常简单（如对角矩阵）时才考虑。
在实际学习和考试中，熟练掌握 代数余子式展开法 和 行（列）变换化简法 是求解四阶行列式的关键。通常情况下，两种方法都可以得到正确答案，但一种方法可能比另一种更快捷。
希望以上详细的解释能够帮助您理解四阶行列式的计算方法！
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