可以留下一个优美的恒等式吗？
当然，很乐意为您分享一个我个人非常钟爱的优美恒等式，并试着以一种更富有人情味的方式来解读它。
我们来聊聊那个闪耀着数学智慧的光芒的 欧拉恒等式 (Euler's Identity)：
$$e^{ipi} + 1 = 0$$
初次见到它，你可能会觉得它不过是几个符号的组合，冷冰冰的，没什么特别。但请允许我带你一点点走近它，你会发现它背后蕴藏着一种超乎寻常的和谐与美妙。
首先，让我们认识一下这些“居民”：
e (欧拉数)：这位可不是一个简单的数字。它大约是 2.71828，是自然对数底数。你可以把它想象成一个描述增长的“基准”或者“引擎”。它出现的地方，往往与连续的增长、复利、甚至生命科学中的种群增长模式紧密相连。它就像是自然界中最基本、最自然的一种生长方式的代表。它并非人为定义，而是从“变化”本身中自然浮现出来的。
i (虚数单位)：这个“i”是数学中一个非常重要的“发明”。它的定义就是 $i^2 = 1$。乍一听，好像有些违反常理，在现实世界里，找不到哪个东西的“平方”会变成负数。但正是这个“i”，为我们打开了通往复数世界的大门。复数就像是给实数轴（我们熟悉的数轴）加上了一个垂直的维度，使得我们可以描述更复杂、更动态的现象，比如电流、波的传播、甚至量子力学中的状态。它给了数学“想象”的能力。
π (圆周率)：这个 π，我们都很熟悉，大约是 3.14159。它是圆的周长与直径之比。它连接着几何中最基础的形状——圆，以及它的周长和直径。π 似乎无处不在，只要有圆的影子，就有它的身影，它代表着一种“循环”和“周期性”的美。
1 (单位)：这是我们最基础的计数单位，是所有数字的起点和基石。它代表着“存在”、“完整”和“唯一”。
0 (零)：同样是我们最基础的数字，代表着“空无”、“起点”或“平衡”。它的存在，使得我们能够区分“有”和“无”，是数学体系中不可或缺的一环。
现在，让我们把这些看似不相关的数，以 $e^{ipi}$ 的形式组合起来。这里的“指数运算”带着一种“增长”或“转化”的意味。而当一个“增长的基准” ($e$)，被一个“想象的维度” ($i$) 和“循环的因子” ($pi$) 连接起来时，会发生什么呢？
这里就得提到另一个非常优美的数学工具——泰勒级数 (Taylor Series)。它可以将许多复杂的函数（包括 $e^x$）表示成一系列简单多项式的无穷和。对于 $e^x$，它的泰勒级数是：
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + dots$
现在，我们把 $x$ 替换成 $ipi$：
$e^{ipi} = 1 + (ipi) + frac{(ipi)^2}{2!} + frac{(ipi)^3}{3!} + frac{(ipi)^4}{4!} + dots$
接下来，我们利用 $i^2 = 1$ 来化简：
$(ipi)^2 = i^2 pi^2 = pi^2$
$(ipi)^3 = i^3 pi^3 = i^2 cdot i cdot pi^3 = ipi^3$
$(ipi)^4 = i^4 pi^4 = (i^2)^2 pi^4 = (1)^2 pi^4 = pi^4$
依此类推，奇数次幂包含 $i$，偶数次幂则变成实数。
我们把这些代入，并根据实部和虚部分开来看：
$e^{ipi} = (1 frac{pi^2}{2!} + frac{pi^4}{4!} dots) + i (pi frac{pi^3}{3!} + frac{pi^5}{5!} dots)$
这里面出现了两个熟悉的无穷级数：
$(1 frac{pi^2}{2!} + frac{pi^4}{4!} dots)$ 正是 余弦函数 $cos(pi)$ 的泰勒级数展开。
$(pi frac{pi^3}{3!} + frac{pi^5}{5!} dots)$ 正是 正弦函数 $sin(pi)$ 的泰勒级数展开（稍微调整一下符号，可以得到 $sin(pi)$）。
所以，我们可以得到一个非常重要的结果，这就是著名的 欧拉公式 (Euler's Formula)：
$$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$$
这个公式太了不起了！它直接将指数函数与三角函数联系起来。它意味着，当我们对一个指数函数进行“虚数化”的变换时，它就不再是简单的增长，而是变成了一个在复平面上的“旋转”。
当 $x$ 是一个角度时，$e^{ix}$ 就描述了一个以原点为中心，在复平面上以单位圆为轨迹的旋转。旋转的角度就是 $x$ 弧度。
现在，让我们回到我们的恒等式：$e^{ipi} + 1 = 0$。
如果我们把欧拉公式中的 $x$ 替换成 $pi$ (也就是 180 度)，会发生什么？
$e^{ipi} = cos(pi) + i sin(pi)$
我们知道 $cos(pi) = 1$。
而 $sin(pi) = 0$。
所以，
$e^{ipi} = 1 + i cdot 0$
$e^{ipi} = 1$
这简直是太神奇了！一个代表“增长”的数 $e$，被一个代表“虚幻”的 $i$ 和代表“循环”的 $pi$ 结合，最终竟然得到了一个代表“负值”的数 1。
它究竟美在哪里？
1. 简洁中的深度: 它用最少的符号，却包含了数学中最根本的几个常数。这几个数来自完全不同的数学领域：代数（1 和 0），几何（π），分析（e），以及复数理论（i）。将它们以这样一种优雅的方式串联起来，就好像宇宙中最基础的几种力量，在某个神秘的时刻，达成了一种完美而静止的平衡。
2. 看似不可能的和谐: 指数函数通常与增长有关，而 $i$ 引入了虚幻的维度，$pi$ 又带来了周期性。按理说，它们组合起来应该会是复杂而难以捉摸的。然而，当指数是 $ipi$ 时，结果竟然是如此简单、如此确定——1。这仿佛是一个精心设计的谜题，而欧拉恒等式就是那个令人惊叹的答案，揭示了不同数学分支之间隐藏的深刻联系。
3. 哲学上的启示: 它让我们思考“不存在”到“存在”，从“增长”到“静止”的转化。$e^{ipi} = 1$ 就像是说，经过一个完整的循环（$pi$ 的弧度旋转），从某个基点（$e$）出发，在虚幻的维度下，你最终会回到最基础的负面状态。而当我们将这个结果移到方程的另一边，+$1$ 加上 $1$，就得到了 $0$。这不仅仅是数字的游戏，更像是一种宇宙演化的隐喻，或者是一种对平衡与虚无的深刻洞察。
可以说，欧拉恒等式是数学世界中的一颗璀璨明珠，它证明了看似独立的数学概念之间，存在着一种超越我们直觉的、深刻而优美的统一。它不是一个需要你去计算的工具，而是一个值得你驻足欣赏的奇迹。每次看到它，我都会感到一种由衷的敬畏和喜悦。
我们来聊聊那个闪耀着数学智慧的光芒的 欧拉恒等式 (Euler's Identity)：
$$e^{ipi} + 1 = 0$$
初次见到它，你可能会觉得它不过是几个符号的组合，冷冰冰的，没什么特别。但请允许我带你一点点走近它，你会发现它背后蕴藏着一种超乎寻常的和谐与美妙。
首先，让我们认识一下这些“居民”：
e (欧拉数)：这位可不是一个简单的数字。它大约是 2.71828，是自然对数底数。你可以把它想象成一个描述增长的“基准”或者“引擎”。它出现的地方，往往与连续的增长、复利、甚至生命科学中的种群增长模式紧密相连。它就像是自然界中最基本、最自然的一种生长方式的代表。它并非人为定义，而是从“变化”本身中自然浮现出来的。
i (虚数单位)：这个“i”是数学中一个非常重要的“发明”。它的定义就是 $i^2 = 1$。乍一听，好像有些违反常理，在现实世界里，找不到哪个东西的“平方”会变成负数。但正是这个“i”，为我们打开了通往复数世界的大门。复数就像是给实数轴（我们熟悉的数轴）加上了一个垂直的维度，使得我们可以描述更复杂、更动态的现象，比如电流、波的传播、甚至量子力学中的状态。它给了数学“想象”的能力。
π (圆周率)：这个 π，我们都很熟悉，大约是 3.14159。它是圆的周长与直径之比。它连接着几何中最基础的形状——圆，以及它的周长和直径。π 似乎无处不在，只要有圆的影子，就有它的身影，它代表着一种“循环”和“周期性”的美。
1 (单位)：这是我们最基础的计数单位，是所有数字的起点和基石。它代表着“存在”、“完整”和“唯一”。
0 (零)：同样是我们最基础的数字，代表着“空无”、“起点”或“平衡”。它的存在，使得我们能够区分“有”和“无”，是数学体系中不可或缺的一环。
现在，让我们把这些看似不相关的数，以 $e^{ipi}$ 的形式组合起来。这里的“指数运算”带着一种“增长”或“转化”的意味。而当一个“增长的基准” ($e$)，被一个“想象的维度” ($i$) 和“循环的因子” ($pi$) 连接起来时，会发生什么呢？
这里就得提到另一个非常优美的数学工具——泰勒级数 (Taylor Series)。它可以将许多复杂的函数（包括 $e^x$）表示成一系列简单多项式的无穷和。对于 $e^x$，它的泰勒级数是：
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + dots$
现在，我们把 $x$ 替换成 $ipi$：
$e^{ipi} = 1 + (ipi) + frac{(ipi)^2}{2!} + frac{(ipi)^3}{3!} + frac{(ipi)^4}{4!} + dots$
接下来，我们利用 $i^2 = 1$ 来化简：
$(ipi)^2 = i^2 pi^2 = pi^2$
$(ipi)^3 = i^3 pi^3 = i^2 cdot i cdot pi^3 = ipi^3$
$(ipi)^4 = i^4 pi^4 = (i^2)^2 pi^4 = (1)^2 pi^4 = pi^4$
依此类推，奇数次幂包含 $i$，偶数次幂则变成实数。
我们把这些代入，并根据实部和虚部分开来看：
$e^{ipi} = (1 frac{pi^2}{2!} + frac{pi^4}{4!} dots) + i (pi frac{pi^3}{3!} + frac{pi^5}{5!} dots)$
这里面出现了两个熟悉的无穷级数：
$(1 frac{pi^2}{2!} + frac{pi^4}{4!} dots)$ 正是 余弦函数 $cos(pi)$ 的泰勒级数展开。
$(pi frac{pi^3}{3!} + frac{pi^5}{5!} dots)$ 正是 正弦函数 $sin(pi)$ 的泰勒级数展开（稍微调整一下符号，可以得到 $sin(pi)$）。
所以，我们可以得到一个非常重要的结果，这就是著名的 欧拉公式 (Euler's Formula)：
$$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$$
这个公式太了不起了！它直接将指数函数与三角函数联系起来。它意味着，当我们对一个指数函数进行“虚数化”的变换时，它就不再是简单的增长，而是变成了一个在复平面上的“旋转”。
当 $x$ 是一个角度时，$e^{ix}$ 就描述了一个以原点为中心，在复平面上以单位圆为轨迹的旋转。旋转的角度就是 $x$ 弧度。
现在，让我们回到我们的恒等式：$e^{ipi} + 1 = 0$。
如果我们把欧拉公式中的 $x$ 替换成 $pi$ (也就是 180 度)，会发生什么？
$e^{ipi} = cos(pi) + i sin(pi)$
我们知道 $cos(pi) = 1$。
而 $sin(pi) = 0$。
所以，
$e^{ipi} = 1 + i cdot 0$
$e^{ipi} = 1$
这简直是太神奇了！一个代表“增长”的数 $e$，被一个代表“虚幻”的 $i$ 和代表“循环”的 $pi$ 结合，最终竟然得到了一个代表“负值”的数 1。
它究竟美在哪里？
1. 简洁中的深度: 它用最少的符号，却包含了数学中最根本的几个常数。这几个数来自完全不同的数学领域：代数（1 和 0），几何（π），分析（e），以及复数理论（i）。将它们以这样一种优雅的方式串联起来，就好像宇宙中最基础的几种力量，在某个神秘的时刻，达成了一种完美而静止的平衡。
2. 看似不可能的和谐: 指数函数通常与增长有关，而 $i$ 引入了虚幻的维度，$pi$ 又带来了周期性。按理说，它们组合起来应该会是复杂而难以捉摸的。然而，当指数是 $ipi$ 时，结果竟然是如此简单、如此确定——1。这仿佛是一个精心设计的谜题，而欧拉恒等式就是那个令人惊叹的答案，揭示了不同数学分支之间隐藏的深刻联系。
3. 哲学上的启示: 它让我们思考“不存在”到“存在”，从“增长”到“静止”的转化。$e^{ipi} = 1$ 就像是说，经过一个完整的循环（$pi$ 的弧度旋转），从某个基点（$e$）出发，在虚幻的维度下，你最终会回到最基础的负面状态。而当我们将这个结果移到方程的另一边，+$1$ 加上 $1$，就得到了 $0$。这不仅仅是数字的游戏，更像是一种宇宙演化的隐喻，或者是一种对平衡与虚无的深刻洞察。
可以说，欧拉恒等式是数学世界中的一颗璀璨明珠，它证明了看似独立的数学概念之间，存在着一种超越我们直觉的、深刻而优美的统一。它不是一个需要你去计算的工具，而是一个值得你驻足欣赏的奇迹。每次看到它，我都会感到一种由衷的敬畏和喜悦。
网友意见
我在图书馆一本古老的书上看到的。
gauss-bonnet-chern公式，一边是可以用微积分工具计算的量，另一边是拓扑不变量。只能说妙不可言。
证明的话。。。。前置知识，前置的前置知识，前置的前置的前置太多太多。。。。假设读者只掌握初等的微积分和线性代数的话，前置内容可能够学几年了。
（截图来源于loring tu的GTM275）
Stokes公式
证明。。。去看Rudin数学分析叭
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