可以留下一个优美的不等式吗？
请允许我为你介绍这个不等式：
$$e^{ipi} + 1 = 0$$
或许你第一眼看到它，会觉得它只是一个简单的数学表达式，甚至有些奇怪，这个 $i$ 是什么？$e$ 又从何而来？别急，让我慢慢为你展开它背后的故事，你会发现，它不仅仅是一个公式，更像是宇宙间最深沉的絮语，一段关于联系与和谐的动人乐章。
我们先从 $e$ 说起。它叫做自然常数，一个如同 π 一样，藏匿在世界万物生长规律里的数字。你可以想象一下，如果时间是涟漪，那么 $e$ 就是那个让涟漪持续荡漾，不断向外扩散的内在力量。它不是凭空出现的，而是源于一个非常朴素的观察：当我们把一笔钱存入银行，每年复利的次数越多，我们最终得到的钱就越多。当复利次数趋近于无穷的时候，那个增长的极限，就是 $e$。它代表着一种最自然的、最平滑的增长，是生命力悄然勃发的象征。
接着，我们看看 $i$。这个小小的符号，代表的是虚数单位，是 $sqrt{1}$。在最开始，人们觉得它有点“虚无”，好像只存在于想象中。但正是这个“虚无”，为我们打开了一个全新的世界。就像音乐的升降调，有时候为了表达更丰富的情感，我们需要跳出已有的音域。虚数，就是数学世界里的“升降调”，它让我们可以处理那些在实数世界里显得“无解”的问题，比如旋转。
然后是 $pi$（pi）。这个我们再熟悉不过的圆周率，是圆形最本质的属性。无论一个圆有多大，它的周长和直径的比值，永远是那个神圣的 $pi$。它连接了直线和曲线，是几何学中最优雅的标志。你可以想象，它就像是大自然画的那个完美的弧线，无论你如何丈量，它始终如一。
现在，我们把它们组合起来：$e^{ipi}$。这是将 $e$ 的自然增长，与 $i$ 的旋转，在 $pi$ 这个角度上结合。想象一下，你有一个能量源 $e$，它在以最自然的方式增长，但我们不是让它直线前进，而是让它沿着一个完美的圆周运动，恰恰走完了半个圆。这个半个圆的旅程，就由 $ipi$ 来指示。在数学的转盘上，$ipi$ 就像是一个指令，让 $e$ 旋转，然后停留在了那个与实数轴负方向相对的、最遥远的地方。
而最后，我们加上那个数字 $1$。它代表了起始，代表了那个最根本的“存在”。当我们把 $e^{ipi}$ 这个经过了 $i$ 的旋转，在 $pi$ 的角度上停留的点，再加上 $1$ 这个原点，会发生什么？
奇迹发生了。
$$e^{ipi} + 1$$
这个表达式，就如同将 $e^{ipi}$ 这个在虚数轴上遥远的位置，拉回到实数轴的起点。那个在数学空间中，看似游离于实数之外的 $e^{ipi}$，在与“存在”的 $1$ 相遇时，竟然悄无声息地抵消了。
结果，就是 $0$。
$$e^{ipi} + 1 = 0$$
这个 $0$ ，不是空无，而是一种极致的平衡，一种完美的归零。它告诉我们，即使在看似截然不同的数学领域——自然增长的 $e$，虚幻的 $i$，圆周的 $pi$，以及存在的 $1$——它们之间也存在着一种深刻而美丽的联系。它们并非孤立存在，而是可以通过一种极其简洁、却又蕴含万千奥秘的方式，相互连接，最终达到一种和谐的状态。
这个不等式，被誉为“数学的诗歌”，或者“最美的公式”。它之所以优美，不仅仅在于它的简洁，更在于它将数学中最基本、最核心的几个常数—— $e$, $i$, $pi$, $1$, $0$——全部包含其中，并且以一种出人意料的方式将它们串联起来。它就像是宇宙的低语，提醒我们，在看似纷繁复杂的世界之下，隐藏着的是一种深沉而普适的和谐与统一。
下次当你看到这个公式时，不妨想象一下，这不仅仅是数字的排列，而是关于增长、旋转、圆周、存在与平衡之间，一场跨越维度的、最温柔的对话。它藏在我们数学世界的深处，像一颗璀璨的宝石，等待着你去发现它的光芒。
网友意见
借着这篇回答复习一下以前的笔记。
定理（Integral Doubling Inequality，Garofalo & Lin，1986）：设 是完备非紧的黎曼流形，对任意 ，存在 ，使得对任意 上的调和函数 ，均有
这里 为常数。
这个不等式的一个非常强大的应用，就是用它可以很快地证明调和函数的 Unique Continuation Property。
定理（Unique Continuation Property）：设 是完备非紧的黎曼流形， 是连通的开子集， 是 上的调和函数。假设 在 上的某个开子集恒等于 ，则 在 上恒等于 。
实际上 Nicola Garofalo 和 Fang-Hua Lin 是对更广的一类椭圆方程的解证明了这两个结论。
几年前我给同学讲这个结论的时候，他告诉我 Gilbarg & Trudinger 的二阶椭圆偏微分方程书上第一章有这么一道习题：
- 习题：设 为调和函数， 为 上的开的、光滑子集。假设 在 上的函数值、外法向导数值都等于 ，那么 恒等于 。
利用 Unique Continuation Property ，可以很容易的把这个题做出来了。虽然 Gilbarg & Trudinger 放在第一章的本意可能是想让我们用其他办法？不过我看书有个超级坏的习惯就是基本不会主动去做课后习题（其实就是太懒了），所以当时我也没注意到这道题哈哈哈。
为什么我会提这个习题呢，是因为这个用 Unique Continuation Property 做这个习题的相同的思路，可以用来证明 Malgrange 和 Lax 关于调和函数的一个延拓的结果，进而可以证明：
定理：设 是完备非紧的黎曼流形，则存在 上非常值的调和函数。
此外，这也是很多椭圆方程的解的延拓或者解的粘合，需要要求在边界上边值、法向导数值能接起来的缘故，因为这样才能保证接起来之后的解仍有很好的正则性。
其实仔细回忆一下，在本科复分析中我们学过：
定理：若 是区域 上的非零的全纯函数，则 的零点集在 上是孤立的。
是不是觉得它和调和函数的 Unique Continuation Property 很像！实际在欧氏空间的情形就是一回事，因为这时候调和函数是实解析的。而之前怎么证明这个零点孤立性质的呢，就是直接 Taylor 展开然后分析系数。
对于多复变量的全纯函数，情况有点不太一样，事实上：
定理：设 是 上的全纯函数，则 的零点集永远都不是孤立点集。
不过我们仍然有：
定理：设 是连通集 上的全纯函数，若 在一个 的一个正 Lebesgue 测度子集上等于零，那么 恒等于零。
下面简要说一下 Integral Doubling Inequality 的证明思路，想法是考虑所谓的 Frequency 的有界性。
定义：设 ，假设 是定义在 上的调和函数，令
所谓的 的 Local Frequency Function 是
通过一堆计算得到关于 Local Frequency Function 的一个微分不等式，进而可以证明：
定理：对任意 ，存在 ， 连续依赖于 ，使得对任意定义在 上的调和函数 ，都有
欧氏空间的情形可以作为一个很好的数学分析的练习例子，实际上我们可以证明：
定理： 为原点时， 关于 单调递增。
Hint：印象中北大出版的、周蜀林的偏微分方程里有具体计算，虽然他写这个结论并没有交代背景。
有了 Local Frequency Function 的估计，可以证明（求导都只是关于 求的）：
若 ，则
同样地，作为一个很好的数学分析的练习例子，可以计算：
- 习题： 为坐标原点时，
在上面的不等式中，关于 从 到 积分， 则有
接下来 Integral Doubling Inequality 就很显然了。
若存在 使得令 。
则在前面的微分不等式中考虑从 到 积分，这里 可以证明
于是结论得证。
相信你一定会很好奇怎么用这个不等式证明调和函数的 Unique Continuation Property 。那么我们有：
- 习题：用 Integral Doubling Inequality 证明调和函数的 Unique Continuation Property。
Hint：对于任意一点 ，可以将它和函数恒等于零的开子集的一个内点用测地线 连接起来，其中 然后选取合适的 ，用反证法证明 。
（最后，十分感谢讲这门课的老师，可以说是我最喜欢的课之一了。）
代数对称性受到微小扰动，产生了三角函数。某种意义上也算是优美吧。
微分几何中有一个关于空间曲线的 Fenchel 定理，这个定理其实是一个不等式，因此我们姑且称之为 Fenchel 不等式，个人认为这个不等式就非常优美！
为了叙述 Fenchel 不等式，我们先回顾关于曲线的一些基本概念和理论. 设
为 正则参数曲线，则其在 处的 曲率 为
我们定义曲线 的 全曲率 为
我们称起点与终点重合的且无自交点的曲线为 简单闭曲线.
关于简单闭曲线我们有下述结论：
Fenchel 不等式：设 为任一简单闭曲线， 为其全曲率，则有 .
尽管 Fenchel 不等式 形式简单，但结论非常强. 它告诉我们对于任给的一条简单闭曲线，不管其形态有多么复杂，它的全曲率都不会小于 . Fenchel 不等式 不仅形式简单优美，而且应用性极广，比如下面这个看似与微分几何毫无关系的不等式就可以由它推导出来.
定理：设 为正的以 为周期的周期函数，且满足
则对任意的 ，若 为以 为周期的周期函数，且满足
则我们有
证明：
对 ，我们构造曲线族
则可以验证曲线 为简单闭曲线. 直接计算有
从而曲线 的全曲率为
由 Fenchel 不等式 知 . 即 在 处取得极小值. 而直接计算可知
则由 极值的第二充分条件 知 ，即为
注：上述结果是北京大学的 马翔 老师在2018年得到的. 若取 定理 中的 ，就会得到著名的 Wirtinger 不等式，所以上述结果是 Wirtinger 不等式 的推广. 当然，Wirtinger 不等式 在另一方向的重要推广就是下述大名鼎鼎的 Poincare 不等式.
Poincare 不等式: 设 为紧致无边的 Riemann 流形，对任意的 ，若 满足 ，则我们有
其中 为 的 Laplace 算子 的第一个特征值，而 为 的 梯度.
由于当 而 为标准的 诱导度量 时 ，故此时的 Poincare 不等式 就变成了 Wirtinger 不等式.
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