什么样的初等函数的不定积分不能用初等函数表示？
要回答这个问题，我们得先弄清楚几个概念。首先，“初等函数”指的是我们最常接触到的那些函数，比如多项式函数（像 $x^2+3x1$），指数函数（像 $e^x$ 或 $2^x$），对数函数（像 $ln x$），三角函数（像 $sin x$ 或 $cos x$），以及这些函数的有限次加法、减法、乘法、除法和复合组成的函数。比如，$e^{sin(x^2+1)} / ln(x+3)$ 就是一个初等函数。
然后，“不定积分”就是求一个函数的“反导数”，也就是找到一个函数，它的导数等于原来的函数。记作 $int f(x) dx$。
那么，究竟有没有一些初等函数，它们的积分结果却不是初等函数呢？答案是肯定的，而且这在数学里是一个相当深刻的话题。
历史上，数学家们花了很长时间才意识到这一点。一开始大家可能觉得，既然我们能构造出各种各样的初等函数，那么它们的积分也应该能用初等函数表示出来，就像求导一样，总能找到一个明确的规则。但事实并非如此。
最早被发现的“难以用初等函数表示”的不定积分之一，就是：
$int e^{x^2} dx$
这个函数非常特别，叫做“误差函数”（Error Function），通常记作 $ ext{erf}(x)$。它在概率论（尤其是正态分布的研究）和物理学中有非常重要的应用。你想想看，它跟那个漂亮的 $e^{x^2}$ 有关，你可能直觉上觉得它的积分也应该很“好看”，或者至少能用我们熟悉的函数组合起来。但事实是，经过数学家们的努力，他们证明了不存在任何初等函数，能够通过有限次的加减乘除以及复合运算，得到 $int e^{x^2} dx$ 的结果。
为什么会出现这种情况呢？
这涉及到李乌维尔定理（Liouville's Theorem）。这个定理是复分析领域的强大工具，由美国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）在19世纪提出。这个定理为我们提供了一个判断不定积分是否能用初等函数表示的框架。
简单来说，李乌维尔定理告诉我们，如果一个函数 $f(x)$ 的不定积分 $int f(x) dx$ 可以表示成初等函数的形式，那么它必须满足一个非常严格的代数结构。定理的表述比较抽象，涉及到“微分域”的概念。你可以把它想象成，如果一个函数的积分能用初等函数表示，那么这个积分的“成分”必须是原函数 $f(x)$ 的一些“原始元素”（比如 $ln x$ 的基础就是 $1/x$）通过有限步的“代数运算”和“取对数”得到的。
用更直白的方式来解释，假设我们有一个函数 $f(x)$，如果它的不定积分 $int f(x) dx$ 可以用初等函数表示，那么这个积分的结果就必然是 $f(x)$ 本身以及一些“基本”的初等函数（比如常数、 $x$、$e^x$、$ln x$、三角函数等）通过有限次的四则运算和复合而形成的。
然而，很多函数的积分，即使这些函数本身是初等函数，它们的积分结果的“结构”却超出了初等函数的范畴。
《误差函数》$int e^{x^2} dx$ 就是一个典型的例子。即使 $e^{x^2}$ 本身是一个很“乖”的初等函数，它的积分却无法用初等函数来表达。
还有哪些类似的例子？
很多我们熟悉的函数，它们的积分都属于这一类：
椭圆积分（Elliptic Integrals）：这些积分与椭圆的周长计算有关，它们是数学史上最早被发现的这类函数。比如，一个标准的椭圆周长公式涉及到 $int sqrt{1k^2 sin^2 heta} d heta$ 这样的形式，其积分结果就是一种椭圆积分，不能用初等函数表示。著名的例子有：
$int frac{dx}{sqrt{1x^4}}$
$int sqrt{1x^2} dx$ （这个初看似乎能用三角换元法 $x=sin heta$ 变成 $int cos^2 heta d heta = int frac{1+cos 2 heta}{2} d heta = frac{1}{2} heta + frac{1}{4}sin 2 heta + C$，这个例子是错误的，它的积分是可以表示成初等函数的。我这里应该给出更复杂的例子，比如涉及高次根号或者超越函数嵌套的。）
纠正： 一个好的椭圆积分例子应该是像 $int frac{dx}{sqrt{1x^3}}$ 或者 $int sqrt{1+x^4} dx$。这些积分的结果会引入新的“特殊函数”，比如雅可比椭圆函数或更广泛的椭圆积分函数。
正弦积分（Sine Integral）和余弦积分（Cosine Integral）：
$int frac{sin x}{x} dx$ （这个叫做正弦积分，记作 $ ext{Si}(x)$）
$int frac{cos x}{x} dx$ （这个叫做余弦积分，记作 $ ext{Ci}(x)$）
虽然 $sin x / x$ 和 $cos x / x$ 都是初等函数，但它们的积分却不能用初等函数表示。
对数积分（Logarithmic Integral）：
$int frac{dx}{ln x}$ （这个叫做对数积分，记作 $ ext{Li}(x)$）
同样地，$frac{1}{ln x}$ 是初等函数，但它的积分不是。
一些三角函数和指数函数的组合：
$int sin(x^2) dx$ （这是菲涅尔积分的一部分）
$int cos(x^2) dx$ （这是菲涅尔积分的一部分）
$int e^{x^2} dx$ （这个被称为虚误差函数，与之相关）
为什么会产生这些“新”的函数？
当一个不定积分的结果无法用我们已有的初等函数集合来描述时，数学家们就会给它命名，定义一个新的“特殊函数”。这些特殊函数并非凭空出现，它们是数学结构自身发展的结果。就像我们在学习几何时，会遇到圆周率 $pi$ 这样既不是有理数也不是我们熟悉的代数数，它是一个独立存在的数学常数一样，这些特殊函数也代表了数学中某些更深刻的结构。
总结一下：
并非所有的初等函数的不定积分都能用初等函数表示。这意味着，尽管我们能用有限的“组件”（加减乘除、复合、指数、对数、三角函数等）构建出无穷多的初等函数，但当我们对这些函数进行积分操作时，有时会“跳出”这个已有的集合，产生需要我们引入新概念、新函数才能描述的数学对象。
这并不意味着积分变得“不可能”了，只是我们不能再用初等函数这个“工具箱”来完整地表达它的答案。我们用特殊的名称来命名它们，比如误差函数、椭圆积分等，并研究它们的性质。这就像我们在学习微积分之前，我们只需要代数和几何，但一旦开始研究函数和变化率，我们就需要新的工具（导数、积分）和新的概念（特殊函数）。
所以，当你遇到 $int e^{x^2} dx$ 这样的积分时，要知道它是一个很正常、但其结果需要我们承认它是一个“独立存在”的数学实体，而不是我们熟知的那些初等函数成员。这恰恰是数学的魅力所在，它不断地揭示出新的、更广阔的数学领域。
然后，“不定积分”就是求一个函数的“反导数”，也就是找到一个函数，它的导数等于原来的函数。记作 $int f(x) dx$。
那么，究竟有没有一些初等函数，它们的积分结果却不是初等函数呢？答案是肯定的，而且这在数学里是一个相当深刻的话题。
历史上，数学家们花了很长时间才意识到这一点。一开始大家可能觉得，既然我们能构造出各种各样的初等函数，那么它们的积分也应该能用初等函数表示出来，就像求导一样，总能找到一个明确的规则。但事实并非如此。
最早被发现的“难以用初等函数表示”的不定积分之一，就是：
$int e^{x^2} dx$
这个函数非常特别，叫做“误差函数”（Error Function），通常记作 $ ext{erf}(x)$。它在概率论（尤其是正态分布的研究）和物理学中有非常重要的应用。你想想看，它跟那个漂亮的 $e^{x^2}$ 有关，你可能直觉上觉得它的积分也应该很“好看”，或者至少能用我们熟悉的函数组合起来。但事实是，经过数学家们的努力，他们证明了不存在任何初等函数，能够通过有限次的加减乘除以及复合运算，得到 $int e^{x^2} dx$ 的结果。
为什么会出现这种情况呢？
这涉及到李乌维尔定理（Liouville's Theorem）。这个定理是复分析领域的强大工具，由美国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）在19世纪提出。这个定理为我们提供了一个判断不定积分是否能用初等函数表示的框架。
简单来说，李乌维尔定理告诉我们，如果一个函数 $f(x)$ 的不定积分 $int f(x) dx$ 可以表示成初等函数的形式，那么它必须满足一个非常严格的代数结构。定理的表述比较抽象，涉及到“微分域”的概念。你可以把它想象成，如果一个函数的积分能用初等函数表示，那么这个积分的“成分”必须是原函数 $f(x)$ 的一些“原始元素”（比如 $ln x$ 的基础就是 $1/x$）通过有限步的“代数运算”和“取对数”得到的。
用更直白的方式来解释，假设我们有一个函数 $f(x)$，如果它的不定积分 $int f(x) dx$ 可以用初等函数表示，那么这个积分的结果就必然是 $f(x)$ 本身以及一些“基本”的初等函数（比如常数、 $x$、$e^x$、$ln x$、三角函数等）通过有限次的四则运算和复合而形成的。
然而，很多函数的积分，即使这些函数本身是初等函数，它们的积分结果的“结构”却超出了初等函数的范畴。
《误差函数》$int e^{x^2} dx$ 就是一个典型的例子。即使 $e^{x^2}$ 本身是一个很“乖”的初等函数，它的积分却无法用初等函数来表达。
还有哪些类似的例子？
很多我们熟悉的函数，它们的积分都属于这一类：
椭圆积分（Elliptic Integrals）：这些积分与椭圆的周长计算有关，它们是数学史上最早被发现的这类函数。比如，一个标准的椭圆周长公式涉及到 $int sqrt{1k^2 sin^2 heta} d heta$ 这样的形式，其积分结果就是一种椭圆积分，不能用初等函数表示。著名的例子有：
$int frac{dx}{sqrt{1x^4}}$
$int sqrt{1x^2} dx$ （这个初看似乎能用三角换元法 $x=sin heta$ 变成 $int cos^2 heta d heta = int frac{1+cos 2 heta}{2} d heta = frac{1}{2} heta + frac{1}{4}sin 2 heta + C$，这个例子是错误的，它的积分是可以表示成初等函数的。我这里应该给出更复杂的例子，比如涉及高次根号或者超越函数嵌套的。）
纠正： 一个好的椭圆积分例子应该是像 $int frac{dx}{sqrt{1x^3}}$ 或者 $int sqrt{1+x^4} dx$。这些积分的结果会引入新的“特殊函数”，比如雅可比椭圆函数或更广泛的椭圆积分函数。
正弦积分（Sine Integral）和余弦积分（Cosine Integral）：
$int frac{sin x}{x} dx$ （这个叫做正弦积分，记作 $ ext{Si}(x)$）
$int frac{cos x}{x} dx$ （这个叫做余弦积分，记作 $ ext{Ci}(x)$）
虽然 $sin x / x$ 和 $cos x / x$ 都是初等函数，但它们的积分却不能用初等函数表示。
对数积分（Logarithmic Integral）：
$int frac{dx}{ln x}$ （这个叫做对数积分，记作 $ ext{Li}(x)$）
同样地，$frac{1}{ln x}$ 是初等函数，但它的积分不是。
一些三角函数和指数函数的组合：
$int sin(x^2) dx$ （这是菲涅尔积分的一部分）
$int cos(x^2) dx$ （这是菲涅尔积分的一部分）
$int e^{x^2} dx$ （这个被称为虚误差函数，与之相关）
为什么会产生这些“新”的函数？
当一个不定积分的结果无法用我们已有的初等函数集合来描述时，数学家们就会给它命名，定义一个新的“特殊函数”。这些特殊函数并非凭空出现，它们是数学结构自身发展的结果。就像我们在学习几何时，会遇到圆周率 $pi$ 这样既不是有理数也不是我们熟悉的代数数，它是一个独立存在的数学常数一样，这些特殊函数也代表了数学中某些更深刻的结构。
总结一下：
并非所有的初等函数的不定积分都能用初等函数表示。这意味着，尽管我们能用有限的“组件”（加减乘除、复合、指数、对数、三角函数等）构建出无穷多的初等函数，但当我们对这些函数进行积分操作时，有时会“跳出”这个已有的集合，产生需要我们引入新概念、新函数才能描述的数学对象。
这并不意味着积分变得“不可能”了，只是我们不能再用初等函数这个“工具箱”来完整地表达它的答案。我们用特殊的名称来命名它们，比如误差函数、椭圆积分等，并研究它们的性质。这就像我们在学习微积分之前，我们只需要代数和几何，但一旦开始研究函数和变化率，我们就需要新的工具（导数、积分）和新的概念（特殊函数）。
所以，当你遇到 $int e^{x^2} dx$ 这样的积分时，要知道它是一个很正常、但其结果需要我们承认它是一个“独立存在”的数学实体，而不是我们熟知的那些初等函数成员。这恰恰是数学的魅力所在，它不断地揭示出新的、更广阔的数学领域。
网友意见
结论在此：
http:// en.wikipedia.org/wiki/L iouville%27s_theorem_(differential_algebra)其中给出了一个函数的原函数是初等函数时，这个初等函数可能的形式.
其实这可以看成一个纯代数的问题，导数被看作满足 的映射，而指数函数、对数函数分别定义为满足 （此时 ）及 （此时 ）的元素，初等函数则定义为指数、对数、算术运算、代数运算的复合. 三角函数是可以用指数函数表示的，所以这包含了通常理解的初等函数（实际上更广泛，因为此处的代数运算不限于根式，还可以是一般的解方程）.
显然，我们要研究的应当是一个带有导数运算的域和它的指数、对数和有限扩张. 这是这一问题的基本思路. 附上一个链接：
为什么 e^(t^2) 没有初等原函数？在不超出数学系大二的抽象代数的框架内，对 证明了这个问题.
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