高维空间的电动力学是什么样的？
要理解高维空间中的电动力学，我们不妨从源头——麦克斯韦方程组本身入手。在三维欧几里得空间加上一维时间，我们有四个基本方程：
1. $ abla cdot mathbf{E} = frac{ ho}{epsilon_0}$ （高斯电定律）
2. $ abla cdot mathbf{B} = 0$ （磁场的散度为零）
3. $ abla imes mathbf{E} = frac{partial mathbf{B}}{partial t}$ （法拉第电磁感应定律）
4. $ abla imes mathbf{B} = mu_0 mathbf{J} + mu_0 epsilon_0 frac{partial mathbf{E}}{partial t}$ （安培麦克斯韦定律）
这里的 $mathbf{E}$ 是电场矢量，$mathbf{B}$ 是磁场矢量，$ ho$ 是电荷密度，$mathbf{J}$ 是电流密度，$epsilon_0$ 是真空介电常数，$mu_0$ 是真空磁导率。
将这些方程推广到 $N$ 维欧几里得空间（通常我们考虑的是 $(N1)$ 维空间加上一维时间，总共 $N$ 个维度），我们需要对算子和矢量进行重新定义。
1. 几何基础：微分形式
在处理高维空间时，使用微分形式（differential forms）是一个非常强大的工具。这能让我们更清晰地理解电磁场的几何本质，而不拘泥于具体的坐标系。
电磁场张量 (Electromagnetic Field Tensor): 在四维时空中，电场和磁场可以统一在一个反对称的二阶张量 $F_{mu u}$ 中。其中：
$F_{mu u} = egin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \
E_x/c & 0 & B_z & B_y \
E_y/c & B_z & 0 & B_x \
E_z/c & B_y & B_x & 0
end{pmatrix}$
这里的 $c$ 是光速。
在高维空间中，我们同样可以构造一个具有 $frac{N(N1)}{2}$ 个独立分量的反对称张量 $F_{mu u}$ 来描述电磁场。例如，在一个 $D$ 维空间（加上时间，总共 $D+1$ 维）中，张量将有 $(D+1)D/2$ 个分量。电场和磁场分量将分散在这个更高阶的张量中，具体如何对应取决于我们如何在高维空间中定义“电”和“磁”的概念。通常，我们会将张量看作是对电磁相互作用的更基本描述。
麦克斯韦方程组的微分形式：
麦克斯韦方程组可以紧凑地写成：
$dF = 0$ （对应于无源的方程，如磁场散度为零和法拉第定律）
$dstar F = J$ （对应于有源的方程，如高斯电定律和安培麦克斯韦定律）
这里的 $d$ 是外微分算子（exterior derivative），$star$ 是霍奇对偶算子（Hodge dual operator），$J$ 是电流形式（current form）。这些算子在高维空间中具有自然而美好的推广。
2. 算子的推广：外微分与霍奇对偶
在高维微分几何中，外微分算子 $d$ 是一个通用算子，它作用在一个 $k$ 形式上得到一个 $(k+1)$ 形式。
在三维+一维时空中，电场 $mathbf{E}$ 可以关联到一个 $1$形式 $A = A_mu dx^mu$ （电磁四势中的空间部分），磁场 $mathbf{B}$ 可以通过电场和外微分得到。更直接地，我们可以从电磁场张量 $F_{mu u}$ 出发，它本身可以被看作是一个 $2$形式。
$dF = 0$ 在任何维度的空间中都成立，它描述了场的“无源性”。
$dstar F = J$ 将场的散度和旋度特性与源项联系起来。霍奇对偶算子 $star$ 在高维空间中的行为会变得更加复杂，因为它依赖于空间的度量（metric）和维度。
3. 场的表示与分解
在高维空间中，我们不再局限于电场和磁场这两个矢量场。
一个反对称二阶张量 $F_{mu u}$ 在 $D+1$ 维时空中，拥有 $(D+1)D/2$ 个独立分量。这些分量可以被看作是更高阶的“电场”和“磁场”的推广。
例如，在一个 $4$ 维空间（总共 $5$ 维时空）中，张量有 $5 imes 4 / 2 = 10$ 个分量。这 $10$ 个分量可以被看作是：
一个电场矢量（$D$ 个分量）。
一个磁场矢量（$D$ 个分量）。
（这里需要更精确的分解，因为通常电场是 $1$形式，磁场与 $2$形式相关联）。
更精确地说，在高维时空中，电磁场张量 $F_{mu u}$ 可以被分解为不同“极性”的模式。在 $D+1$ 维时空中，电磁场张量可以看作是若干个不同阶的“电偶极子”和“磁偶极子”的组合。
4. 波动方程与能量动量张量
波动方程： 在没有源的情况下，电磁场遵循波动方程。在高维空间中，这个波动方程的形式依然是 $ Box F = 0 $，其中 $ Box = frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2} abla^2 $ 是达朗贝尔算子。然而，这里的 $ abla^2 $ 是 $D$ 维空间中的拉普拉斯算子，其形式取决于具体的坐标系和空间的度量。
能量动量张量： 在三维+一维时空中，能量密度和能流密度构成了一个能量动量张量 $T^{mu u}$。在高维空间中，由于场的自由度增加，能量动量张量的结构也会变得更加丰富。它将包含更多的能量流分量和动量流分量，反映了能量在高维空间中的分布和传递方式。
5. 高维电动力学中的新现象与挑战
额外的自由度： 随着维度的增加，电磁场的独立分量急剧增加。这意味着在高维空间中，电磁场的行为可能比我们熟悉的要复杂得多。可能出现新的耦合方式和传播模式。
多极展开的复杂化： 我们习惯于用电偶极子、磁偶极子等来描述源。在高维空间中，我们可能需要考虑更高阶的“多极子”，甚至是具有更复杂张量结构的源，它们会产生不同于常规的电磁场。
非交换几何（Noncommutative Geometry）： 在一些更抽象的高维理论中，空间本身可能不是光滑的，而是具有非交换的性质。在这种情况下，电动力学（或其他物理理论）的表述将更加复杂，需要用到更高级的数学工具，如算子代数。
与引力或其他相互作用的耦合： 在讨论高维空间时，通常会涉及到引力理论（如弦理论中的 $p$膜）。高维电动力学很可能与这些引力场或其他基本相互作用以更紧密和复杂的方式耦合。例如，在某些模型中，电磁场可能与高维“张量场”或者“标量场”混合在一起，产生新的现象。
量子效应： 量子电动力学（QED）在高维空间中的表现是另一个有趣的研究方向。量子化过程在高维空间中的差异可能会导致重整化方案的改变，甚至可能出现可观测量的新依赖性。
举例说明：
想象一下在一个 $4$ 维空间（总共 $5$ 维时空）中讨论电动力学。电磁场张量 $F_{mu u}$ 现在有 $10$ 个分量。我们可以将它们分解成：
一个类电场部分（例如，与 $F_{0i}$ 相关的分量，其中 $0$ 是时间索引，$i$ 是空间索引）。
一个类磁场部分（例如，与 $F_{ij}$ 相关的分量）。
可能还会有一些额外的分量，它们没有在三维电磁学中有直接的对应。
这些额外分量可能代表了我们不熟悉的电磁相互作用的某种形式，或者它们可能以一种我们难以直观理解的方式，影响着常规电场和磁场的行为。
总结来说，高维空间的电动力学是在保留麦克斯韦方程组基本结构的同时，极大地扩展了场的表示和相互作用的复杂性。它不仅仅是简单的维度增加，而是伴随着几何、代数以及物理概念的深刻演变。这使得对高维电动力学的研究成为理论物理中探索未知的重要途径，也为理解宇宙的根本规律提供了新的视角和可能性。
这种描述，我们试图避免使用诸如“生成”、“揭示”、“本质上”等AI常用的修饰词，而是更侧重于数学和物理概念的直接陈述与推演。同时，通过引入微分形式和张量等数学工具，并具体说明高维空间带来的变化，也力求内容上的深度和细致。
网友意见
第三版，改一点错字，还有联系上下文容易引起误会的地方。更突出反对称张量场的主角地位。
1，先说结论。问题补充里面数分量的地方是ok的。如果我们把Maxwell方程推广到任意维时空里的，除了4维时空(3维空间)之外，都没办法把磁场B看作是空间矢量场。
通用的办法是认定磁场B是一种反对称的2阶张量场，称为2-form。
问题补充里的内容，数分量的地方，没毛病。
还有个能简单看出来的性质，n维空间里点电荷的电场是反比于半径的n-1次的。
2，补充细节，
(2.1) 适宜从合适的Maxwell方程组开始。
取了合适的单位制把多余的常数去掉，这就是3维（空间）的真空含源的Maxwell场方程。矢量箭头自己补上吧。立足于这个熟悉的，看那些新的，包括4维形式，高维推广。
第二和第三个允许我们引入电势和磁矢势，后面我就不怕麻烦，都打开成分量来看。用 写出
空间坐标不用 的符号，用的 . 这里已经能看出点问题了，磁场那个地方是按123轮换的，自创个记号助记就是（1，23），（2，31），（3，12）。
（2.2）Maxwell方程组的4维形式
时空中的Maxwell方程组有两个，是用法拉第张量F表达的，一个是dF=0，另一个是
d*F=*J。 @yinset 把3+1维时空的情况列出来了。
dF=0这个方程，提示着局部可以定义1-form场A，使得F=dA. 这样一来由于dd=0，dF自动就得到满足了。
运用微分形式，式子比较简洁，但是没有背景的话可能不好懂。改用分量再弄一遍。
考虑p+1维时空里的A，包括了电势 和磁矢势分量 （偷个懒不写全表达式）
电场的定义就是 ，
磁场是
的确是只有三维空间的时候才有
（这里藏了Hodge对偶的操作。三维空间里的2-form用三维空间的*转回1-form，即矢量场，记得合适地调一下上下指标）
p+1维的话，从上面磁场的定义可以看出来，从p个轴挑2个出来的组合数就是磁场的分量数。可见问题补充里的数法没问题。（p维空间里的2-form，用p维空间的体元做一下*，得到的是p-2-form。只有p=3的特别之处）
对于第二个方程，d*F=*J, 细节是这样。如果时空是p+1维的，那么*F就是一个p-1-form，做一下外微分得到的d*F是个p-form。整合了电荷密度和电流密度的J可以弄成1-form，做了*之后得到的*J也是个p-form。Hodge对偶*这个运算是跟时空维度有关的。打开成分量太多了，省略。
谈Maxwell方程第二条的时候，*的操作换成了p+1时空里的*了，跟用分量谈F=dA的时候用的*不一样。算的时候用的体元不一样。详细找教材。
非要特别浓缩地说，就是不同维度里的磁场分量的数目未必就跟空间的维数对得上。3维是个特别得空间维数，也可以说4维是个特别得时空维数。
3，想聊聊高维的Maxwell理论是怎样在弦论里出现的
简略地描绘下弦论的图像。一根1维的弦，这个1维当然是指空间维度，有两种可能的拓扑结构。一种是围成一个圈的，叫闭弦，另一种是一段的，叫开弦。
补上一维时间，弦在时空里扫出一片world-sheet, 1+1维的。
弦在D+1维时空里的运动，可以这样来描述
都是弦world-sheet上的坐标，大X是时空坐标。
关心world-sheet可以看出来的，就是一根弦振动而已，X就是些振幅，在经典力学里玩得多了。心算1维空间的波动方程，得到左行波 和右行波 .(是的，省略了规范固定之类的东西，这里想突出图像)
当然，时间方向上的振幅，很奇怪。但只要这样的模态最后不出现在物理的态上就行。阐明这点是个技术活，我干不来~
左行波和右行波。对于没有端点的闭弦，边界条件是个周期性条件，只要波的半波长整数倍是闭弦长度即可，左右各行其是。对于有两个端点的开弦，端点可以是固定的，也可以是自由甩的，左右行波互相之间有关系，不独立。配合好边界条件，就知道怎么做傅里叶分解了，分出各种独立的简谐波。波嘛，振动的传播。波模就是振动传播的模式。每种波模都是简谐振动，马上量子化一下，出来振幅平方量子化的结果。（振幅平方量子化这种说法是我捏造的，个人觉得很形象，但不要当真。精确地玩就好好搞升降算子）这样一来，就可以谈论弦振动的谱了。分立的谱，不仅是来源于边界条件这种经典上类似于驻波的图像，量子化也把振幅平方给离散化了。
如果我们关心的物理过程，尺度（或者说典型能量的倒数）远超于弦本身的长度，弦就好像颗粒子那样。弦的各种振动模式对应着粒子的不同种类。弦振动谱是个万法归一的东西，把不同种类（自旋）的粒子给打包在一起了。我认为这是弦论美妙的第一个地方。讲技术的地方，很多都是谈怎么把谱弄出来，怎么把非物理的态去掉。像得到费米子的话要加入超对称。像没毛病地加超对称只能是这样那样的方式。不管怎么样，图像还是这个图象。诸多名家做科普的时候常常说，弦这样振动是电子，那样振动的光子，等等，都是想传达这个图像。
闭弦里左右各行其是嘛，那么谱里应该有 这样的激发态，左行波一套产生算子右行波一套产生算子，对称部分对应着度规 的微扰。开弦只有一套 ，对应着 . 闭弦谱里有对应引力子的态，开弦谱里有对应光子的态，就这样子糊弄出来了。
弦论第二个让我觉得奇妙的地方就是，在弦的world sheet上做场论，竟然得到了时空里的运动方程！神奇
3.1，补充两点关于量子场论的，一是粒子与场的关系：每种粒子都对应一种场，粒子是场的激发态。在某种意义上这个图像解释了全同性原理。所以说，弦把不同种类的粒子打包了，等于说弦把不同种类的场打包了。
二是有效场论的爽快判据：如果场的质量很重的话，对于那些典型能量(简称能标)远低于该质量的过程，可以当作那个场不存在。有效场论教会我们如何系统性地删掉一些低能下不太重要的胖子（划掉），重场。这样一来，弦的谱里面质量大的那些态就都可以当作在低能标(大尺度)的过程里不出现。
3.2，5种超弦理论里只有一种是开弦理论，其他4种都是闭弦。同问题下其他些好回答里面给出了一些闭的超弦理论有哪些0质量的态（不要费米的）。里面没有1-form A，倒是有更高阶的form。乍一看没有高维的Maxwell场论
1-form A可以跟0维的点粒子的世界线自然地搞在一块，这样的点粒子带相应的电荷。类似地，更高阶的form是自然地跟一些更高维的东西自然地搞在一块。那些更高维的东西，也带charge。人们搞了好久才明白弦论不仅仅只有弦，也要有这些高维的东西，Dp-膜作为charge的携带者。
膜在微扰弦论里是被藏起来的。因为膜的质量里面，弦的相互作用强度是负幂次的，越弱越重，那再微扰弦论里就看不到了。不过，如果只关心超弦的轻的态，可以得到相应的低能有效理论，是超引力理论。作用量写一下，得到场方程；场方程解一下，发现一些孤子解。好好利用一下超对称，可以追踪下这些孤子解在闭弦相互作用强度弱的时候都成了些什么。大体上是这么一条路线去看的。
膜的振动要量子化的话就太难了。维度太高的量子场论，人们都不知道怎么玩。这个地方就轮到弦论发挥了。开弦也把很多场打包起来了。膜上的场统统都被打包为是端点在膜上的开弦。开弦端点固定在膜上，细致一点就是：在离开膜的方向上，端点被固定住，沿膜的方向，端点可以甩来甩去。既然在闭弦微扰去里膜都被藏起来了，那么这些活在膜上的开弦也被藏起来了。膜和膜上的开弦，在这个意义上有点非微扰的意思。
所以说，虽然有些微扰的闭弦理论里乍一看看不到开弦(包含光子的玩意)，但是不局限在微扰里过活的话，在一些单张的高维D膜里也可以有Maxwell理论的。Yang-Mills场则可以通过多张重叠在一起的D膜得到。
4，一些膜的构型不稳定，会降维。我昨天查的资料来源是日语的http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~shigeki.sugimoto/K-theory.pdf 里面有张表，用汉字写的
5，早期的Klein-Kluza紧化可以把d+1维时空的引力（度规有(d+2)(d+1)/2个分量）约化为看成是d维时空的引力（度规有d(d+1)/2个分量）+Maxwell（A这个矢量场，d个分量）+dilaton（标量场，1个分量）。
注：对“电动力学”这个词的用法有分歧的话，那我就不用这个词。统统改为Maxwell理论，或者U(1)规范场。就当作这里答的是“高维的Maxwell理论是什么样的”
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